不完全市场下固定消费模式的最优投资组合问题

不完全市场下固定消费模式的最优投资组合问题
张国强;王晶海
【摘要】研究不完全市场中的固定消费模式下的最优投资问题,利用降低布朗运动维数方法将不完全市场转换为完全市场,通过经典的鞅方法,考虑了损失厌恶投资者和一般风险厌恶投资者的两种效用函数,得到了最优的投资组合和最优的财富.比较对两种效用函数下的投资策略发现损失厌恶投资者的行为具有赌博的特点,即在市场变好与变坏之间进行博弈,当市场变坏时,愿意接受固定的损失,以获取更大的收益,与固定消费模式无关,对于一般风险厌恶投资者而言,最优财富只与市场状态价格密度函数和固定消费有关而与其他因素无关.
【期刊名称】《闽江学院学报》
【年(卷),期】2016(037)005
【总页数】11页(P17-27)
【关键词】鞅方法;固定消费;拉格朗日乘子法;不完全市场
【作者】张国强;王晶海
【作者单位】福州大学数学与计算机科学学院,福建福州350116;福州大学数学与计算机科学学院,福建福州350116
【正文语种】中文
【中图分类】O213
随着中国经济的发展和消费水平的提升，投资组合问题已经成为越来越多的人关心的问题，传统的投资消费问题在效用函数的选择、消费模式的选择方面与投资人的
实际情况有些差距.近来新的投资理论不断产生，行为金融学就是其中重要的一面，在前景理论中提出的损失厌恶投资效用函数，较于传统的风险厌恶效用函数更加贴近投资者[1].投资者在进行投资时，一般先考虑的是最大化自己的财富，而对于自
己平时的消费，养成了一定的习惯，经常采用固定的方式进行，不会因市场的更改而更改，所以本文假定投资者的消费是一个固定的函数.实际的投资市场大多是不
完全的市场，所以为了更好地贴近实际情况，本文考虑的是不完全市场.
前景理论是以大量的心理实验结果为依据，认为投资人不是对不确定的财富做出评价，而是对于某个财富参考点的变化做出评价.其对正的评价通常会表现出风险厌
恶的偏好，而对于负的变化则通常表现出风险喜好的偏好，并且对于损失的敏感度要大于对盈利的敏感度.这与传统只考虑风险厌恶效用下的投资情况有很大的不同.
在金融市场中，当股票数目与驱动市场波动的布朗运动的维数相等时，投资市场是完全市场；而当股票数目小于驱动市场波动的布朗运动的维数时市场是不完全市场.本文考虑的是不完全市场，通过适当的转换，减少驱使市场波动的布朗运动的维数，使其与风险资产数目相等，把不完全市场可以转换为完全市场，利用经典的鞅方法可以得到相应的结论.
近年来，在前景理论框架下讨论投资组合问题的研究者越来越多.Gomes[2]讨论了损失厌恶投资者的最优投资组合和损失厌恶对交易规模的影响.Barberis，Huang and Santos[3] 在基于消费的定价模型中引入了损失厌恶效用函数，解释了高均值、异常波动、收益可预测现象和它们跟消费增长的弱相关性现象.Barberis，Huang 研究了前景理论对资产定价，特别研究了概率扭曲部分对资产定价的影
响.Bernard[4] 等人在单期模型中，假定投资者符合前景理论下的损失厌恶效用函数，考虑一个无风险资产和一个风险资产，得到了最优投资组合封闭形式的表达式，最优风险资产比率是广义Omega测度的函数.He and Zhou[5]在单期模型框架下，研究了一般化的行为投资组合选择模型，对于大的获利和损失，得到了一个新的评
价损失厌恶的标准，叫做LAD.Fernandes等人[6] 将心理账户、损失厌恶、概率
扭曲等因素引入到投资决策模型中去，建立了一个多期投资组合选择模型.Levy等人[6]研究发现，虽然前景理论和均值-方差分析理论有着本质的区别，但是利用随机占优的方法，当允许资产无限分割的时候，MV有效集和PT有效集几乎一样，这也表示在投资组合选择方面，前景理论和传统均值-方差理论结果几乎是一样的.Berkelaar等人[8]在连续时间的完全市场背景下，讨论了两种具体的效用函数，研究了损失厌恶投资者的动态最优投资组合问题，他们没有考虑最优解中的拉格朗日乘子的存在唯一性.
受以上研究启发，笔者研究了不完全市场下固定消费这种模式下的最优投资问题，这种金融市场模型更加贴近实际情况.
1.1 不完全市场的转换
假设在的金融市场中存在着n+1中资产，市场中的不确定性由概率空间(Ω,F,P)来描述，是包含t时刻之前的所有信息的σ域流.其中无风险资产为银行债券，其t
时刻的价格为P0(t)，风险资产股票为n种，股票i在其t时刻的价格为Pi(t).
无风险资产满足下列的微分方程：
风险资产满足下列的微分方程:
其中，r(t)>0是无风险利率，b(t)=(b1(t),b2(t),…,bn(t))T是无风险资产的收益率
列向量，记σi(t)=(σi1(t),σi2(t),…,σid(t))(i=1,2,…,n); σ(t)=(σ1(t),σ2(t),…,σn(t))T，则是风险资产的波动率矩阵且假设σ(t)是行满秩矩阵，σ(t)的秩为n，全文假设
r(t),b(t),σ(t)是可测确定函数.
假定消费函数c(t)在[0,T]上时间的连续函数，用z(t)表示t时刻的这部分财富.设
T≥s>t≥0，为了要保证s时刻的消费，需要在t时刻投资投入到风险证券.因为c(t)连续有界，故
那么z(t)满足下面的微分方程
通过减少市场波动的布朗运动维数，使其与股票个数相等，把不完全市场转变为完全市场，从而可以用完全市场的定价来求解不完全市场的模型.
令
则式(1)变为
其中，是n维的布朗运动，但各布朗运动不是互相独立的，其存在的相关关系如下：
其中
记
那么，非奇异对称矩阵可分解为
其中，A(t)=(aij)n×n(i,j=1,2,…,n)为非奇异矩阵.
于是，存在n维独立的布朗运动使得：
则把不完全市场的股票运动方式转变为完全市场下的运动方式，其波动率矩阵为：记
则
同时，可得到完全市场下的波动率矩阵与不完全市场下的波动率矩阵有如下的关系：原金融市场模型转化为如下：
无风险资产满足下列的微分方程：
风险资产的运动方程：
令X(t)表示投资者财富，在t时刻投资于第i种股票的资金数额为
πi(t),i=1,2,…,n,t∈[0,T],记π(t)=(π1(t),π2(t),…,πn(t))T.令X1(t)=X(t)-Z(t)则X1(t)满足如下的方程:
.
其中,x是初始时刻的财富，z是初始时刻的消费，).
令，由鞅定价理论，存在唯一的定价核
,
其中,是等价鞅测度.得到状态价格密度函数:
.
最终可以得到这样的金融模型：
.
1.2 模型的求解
假设效用函数U(x)是风险厌恶的，连续的严格凸的增函数.构造拉格朗日函数
其一阶条件是0=l(X1(T),λ)=E[U′(X(T))-λH(T)]，从而得到U′(X1(T))=λH(T)，
0=l(X1(T),λ)λ=E(H(T)X1(T))-X1(0))进而得到E(H(T)X1(T))=X1(0)，因为U′(x)是严格递减的，所以它必存在一个反函数：I1=U(X′)-1.因此最优的期末财富水平就是：
将其代入第二个一阶条件l(X1(T),λ)λ，就有：
定义：
则最优解就是：
,
可以得到任意时刻t的对应的财富过程为：
.
因为是鞅，由鞅表示定理，存在可测的适应的且满足
的n维向量过程,
从而有
可以得到最优的投资策略为：
由X1(t)=X(t)-Z(t)，可以得到：
1.3 具体实例
这里实例假设U(X)为对数效用函数，ln(x),x>0，按以上推到过程可以求出问题的
最优解：
所以，
由X1(t)=X(t)-Z(t)，可以得到：
t时刻的最优投资为：
由lnH(t)服从均值为，方差为的正态分布.所以，
则
最优的投资策略为：
2.1 模型的求解
损失厌恶投资者的效用函数与传统的效用函数不同，它是S型函数：
其中v1(x):R+→R+是二阶可微的严格凹的增函数，v2(x):R-→R-严格凸的增函数.
此外，为了反映投资者风险厌恶的特点，在0附近v2(x)的斜率大于v1(x)的斜率，也即损失所带来的心理效用要大于同样幅度的盈利所带来的心理效用.
这种金融市场下的最优化问题为：
由定理1可以得到问题(2)的最优解.
定理1 损失厌恶投资者的最优期末财富是：
其中，，并且a>0是下面方程的唯一解：
另外，y=y(X0)>0是满足预算约束方程E(HtX*)=X1(0)的唯一解.
证明：首先求解下面的最大化问题：
如果X≤θ，则得到效用函数v2(X-θ)是严格凸的，取局部最优解在边界上，得或者.
如果X≥θ，则得到效用函数v1(X1-θ)是严格凹的，存在唯一的最优解满足KKT条件：
其中，λ≥0，由于，得到λ=0，由KKT条件可得：
为了得到全局最优解，对和进行比较，如果
则全局最优解是，否则是.
首先比较与，由于
其中的不等式源于v1的凹性，所以不是最优解.
按照相同的方法，比较与，由于
显然，当-yHtθ-v2(-θ)>0,即时，g2(Ht)>0.
容易验证g2(Ht)>0，对于所有的Ht，
因此，函数是严格递减的. 一方面，v1是二次可微的，g2(x)是连续的，另外，容易得出所以，在区间上，g2(Ht)有唯一的零点，记这个点为，即，因此当时，是最优解，否则是最优解.
以上证明了它是问题(4)的最优解，为了证明它是问题(2)的最优解，不妨假设还有一个满足约束条件的的最优解，由于
得出确实是问题(2)的最优解.
通过以上证明可得，对于固定的y>0，存在唯一的满足：.
显然，等式也存在唯一的解x=a，比较上面两个等式可以发现.
下面证明y的唯一性.
定义函数：
它的一阶导数的反函数是严格降的连续函数另外对于y1>y2有
因此X(y1)<X(y2)即X(y)是严格递减的，利用单调控制收敛定理，可知X(y)连续且， X1(0)>0，方程有唯一的解，y=y(X1(0))>0.
定理2 损失厌恶投资者的最优财富过程和最优的投资组合分别是：
证明：
对H(t)X1(t)利用伊藤公式以及定理1中的结论，最优财富过程可以写成：
由鞅表示定理，存在Ψ(t)使得
根据Karatzas and Shreve[9](1998)，最优投资组合π*(t)由下式给出：
又由于
式(6)与式(8)相比较，可以得到：
将Ψ(t)代入式(5)中就可以得到
再由X(t)=X1(t)+Z(t)可以得到结论.
2.2 具体实例
不失一般性，假设如下的损失厌恶投资者效用函数：
其次，假设所有的市场参数是常数，
因为
则由X(t)=X1(t)+Z(t)，可以得到t时刻的最优财富过程为
其中
将其代入等式(5)可以最终得到t时刻的最优投资组合:
对于损失厌恶投资而言，当(y)时(股票市场处于好的状态)，投资者获得超出参考点的财富，相反当(y)时(市场处于不好的状态)投资者的资产全部投入到初始财富
X1(0)中，由于对财富损失时，损失厌恶投资者是风险喜好的，为了获取更大的收益，损失厌恶投资者可以接受更大的损失.这一投资结果反映了损失厌恶投资者的行为具有赌博的特点，即在市场变好与变坏之间进行博弈，当市场变坏时，愿意接受固定的损失，以获取更大的收益.而对于一般风险厌恶投资者而言，最优财富只与市场状态价格密度函数Ht和固定消费有关而与其他因素无关.损失厌恶者的最优投资策略与固定消费模式无关，而风险厌恶投资者的最优投资策略则与固定消费模式有关.
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