2022届浙江省金丽衢十二校、七彩阳光联盟高三下学期3月阶段性联考数学试题(word版 )
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（1） ，∴抛物线 4分
（2）设 ，则 ，
且易证 ，∴
设圆心为 ，则 7分
若 （t为定值）， ，则 由 得：
，∴ 也为定值．
∴H也为定点．10分
若 ，则 ，
当且仅当 时取到最值．15分
22．本题主要考查函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、逻辑推理与数学运算等素养．满分15分．
（1） ，∴ ，∴ 处的切线方程为 ，
过点 ，∴ ．3分
∵ 的零点不为1，
∴ 在 上至多一个解．设 ，
则 在 上至多一个解．5分
，∴ 在 和 上减， 上增，
时， 至多有一个零点，∴ 7分
（2）由（1）知，∴ 且 ，即 ，
故要证 ，只需证 ，9分
由（1）知 ，故只需证 ，
∵ ．令 ，
，∴ 在 上递增，12分
∴ ，∴ 在 上递增，
∴ ，∴ ，∴ 15分
15．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为 ，且 ，则随机变量 的数学期望 ______．
16．已知抛物线 上一点 处的切线l与圆 相切于另一点B，
则抛物线焦点F与切点A距离 的最小值为________．
17．已知平面向量 满足 ，若 则 的取值范围为_________．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
如果事件A，B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
柱体的体积公式 ，其中S表示柱体的底面积，h表示Байду номын сангаас体的高
锥体的体积公式 ，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 ，其中 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
（1）求角A的大小；（2）若 ，求 的取值范围．
19．（本题满分15分）
如图，直角梯形 和直角梯形 中， ，
，点M为线段 中点，点N在线段 上．
A． B．2C． D．4
10．已知数列 满足 ，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．梅花1朵花开五瓣，加花蕊部分，抽象后绘成图（1），得端点数 ．若再以五片花瓣为蕊作五个缩小版梅花，记为缩小1次．抽象后绘成图（2），得梅花数 ，端点数 ．以此类推，缩小4次后有梅花_________朵?缩小3次后共得端点数________个?
（1）若 平面 ，判断N的位置并说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
20．（本题满分15分）
已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 ；
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，正项数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
21．（本题满分15分）过抛物线 焦点F的直线l交抛物线于点A、B，弦 长的最小值为4，直线 分别交直线 于点C，D（O为原点）·
A． 平面 B． 与 是异面直线
C． 平面 D． 与 是相交直线
7．已知函数 ，则图象为右图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆 上一动点M，点 ，线段 的中垂线交直线 于点 ，且点P到y轴的距离是 ，则 （ ）
A． B． C．3D．2
9．已知定义在R上的奇函数 在 时满足 ，且 在 有解，则实数m的最大值为（ ）
12． ，则 _______， _________．
13．已知 且 ，则 ______， ______．
14．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形 （顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为___________．
（1）求抛物线E的方程；
（2）圆M过点C、D，交x轴于点 ，证明：若t为定值时，m也为定值．并求 时 面积S的最小值．
22．（本题满分15分）
已知函数 在 处的切线经过点 ．
（1）若函数 至多有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数 有两个不同的零点 ，且 ，求证 （ ）
高三数学参考答案解析
━、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，共40分．
∴
三、解答题：本大题共5小题，共74分．
18．本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养．满分14分．
解：（1） 3分
∵ ，∴ 5分
（2）
，9分
∵ 12分
∴ 14分
19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象
和数学运算等素养．满分15分．
20．本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养．满分15分．
（1）
∵ ，∴ ，∴ ，3分
∴ ，∴ 5分
（2） ，∴ 7分
，∴ ，设公比为q，则 ，∴ ，∴ ，9分
∴
∴ 12分
∵ ，∴ ，∴ 在 单调递减，
∴ 单调递增，∴ ， ，∴ ，∴ ，15分
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养．满分15分．
（1）取 中点G，连 ，则 ，2分
∴ 平面 ．又 平面 ，则平面 平面 ，4分
∴ ，∴N为 中点；5分
（2）易知 ，∴ 平面 ，∵ ，∴ 平面 ．
∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，
∴ ，∴可以G为原点建系如图，8分
则∵ ，
∴ 设 ，
则 10分
设平面 法向量 ，则
取 ，则 12分
∴
由正弦函数单调性知，此时角 最大15分
1．D2．B3．B4．D5．A
6．C7．C8．A9．D10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．781，78112． 13． 14．
15． 16．817．
16解析：切线方程 ，有： ，将 代入得
∴
17解析：解．如图， ，则由 知C在
以 为圆心，1为半径的圆上， ，其中 ，M为 中点∴D在以 为圆心3为半径的圆内（含边界）
球的表面积公式
球的体积公式 ，其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，若 （i为虚数单位）是实数，则 （ ）
A． B．0C．1D．2
绝密★考试结束前
金丽衢十二校、七彩阳光联盟2022届高三下学期3月阶段性联考
数学学科试题
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．若x，y满足约束条件 ，则点 所在区域的面积 （ ）
A． B． C．1D．3
6．每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图．若点G、H、M、N分别是正八面体 的棱 的中点，则下列结论正确的是（ ）
（2）设 ，则 ，
且易证 ，∴
设圆心为 ，则 7分
若 （t为定值）， ，则 由 得：
，∴ 也为定值．
∴H也为定点．10分
若 ，则 ，
当且仅当 时取到最值．15分
22．本题主要考查函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、逻辑推理与数学运算等素养．满分15分．
（1） ，∴ ，∴ 处的切线方程为 ，
过点 ，∴ ．3分
∵ 的零点不为1，
∴ 在 上至多一个解．设 ，
则 在 上至多一个解．5分
，∴ 在 和 上减， 上增，
时， 至多有一个零点，∴ 7分
（2）由（1）知，∴ 且 ，即 ，
故要证 ，只需证 ，9分
由（1）知 ，故只需证 ，
∵ ．令 ，
，∴ 在 上递增，12分
∴ ，∴ 在 上递增，
∴ ，∴ ，∴ 15分
15．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为 ，且 ，则随机变量 的数学期望 ______．
16．已知抛物线 上一点 处的切线l与圆 相切于另一点B，
则抛物线焦点F与切点A距离 的最小值为________．
17．已知平面向量 满足 ，若 则 的取值范围为_________．
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
如果事件A，B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
柱体的体积公式 ，其中S表示柱体的底面积，h表示Байду номын сангаас体的高
锥体的体积公式 ，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
台体的体积公式 ，其中 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）
在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
（1）求角A的大小；（2）若 ，求 的取值范围．
19．（本题满分15分）
如图，直角梯形 和直角梯形 中， ，
，点M为线段 中点，点N在线段 上．
A． B．2C． D．4
10．已知数列 满足 ，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．梅花1朵花开五瓣，加花蕊部分，抽象后绘成图（1），得端点数 ．若再以五片花瓣为蕊作五个缩小版梅花，记为缩小1次．抽象后绘成图（2），得梅花数 ，端点数 ．以此类推，缩小4次后有梅花_________朵?缩小3次后共得端点数________个?
（1）若 平面 ，判断N的位置并说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
20．（本题满分15分）
已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 ；
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，正项数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
21．（本题满分15分）过抛物线 焦点F的直线l交抛物线于点A、B，弦 长的最小值为4，直线 分别交直线 于点C，D（O为原点）·
A． 平面 B． 与 是异面直线
C． 平面 D． 与 是相交直线
7．已知函数 ，则图象为右图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆 上一动点M，点 ，线段 的中垂线交直线 于点 ，且点P到y轴的距离是 ，则 （ ）
A． B． C．3D．2
9．已知定义在R上的奇函数 在 时满足 ，且 在 有解，则实数m的最大值为（ ）
12． ，则 _______， _________．
13．已知 且 ，则 ______， ______．
14．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形 （顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为___________．
（1）求抛物线E的方程；
（2）圆M过点C、D，交x轴于点 ，证明：若t为定值时，m也为定值．并求 时 面积S的最小值．
22．（本题满分15分）
已知函数 在 处的切线经过点 ．
（1）若函数 至多有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）若函数 有两个不同的零点 ，且 ，求证 （ ）
高三数学参考答案解析
━、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，共40分．
∴
三、解答题：本大题共5小题，共74分．
18．本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养．满分14分．
解：（1） 3分
∵ ，∴ 5分
（2）
，9分
∵ 12分
∴ 14分
19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象
和数学运算等素养．满分15分．
20．本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养．满分15分．
（1）
∵ ，∴ ，∴ ，3分
∴ ，∴ 5分
（2） ，∴ 7分
，∴ ，设公比为q，则 ，∴ ，∴ ，9分
∴
∴ 12分
∵ ，∴ ，∴ 在 单调递减，
∴ 单调递增，∴ ， ，∴ ，∴ ，15分
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养．满分15分．
（1）取 中点G，连 ，则 ，2分
∴ 平面 ．又 平面 ，则平面 平面 ，4分
∴ ，∴N为 中点；5分
（2）易知 ，∴ 平面 ，∵ ，∴ 平面 ．
∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ ，
∴ ，∴可以G为原点建系如图，8分
则∵ ，
∴ 设 ，
则 10分
设平面 法向量 ，则
取 ，则 12分
∴
由正弦函数单调性知，此时角 最大15分
1．D2．B3．B4．D5．A
6．C7．C8．A9．D10．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．781，78112． 13． 14．
15． 16．817．
16解析：切线方程 ，有： ，将 代入得
∴
17解析：解．如图， ，则由 知C在
以 为圆心，1为半径的圆上， ，其中 ，M为 中点∴D在以 为圆心3为半径的圆内（含边界）
球的表面积公式
球的体积公式 ，其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，若 （i为虚数单位）是实数，则 （ ）
A． B．0C．1D．2
绝密★考试结束前
金丽衢十二校、七彩阳光联盟2022届高三下学期3月阶段性联考
数学学科试题
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．若x，y满足约束条件 ，则点 所在区域的面积 （ ）
A． B． C．1D．3
6．每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图．若点G、H、M、N分别是正八面体 的棱 的中点，则下列结论正确的是（ ）