天津市滨海新区联考试卷（文）

天津市滨海新区联考试卷
数 学(文)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
一、选择题（每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1.若a (i b i )i 2-=-，其中a 、R b ∈，i 是虚数单位，则a b
3i 等于（ ）A
A ．1
B ．2
C ．
5
2
D ．5
2.若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
则3z x y =-的最大值为（ ）A
A ．4 B.3 C.5 D.0
3.右图给出的是计算20
1
614121+⋅⋅⋅+++的
值的一个程序框图，判断其中框内应填入 的条件是（ ）B
A. 10i <
B. 10i >
C. 20i >
D. 20i < 4.设
111()()1555
b a
<<<，那么( ) C A ．a b a b a a <<
B ．b a a a b a <<
C ．a a b b a a <<
D ．a
a b a b a <<
5．若函数()f x 的零点与()422x
g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可
以是（ ）Ｄ A ．3()2f x x =-
B ．2()(2)f x x =-
C ．()1x
f x e =- D ．3()ln()4
f x x =+ ６.设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、
C 三点共线，则
b
a 2
1+的最小值是（ ）Ｄ A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
7．函数()()
()
⎩⎨⎧≥<+-=1log 13822x x x ax x x f a 在R x ∈内单调递减，则a 的范围是( ) C
A ．⎥⎦
⎤ ⎝
⎛2
1,0
B. )1,2
1[
C ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡8
5,21
D ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,85
８．不等式2334a a x bx -≤++-（其中[]0,1b ∈）对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）B A ．(,1][4,)-∞-+∞
B ．[]1,4-
C ．[1,2]
D ．(,1][2,)-∞+∞
填空题：
二、填空题（每小题5分，共30分）
９．设集合A ={}R x x x ∈≤-,22，B ={}
30,222≤≤+-=x x x y y ， 则()R C A B ⋂= . (－∞,1)∪(4,＋∞)
１０．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm.
16
5
１１．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于 .４
１２．给定下列四个命题：
①“6x π
=
”是“1
sin 2
x =
”的充分不必要条件；
②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③命题2
",0"x x ∀∈≥R 的否定是2
",0"x x ∃∈≤R ；
④线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）. ①，④
１３．若在区间（-1，1）内任取实数a ，在区间（0，1）内任取实数b ，则直线0=-by ax 与圆1)2()1(22
=-+-y x 相交的概率为 .
16
5 １４．已知双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的
顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足
212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 . 3
三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤） １５．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+2
1
cos . （1）求角A 的大小；
（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 解：（1）由b c C a =+
21cos 得1
sin cos sin sin 2
A C C
B += …………2' 又()sin sin sin cos cos sin B A
C A C A C =+=+ …………4'
1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，2
1
cos =∴A ， 又
0A π<<3
π
=
∴A …………6'
（2）由正弦定理得：B A B a b sin 32sin sin ==
,C c sin 3
2
=
()()()22
1sin sin 1sin sin 33
l a b c B C B A B =++=+
+=+++………8' 3112sin cos 22B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎭⎫ ⎝⎛
++=6sin 21πB …………10' ,3A π
=
20,,3B π
⎛⎫
∴∈ ⎪
⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴6
5,66πππB
1sin ,162B π⎛
⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
故ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3.
………… 13'
（2）另解：周长l 1a b c b c =++=++ 由（1）及余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+- 2
2
1b c bc ∴+=+ …………8' 2
2
()1313(
)2
b c b c bc +∴+=+≤+ 2b c +≤ …………10' 又12b c a l a b c +>=∴=++>
即ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3.
…………13'
１６．有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5。

同时投掷这两枚玩具一次，记m 为两个朝下的面上的数字之和。

（1）求事件“m 不小于6”的概率； （2）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论。

解：（1）因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有
（1，1），（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，5） 共16种 4分 （1）事件“m 不小于6”包含其中（1，5），（2，5），（3，5），（3，3）（5，1），（5，2），
（5，3），（5，8）共8个基本事件 6分
所以P(m ≥6)=
2
1
168= 8分 （2）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不相等。

因为m 为奇数的概率为8
3162162162)7()5()3(=++==+=+=m P m P m P 11分
M 为偶数的概率为8
5
831=-。

这两个概率值不相等 13分 １７．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒
︒
=∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成角的正弦值； （Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由. 解：（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .
又90BCA ︒
∠=，∴AC ⊥BC .
∴BC ⊥平面PAC . ………4'
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1
2
DE BC =
， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴1
2
AD AB =
， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒
∠=，∴1
2
BC AB =
. ∴在Rt △ADE 中，2
sin 24
DE BC DAE AD AD ∠=
==， ∴AD 与平面PAC 所成角的正弦值为
4
2
.………9' （Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，
又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，
∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴90PAC ︒
∠=.
∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时90AEP ︒
∠=， 故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角. ………13' 【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系A xyz -， 设PA a =，由已知可得 ()()133
0,0,0,,,0,0,,0,0,0,222A B a a C a P a ⎛⎫⎛⎫-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （Ⅰ）∵()10,0,,,0,02AP a BC a ⎛⎫==
⎪⎝⎭
， ∴0BC AP ⋅=，∴BC ⊥AP .
又∵90BCA ︒
∠=，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .………4'
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，
∴13131,,,422D a a E a ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵13131,,,0,,44242AD a a a AE a ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴14
cos 4
AD AE DAE AD AE
⋅∠=
=
⋅. ∴AD 与平面PAC 所成的角的大小14
arccos 4
.……9' （Ⅲ）同解法1. ………13'
１８．设数列.0,,),(1,}{*
11≠∈-+==+c c a N n c ca a a a a n n n 且为实数其中满足
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设))(1(,2
1
,21*N n a n b c a n n ∈-===，求数列.
}{n n S n b 项和的前 （3）设4
1
,43-==
c a ，n n n a a c -+=
23)(*∈N n ，记)(122*-∈-=N n c c d n n n ，设数列
{}n d 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32
n T <；
解：（1）),1(1,111-=--+=++n n n n a c a c ca a }1{,11-≠=∴n a a a 时当是首项为c a 公比为,1-的等比数列 2分 .1)1(,)1(111+-=-=-∴--n n n n c a a c a a 即 4分
当1,1==n a a 时仍满足上式。

)(1)1(}{*1N n c a a a n n n ∈+-=∴-的通项公式为数列
注：未考虑01=-a 的情况，扣1分。

（2）由（1）得，当21
,21==c a 时， .)21
(]})21(1[1{)1(n n n n n n a n b =--=-= 8分
.)2
1
()21(3)21(2213221n n n n b b b S ⨯++⨯+⨯+=+++=∴
.)2
1
()21(2)21(21132+⨯++⨯+=n n n S 9分 两式作差得
.)2
1
()21()21(212112+⨯-+++=n n n n S 11分
n n n n S )2
1()21()21(21112⨯-++++
=- .2)211(2)21(2
11)21(1n n n n
n n --⨯=⨯---=
.2
2
2n n n S +-=∴ 13分
（3）1)4(54)
4
1(1)41(423--+=---+=
-+=n n n
n n n a a c n n n n n n n n n n n n n n c c d 1625
)16(16254163)16(1625)416)(1_16(162514514522122122=
⨯<-⨯+⨯=+⨯=++-=-=--又3
4,313,3221=∴==d c c ，
当1=n 时，132
T <，
当2n ≥时，
2
223211[1()]41114161625()25131616
163116
14693162513482116
n n n T --<
+⨯+++=+⨯
-<+⨯=<-
…………………………………14分
１9．已知函数3
2
2
()(1)52f x x k k x x =--++-，2
2
()1g x k x kx =++，
其中k ∈R ．
（I ）设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(0,3)上不单调．．．，求k 的取值范围； （II ）设函数(),0,
()(),0.g x x q x f x x ≥⎧=⎨
<⎩
是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一
的非零实数2x （21x x ≠），使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存 在，请说明理由．
解法一： （I ）因3
2
()()()(1)(5)1P x f x g x x k x k =+=+-++-，
()232(1)(5)p x x k x k '=+-++， 2分
因()p x 在区间(0,3)上不单调，．．．．所以()0p x '=在()0,3上有实数解，且无重根，3分 由()0p x '=得2
(21)(325),k x x x +=--+
()2(325)391021214213x x k x x x -+⎡⎤
∴=-=-++-⎢⎥++⎣⎦
，令21,t x =+有()1,7t ∈，记
9
(),h t t t
=+则()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，所以有()[)6,10h t ∈，
于是()[)9
216,1021
x x ++
∈+，得(]5,2k ∈--，而当2k =-时有()0p x '=在()0,3 上有两个相等的实根1x =，故舍去，所以()5,2k ∈--；8分 解法二：当()0p x '=在)3,0(内有一根
0)3()0(≤''p p 0)267)(5(≤++∴k k 7
26
5-
≤≤-∴k
又当5-=k 时0)(='x p 的两根为01=x ，42=x 不满足舍
7
265-
≤<-∴k
当()0p x '=在)3,0(内有两个根时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>'>'>∆<⨯--<0
)3(0
)0(0
332)1(20f f k )2,726(--∈∴k
综上所述；)2,5(--∈k
（II ）当0x <时有()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++；
当0x >时有()()22q x g x k x k ''==+，因为当0k =时不合题意，因此0k ≠，10分 下面讨论0k ≠的情形，记A (,)k =+∞，B=()5,+∞（ⅰ）当10x >时，()q x '在()0,+∞上单调递增，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x <且A B ⊆， 因此有5k ≥， 12分
（ⅱ）当10x <时，()q x '在)0,(-∞上单调递减，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x >且A B ⊆，因此5k ≤，综合（ⅰ）（ⅱ）5k =；
当5k =时A=B ，则()110,x q x B A '∀<∈=，即20,x ∃>使得()()21q x q x ''=成立，因为()q x '在()0,+∞上单调递增，所以2x 的值是唯一的；
同理，10x ∀<，即存在唯一的非零实数221()x x x ≠，要使()()q x q x ''=成立，所以5k =满足题意．14分
解法二：当0<x 时，5)1(23)()(2
2
++--='='x k k x x f x q
当0≥x 时，k x k x g x q +='='22)()(
当0=k 时，显然不符合题意 当0≠k 时，02
>k 当
0≥x 时，)(x q '在[)+∞,0上单调递增，且k q x q ==)0()(min
又当0<x 时，5)1(23)()(2
2
++--='='x k k x x f x q ，欲使对任意给定的非零实数1x ，
存在惟一的非零实数2x （21x x ≠），使得21()()q x q x ''=，应满足⎪⎩
⎪⎨⎧='≥⨯+---
k f k k )0(03
2)
1(22 5=∴k
x
y
20.如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与一等轴双曲线相交，M 是其中一个交点，并且
双曲线的顶点是该椭圆的焦点12,F F ，双曲线的焦点是椭圆的顶点12,A A ，12MF F ∆的周长为4(21)+.设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为
B A 、和
C
D 、.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·
1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）由题意知，双曲线的离心率为2，椭圆离心率为
c
a
=22，得2a c =，1分 又22a c +=4(21)+，所以可解得22a =，2c =，所以222
4b a c =-=，所以椭圆
的标准方程为22
184
x y +=； 4分 所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
22
144
x y -=。

6分 M
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。

其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， 31.（四川卷文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记*4()1n
n n
a b n N a +=
∈-。

（I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；
（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；
（III ）记*
221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都
有32
n T <； 解（I ）当1=n 时，111151,4
=+∴=-a S a 又1151,51++=+=+n n n n a S a S 11115,4
即+++∴-==-n n n n n a a a a a ∴数列{}n a 是首项为114=-
a ，公比为14
=-q 的等比数列， ∴1()4=-n n a ，*14()4()11()4+-=∈--n n n
b n N …………………………………3分 （II ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

证明：由（I ）知14()5441(4)11()4
+-==+----n n n n b 2122125
55201516408888.(4)1(4)1161164(161)(164)--⨯-+=++=+-=-<-----+-+k k k k k k k k k b b ∴当n 为偶数时，设2()n m m N *=∈
∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++++<=
当n 为奇数时，设21()n m m N *=-∈
∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=+++++++<-+=-= ∴对于一切的正整数n ，都有4n R k <
∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

…………………………………8分 （III ）由54(4)1
n n b =+--得 2122212255151615161516154141(161)(164)(16)3164(16)16n n n n n n n n n n n n n n
c b b --⨯⨯⨯=+=+==<=-+-++⨯-又1221343,,33
b b
c ==∴=，
当1=n 时，132
T <， 当2n ≥时， 2223211[1()]41114161625()25131616
163116
1
4693162513482116n n n T --<+⨯+++=+⨯-<+⨯=<-。