广东省韶关市高二数学上学期期中试题 理

2016-2017学年上期期中考试试卷
高二数学（理科）
时量：120分钟 总分：150
一选择题（每小题5分，共60分）
1．在△ABC 中，60A ∠=︒，2AB =，且△ABC 的面积ABC S ∆=BC 的长为（ ）
A B ．3 C D ．7
2．设命题p ：对x e R x x
ln ,>∈∀+，则p ⌝为（ ） A ．00ln ,0
x e R x x <∈∃+ B ．x e R x x ln ,<∈∀+ C ．00ln ,0
x e
R x x ≤∈∃+ D ．x e R x x ln ,≤∈∀+
3. 已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <，下列选项中不一定．．．成立的是（ ） （A ）ab ac > （B ）()0c b a -> （C ）22cb ab > （D ）()0ac a c -<
4.当x>3时，不等式1
1
x a x +
≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) (]
[)
77.,3.3,.,.,22A B C D ⎡⎫⎛
⎤-∞+∞+∞-∞⎪
⎢⎥⎣⎭
⎝
⎦
5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是
A ．
S
6 B ．
S
7 C ．
S
8
D ．
S
9
6．2x 2
－5x －3<0的一个必要不充分条件是( )
A ．－12<x <3
B ．－12<x <0
C ．－3<x <1
2 D ．－1<x <6
7.下列命题中，其中是假命题的是（ ）
A ．“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数cos y x =的一个周期”
B ．“0m >”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥不存在零点”的充分不必要条件
C ．“若a b ≤，则221a b
≤-”的否命题
D ．“任意()0,a ∈+∞，函数x
y a =在定义域内单调递增”的否定
8.已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
若z ax y =+的最大值为4，则a =( )
A ．2 B.3 C. 2- D. 3- 9．数列{}n a 满足122,1,a a ==并且11
11
(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅则数列的第100项为（ ）
A ．
10012 B ．5012 C ．1100 D ．1
50
10.已知命题
,命题
,若命题“
”
是真命题,则实数的取值范围是( ) A.
B.
C.
D.
11．在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2
2
2
2a
b c +=,则cos C 的最小值为 （
）
A B ．
C ．
12
D ．12
-
12.定义在(,0)
(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍
是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)
(0,)-∞+∞上的如下函
数:①2
()f x x =; ②()2x
f x =; ③()f x =; ④()ln ||f x x =.
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）
A ．① ②
B ．③ ④
C ．① ③
D ．② ④
二、填空题（每小题5分，共20分）． 13.若直线
1(0,0)x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 14.在∆ABC 中，A =
60，b=1，面积为3，则
C
B A c
b a sin sin sin ++++的值是
15．已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q 则=+++1122212log log log a a a ____．
16．已知点(),A a b 与点()1,0B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法：
①34100a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；2>；④当0a >且1,0a b ≠>时，1b a -的取值范围是53,,24⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．其中所有正确说法的序号是
__________．
三．解答题（共70分）
17. （10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（1）求C ； （2）若7=c ,ABC ∆，求ABC ∆的周长．
18.（12分）．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足31x -<． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
19．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋λ·n＋λ
2
n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不
存在，请说明理由；
20．（12分）设函数2
()1f x mx mx =--.
（1）若对一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围. （2）对于[1,3],()5x f x m ∈<-+恒成立，求m 的取值范围.
21．（12分）已知数列{}n a 的首项12
3a =
，121n n n
a a a +=+，1,2,3,n =…．
（1）证明：数列1{1}n a -是等比数列；（2）求数列{}n
n
a 的前n 项和n S ．
22．（12分）设f （x ）=3ax 2+2bx+c ，若a+b+c=0，f （0）f （1）＞0，求证： （1）方程f （x ）=0有实根．
（2）若﹣2＜＜﹣1且设x 1，x 2是方程f （x ）=0的两个实根，则≤|x 1﹣x 2|＜
高二数学（理科）
时量：120分钟 总分：150
1.A
2.C
3.C
4.D
5.B
6.D
7.B
8.A
9.D 10.A 11.C 12.C 13.4 14. 3
39215. .55
16．③④由无界性可得a b +无最值；命题③由点),(b a A 在直线01043=+-y x 的左上方，
2>；解命题④主要抓住
1
b
a -的几何意义再作图，从而可得只有③④正确． 17．（10分）由已知及正弦定理得，()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =， 即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =． 可得1cosC 2=
，所以C 3
π
=．
（II ）由已知，
1sin C 2ab =．又C 3
π
=，所以6ab =． 由已知及余弦定理得，222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=，从而()2
25a b +=．
所以C ∆AB 的周长为5．
18. （12分）（1）由x 2
﹣4ax+3a 2
＜0得（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0 当a=1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．
由|x ﹣3|＜1，得﹣1＜x ﹣3＜1，得2＜x ＜4即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ＜4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真 ∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3． （2）由x 2
﹣4ax+3a 2
＜0得（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0，
若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则￢p ⇒￢q ，且￢q ⇏￢p ，
设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A ⊊B ， 又A={x|￢p}={x|x ≤a 或x ≥3a}， B={x|￢q}={x|x ≥4或x ≤2}，则0＜a ≤2，且3a ≥4∴实数a 的取值范围是
19．（12分） (1)由2a n ＋1＋S n －2＝0①
当n≥2时2a n ＋S n －1－2＝0② ∴2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0 ∴a n ＋1a n ＝1
2
(n≥2)
∵a 1＝1,2a 2＋a 1＝2⇒a 2＝12 ∴{a n }是首项为1，公比为1
2
的等比数列，
∴a n ＝(12
)n －1
.
(2)S n ＝2－1
2
n －1
若{S n ＋λn ＋λ2n }为等差数列，则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ
23成等差数列，
∴2(S 2＋2λ＋λ22)＝S 1＋32λ＋S 3＋25λ8 ∴λ=2,经检验知{S n ＋λn ＋λ
2
n }为等差数列。

20．（12分）（1）①0m =时，符合题意②20
0(4,0)040m m m m <<⎧⎧⇒⇒-⎨⎨∆<+<⎩⎩
综上可知(4,0]m ∈-
（2）2
[1,3],60x mx mx m ∈-+-<恒成立，令2
()6g x mx mx m =-+-
①0m =时，符合题意②0m ≠时，对称轴1
2
x =，当0m <时，满足： (1)0g <⇒60m m <⇒< 当0m >时，满足：6
(3)007
g m <⇒<<
综上可知：6
(,)7
m ∈-∞
21．（12分）解：（1）
1
21
n
n n a a a +=
+，∴ 1
11
111222n n n n a a a a ++==+⋅
， ∴ 1
111
1(1)2n n a a +-=-，又
123a =，∴111
12a -=， ∴数列1{1}
n
a -是以为12首项，12为公比的等比数列． …………4分 （2）由（Ⅰ）知
1111111222n n n a -+-=⋅=，即11
12
n n a =+， ∴
2n n n n n a =+． 设23123222n T =+++ (2)
n n
+， ① 则231
122
22n T =
++ (1122)
n n n n
+-++，②
由①-②得2111222n T =++ (111)
11(1)
1122112222212
n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ∴11222n n n n T -=--．又123+++ (1)
2
n n n ++=．
()21242
22222
n n n n n n n n n S +++++=-+=-
22．设f （x ）=3ax 2
+2bx+c ，若a+b+c=0，f （0）f （1）＞0，求证： （1）方程f （x ）=0有实根．
（2）若﹣2＜＜﹣1且设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则≤|x1﹣x2|＜．
【解答】证明：（1）若a=0，则b=﹣c，
f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=﹣c2≤0，
与已知矛盾，所以a≠0．
方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2﹣3ac），
由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a2+c2﹣ac）=
故方程f（x）=0有实根．
（2）由条件，知，，
所以（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．
因为﹣2＜＜﹣1所以
故。