高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程课时训练 北师大版选

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.1 椭圆及
其标准方程课时训练 北师大版选修1-1
一、选择题
1. 已知M (－2，0)，N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )
A ．双曲线
B ．双曲线的左支
C ．一条射线
D ．双曲线的右支
【解析】 本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM |－|PN |＝4恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．
【答案】 C
2. 已知双曲线方程为x 220－y 25
＝1，那么它的焦距为( ) A ．10
B ．5 C.15
D ．215 【解析】 由双曲线方程知a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，∵c >0，∴c ＝5，故焦
距为2c ＝10.
【答案】 A
3. (2012·北海高二检测)双曲线x 225－y 29
＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )
A ．17
B ．7
C ．7或17
D ．2或22 【解析】 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10.
即|12－|PF 2||＝10.
解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22.
【答案】 D
4. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过焦点F 1和双曲线同一支相交的弦AB 长为m ，另一个焦点为F 2，则△ABF 2的周长为( )
A ．4a
B ．4a －m
C ．4a ＋2m
D ．4a －2m
【解析】 如图所示，由双曲线的定义，得|BF 2|－|BF 1|＝2a ，
|AF 2|－|AF 1|＝2a .
两式相加可得
|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)
＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，
∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m ，
∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .
故选C.
【答案】 C
5. 已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 212
＝1 B.x 212－y 24＝1 C.y 24－x 212＝1 D.y 212－x 2
4＝1 【解析】 由题意，知圆C 仅与x 轴有交点，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2
－6x －4y ＋8＝0，y ＝0， 得x 2－6x ＋8＝0.
∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.
∴双曲线的方程为x 24－y 212
＝1. 【答案】 A
二、填空题
6. 双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________．
【解析】 化为标准方程：x 2－y 2
12＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝32，∴c ＝62
，∴右焦点
的坐标为(62
，0)． 【答案】 (62
，0) 7. 与椭圆x 2
4
＋y 2＝1共焦点且过点Q (2，1)的双曲线方程是________． 【解析】 ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴双曲线方程为x 22
－y 2＝1. 【答案】 x 2
2－y 2＝1
8. 双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则k 的值是________．
【解析】 原方程化为x 21k －y 28k
＝1，由焦点坐标为(0，3)，可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k
＝9，∴k ＝－1. 【答案】 －1
三、解答题
9. 设双曲线与椭圆x 227＋y 236
＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
【解】 法一 由椭圆方程x 227＋y 2
36＝1， 得椭圆的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)．
∵椭圆与双曲线在第一象限的交点A 的纵坐标为4，
∴这个交点为A (15，4)．
设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（15）2b 2＝1a 2＋b 2＝32，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.
故所求双曲线的方程为y 24－x 25
＝1. 法二 由椭圆方程，得 F 1(0，－3)，F 2(0，3)，A (15，4)．
∴2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|（15）2＋（4＋3）2－（15）2＋（4－3）2|＝4. ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝5.
故所求双曲线的方程为y 24－x 2
5＝1. 10. 已知曲线x 216－m －y 2
m
＝1. (1)当曲线为椭圆时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线为双曲线时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标．
【解】 (1)当曲线为椭圆时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，－m >0，16－m ≠－m ，
解得m <0，即m 的取值范围为(－
∞，0)．
此时，椭圆的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4，0)．
(2)当曲线为双曲线时，依题意得(16－m )m >0，解得0<m <16，即m 的取值范围为(0，16)． 此时，双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4，0)．
11. 根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上；
(3)与双曲线x 216－y 2
4＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)． 【解】 (1)设双曲线的方程为x 2m ＋y 2
n
＝1(mn <0)． ∵P ，Q 两点在双曲线上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 2
16
＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，
∴可设所求双曲线的标准方程为x 2λ－y 2
6－λ＝1(0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5，2)， ∴25λ－4
6－λ＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)， ∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2
＝1.
(3)设所求双曲线的标准方程为x 216－λ－y 2
4＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线经过点(32，2)， ∴18
16－λ－4
4＋λ＝1，
∴λ＝4或λ＝－14(舍去)，
∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.。