考研数学二(解答题)模拟试卷298(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷298(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．设A是n阶可逆矩阵，且A与A一1的元素都是整数，证明：｜A｜=±1．
正确答案：由于AA一1=E，则｜A｜｜A一1｜=1．因为A的元素都是整数，所以｜A｜必是整数,同理可得，｜A一1｜亦必是整数．又由于两个整数｜A｜和｜A一1｜相乘为1，故｜A｜和｜A一1｜只能同时取值为±1．涉及知识点：行列式
2．设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=0．
正确答案：反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则．由题设，对此x0，y∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤＜f(x0)，与f(x0)是最小值矛盾．因此，ξ∈[a，b]，使f(ξ)=0．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法
3．求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最小值和最大值．
正确答案：显然f(x)为偶函数，只研究f(x)在[0，+∞)上的最小值和最大值．涉及知识点：高等数学
4．设X1，X2是取自正态总体X的简单随机样本，X服从N(0，σ2)，求。

正确答案：由已知，X1和X2都服从N(0，σ2)，从而X1+X2服从N(0，2σ2)，X1一X2服从N(0，2σ2)．
解析：考查统计量所表示事件的概率，应从统计量的分布入手，再计算概率．知识模块：概率论与数理统计
5．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．
正确答案：存在因为f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=-f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．涉及知识点：一元函数微分学
6．求下列定积分：
正确答案：(Ⅱ)由于故作平移：χ－＝t并记c＝，则涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
7．已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足χ2＝χ3的全部分．
正确答案：将解向量χ＝(1，－1，1，－1)T代入方程组，得λ＝μ．对方程组的增广矩阵施行初等行变换：(1)当λ≠时，有因r(A)＝r()＝3＜4，故方程组有无穷多解，全部解为χ＝(0，－，0)T＋k(－2，1，－1，2)T，其中k为任意常数．当λ＝时，有因r(A)＝r()＝2＜4，故方程组有无穷多解，全部解为χ＝(－，1，0，0)T＋k1(1，－3，1，0)T＋k2(－1，－2，0，2)T，其中k1，k2为任意常数．(2)当A≠时，由于χ1＝χ2，即－k，解得k＝，故此时，方程组的解为χ＝(－2，1，－1)T＝(－1，0，0，1)T．当λ＝时，由于χ2＝χ3，即1－3k1－2k2＝k1，解得k2＝－2k1，故此时全部解为χ＝(－，1，0，0)T＋k1(1，－3，1，0)T＋(－2k1)(－1，－2，0，2)T＝(－1，0，0，1)T＋k1(3，1，1，－4)T．涉及知识点：线性方程组
8．设f(x)具有连续导数，求
正确答案：由积分中值定理可知，存在ξ∈[一a，a]，使∫-aa[f(t+a)一f(t一a)]dt=2a[f(ξ+a)一f(ξ一a)]，再由微分中值定理可知，存在η∈(ξ—a，ξ+a)，使f(ξ+a)-f(ξ一a)=2af’(η)．由夹逼准则可知，当a→0+时ξ→0，η→0，故涉及知识点：函数、极限、连续
9．设α是一个n维非零实列向量．构造n阶实对称矩阵A，使得它的秩=1，并且α是A的特征向量，特征值为非零实数A．
正确答案：ααT是n阶实对称矩阵，秩为1，并且从例5．2知道，并且α是ααT的特征向量，特征值为αTα=(α，α)．和题目要求只差在α的特征值上．于是记c=λ／(α，α)，设A=cααT，则A是n阶实对称矩阵，秩=1，并且Aα=cααTα=c(α，α)α=λα．涉及知识点：特征向量与特征值，相似，对角化
10．求不定积分
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学
11．
正确答案：涉及知识点：不定积分
设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。

12．求导数f’(x)；
正确答案：由题设知(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。

上式两边对x求导，得(x+1)f’(x)=一(x+2)f’(x)，即有两边积分，得ln｜f’(x)｜=一x一ln(x+1)+C1，所以在题设等式中令x=0，得f’(0)+f(0)=0。

又已知f(0)=1，于是f’(0)=一1，代入f’(x)的表达式，得C=一1，故有涉及知识点：常微分方程
13．证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。

正确答案：由上题中结果知，当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。

设φ(x)=f(x)一e—x，则φ(0)=0，φ’(x)=f’(x)+e—x=，当x≥0时，φ’(x)≥0，即φ(x)单调增加。

因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e—x。

综上所述，当x≥0时，不等式e—x≤f(x)≤1成立。

涉及知识点：常微分方程
14．已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．
正确答案：设三角形的三边长为a，b，c，并设以AC边为旋转轴(见图8．1)，AC上的高为h，则旋转所成立体的体积为V＝πh2b．又设三角形的面积为S，于是有问题化成求V(a，b，c)在条件a＋b＋c－2p＝0下的最大值点，等价于求V0(a，b，c)＝ln(p－a)(P－b)(P－c)＝ln(p－a)＋ln(p－b)＋ln(p－c)－lnb 在条件a＋b＋c－2p＝0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)＝V0(a，b，c)＋λ(a＋b＋c－2p)，求解方程组比较①，③得a＝c，再由④得b＝2(p－a)．⑤比较①，②得b(p－b)＝(P－a)P．⑥由⑤，⑥解出，又c＝a＝．由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为时，绕边长为的边旋转时，所得立体体积最大．涉及知识点：多元函数微分学
15．设其中函数f，g具有二阶连续偏导数，求
正确答案：因为所以涉及知识点：多元函数微分学
16．已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx一dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x0，记y0=y(x0)．(1)证明：y(x)＜y0+一arctan x0；
正确答案：(1)将微分方程(x2+y2)dy=dx一dy变形为，则y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明y(x)有界即可．对两边从x0到x积分，得涉及知识点：微分方程
17．计算
正确答案：按第一列展开，得涉及知识点：线性代数
18．设D＝是正定矩阵，其中A，B分别是m，n阶矩阵．记P＝(1)
求PTDP．(2)证明B－CTA-1C正定．
正确答案：(1)pT)DP＝(2)因为D为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定．于是由上例的结果，得R－CTA-1C正定．涉及知识点：二次型
19．设函数y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且y(0)＝0，求函数y＝y(χ)．
正确答案：由△y＝＋o(△χ)得y＝y(χ)可导且由y(0)＝0得C＝，故y ＝χ2．涉及知识点：常微分方程
20．求不定积分
正确答案：涉及知识点：一元函数积分学。