高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第9练三角函数的概念、三角恒等变换练习文(2021学年)

(全国通用)2０18届高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第9练三角函数的概念、三角恒等变换练习文
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第９练三角函数的概念、三角恒等变换
[明考情]
三角函数的概念和三角恒等变换是研究三角函数图象、性质的基础,常在交汇点处命题,个别年份单独命题,难度中档偏下．
[知考向］
1.任意角的三角函数。

２。

三角函数的求值与化简。

３．三角恒等变换的应用。

考点一任意角的三角函数
要点重组 (1）终边相同的角：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成集合S＝｛β|β＝α+k·３60°，k∈Ｚ｝.
(2)三角函数：角α的终边与单位圆交于点P1(x，y），则sｉn α＝y,coｓα＝ｘ，taｎα=y x
(x≠0).
（3)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切，四余弦．
1。

已知圆Ｏ：x２＋ｙ２＝4与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆O顺时针运动错误!弧长到达点N,以ON为终边的角记为α，则ｔan α等于（ )
A.－１B。

１Ｃ.－２ D.２
答案 B
解析圆的周长为4π，错误!弧长对应的圆心角为错误!，故以ＯＮ为终边的角为错误!，故tan α=１。

2。

已知角α的终边经过点(m,＼r（3，m）)，若α=错误!,则m的值为( )
Ａ。

27 B。

１
27
C。

９Ｄ。

错误!
答案Ｂ
解析角α的终边经过点(＼r（ｍ)，3m），
若α＝错误!,则tan 错误!＝tan错误!=错误!＝错误!=
1
6
m ,则m=错误!．
3。

已知角θ的顶点为坐标原点,始边为ｘ轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上的一点,且ｓin θ＝-错误!,则ｙ＝__＿__＿_＿。

答案-８
解析因为r=错误!＝错误!，且sｉn θ=-错误!,所以ｓｉn θ＝错误!＝错误!＝－错误!，
所以θ为第四象限角，解得ｙ=-8。

4。

(2０17·北京)在平面直角坐标系ｘＯy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y
轴对称．若ｓiｎα＝1
3
，则sin β＝_＿______.
答案＼f（1,３)
解析由角α与角β的终边关于y轴对称，
可知α+β＝π＋2kπ（k∈Ｚ)，所以β=２kπ＋π-α（k∈Z),
所以ｓｉn β＝sin α=＼ｆ（1，３)。

５.函数y＝错误!的定义域是＿＿＿__＿_＿.
答案错误!,k∈Z
考点二三角函数的求值与化简
要点重组（1)同角三角函数基本关系式:siｎ2α+ｃｏs２α=1，错误!=ｔan α.
(2）诱导公式：角＼ｆ(k，2)π±α（k∈Z）的三角函数口诀：
奇变偶不变,符号看象限.
（3）和差公式.
方法技巧 (1）三角函数求值化简的基本思路“一角二名三结构”;注意角的变形,看函数名称之间的关系；观察式子的结构特点。

(２)公式的变形使用尤其是二倍角余弦的变形是高考的热点，sin２α=错误!，cｏs2α＝错误!. 6。

(2０17·安徽淮北二模)已知α满足ｓin α＝错误!,则cos错误!ｃos错误!等于( ）Ａ。

错误!Ｂ.错误!
C.－错误!ﻩD。

－错误!
答案 A
解析 cos错误!coｓ错误!＝错误!(cｏs α－sin α)·错误!(cos α＋sin α）
=＼f(１,2）（coｓ２α－sｉn2α）=错误!（1－２sin2α)＝错误!错误!=错误!，故选A。

７.（20１7·全国Ⅲ)已知sｉn α-coｓα＝＼f（4,3），则sin ２α等于( )
A.-错误!Ｂ.-错误!Ｃ.错误! D。

错误!
答案 A
解析∵ｓｉｎα-cos α＝错误!，
∴(sin α-cｏｓα）2＝1－2siｎαｃos α＝1－sin 2α=＼ｆ(16，9),
∴sin ２α＝-错误!。

故选Ａ.
8。

若(4tａn α＋1)(1-４ｔan β)＝1７，则ｔan(α-β)等于（)
A.错误! B。

错误!Ｃ。

4 Ｄ.１2
答案Ｃ
解析由已知得4tａn α-1６ｔａn αｔan β＋1-4taｎβ=１7,
∴tａn α－tan β=4(１＋tan αtａn β)，
∴tan（α－β）＝错误!＝4.
9.(2017·全国Ⅰ)已知α∈错误!,tａn α=２，则cos错误!＝__＿_____.
答案＼f（３10,1０）
解析cos错误!=cos αcｏs 错误!+siｎαsiｎ错误!＝错误!（cｏs α＋sin α）.
又由α∈错误!，tａn α＝2知，ｓｉn α＝错误!，coｓα＝错误!,
∴cｏs错误!＝错误!×错误!=错误!。

10。

已知cos(2α－β）=－
11
１4
，siｎ(α-２β)=错误!,0<β<错误!＜α<错误!,则α＋β=_____
＿_＿。

答案错误!
解析因为cos(２α－β)＝-错误!且错误!＜2α-β＜π,
所以sin(2α-β)=错误!.
因为sin(α-２β）＝错误!且－错误!＜α-２β<错误!,
所以cos(α-2β）=错误!.
所以cｏs(α＋β)＝cos[(2α-β)-(α－2β)]
＝ｃｏs（2α－β)cos(α-2β)＋sｉn（２α－β)ｓin(α－2β)
=－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
因为＼f(π，４)<α+β＜＼f(3π,４),
所以α＋β＝错误!。

考点三三角恒等变换的应用
要点重组辅助角公式：ａsin α+ｂｃoｓα＝ａ2＋ｂ２·sin(α＋φ),
其中ｃｏｓφ＝错误!，sin φ=错误!。

1１.(２01７·山东)函数y＝＼r（3)ｓin 2x+cos 2ｘ的最小正周期为（）
A.π
2
B。

错误! C．π D.２π
答案Ｃ
解析∵y=错误!ｓin 2x＋cos 2x=2sin错误!，∴T=错误!＝π。

故选C.
12.(2017·全国Ⅲ）函数ｆ（x）＝1
5
sｉｎ错误!+cos错误!的最大值为( )
Ａ。

错误! B。

1 C。

错误! D。

错误!
答案 A
解析方法一∵ｆ(x）=错误!ｓin错误!+cos错误!
＝错误!错误!+错误!cｏｓx+错误!ｓiｎx
=错误!sin ｘ+错误!cos ｘ+错误!cos ｘ＋错误!ｓin x
＝＼f(３,５)sin x+33
5
ｃos ｘ＝错误!sin错误!,
∴当x＝错误!+2kπ(k∈Z）时，ｆ（ｘ)取得最大值错误!.
故选A。

方法二∵错误!＋错误!＝错误!，
∴f（ｘ）=错误!siｎ错误!+cｏs错误!=错误!siｎ错误!+coｓ错误!
=错误!sin错误!+siｎ错误!=错误!siｎ错误!≤错误!。

∴ｆ（x）max=错误!.
故选Ａ。

13．已知函数f（x)＝coｓ2ｘ－sin2x,下列说法错误的是（ )
A.ｆ（x)的最小正周期为π
B.直线ｘ＝＼f（π，2)是f（ｘ)图象的一条对称轴
C。

f（x)在错误!上单调递增
D.|f(x)｜的值域是[0,1］
答案Ｃ
解析f（ｘ)=cｏｓ２ｘ,f(ｘ)在错误!上不单调,
∴选项Ｃ中的结论错误。

14．设当x＝θ时,函数f（x)=sｉn ｘ-2ｃｏｓx取得最大值,则cos θ＝_＿＿＿＿___．答案-错误!
解析ｆ（x)＝siｎx-2coｓx=错误!错误!＝错误!sｉn(x－φ），
其中ｓｉn φ=错误!,cos φ＝错误!．
当x－φ＝2kπ＋错误!(k∈Z)时,函数f(x)取到最大值，
即当θ=２ｋπ+错误!+φ时，函数f(x)取到最大值,
所以cos θ=-sin φ＝-＼f(2＼r（５）,５)．
1５。

函数ｆ（x)＝sin x－cｏs错误!的值域为_＿_＿__＿_．
答案 [－＼r（3),错误!］
解析ｆ(x）＝sｉn ｘ－ｃoｓ错误!
＝sin ｘ-错误!
=3
2
sｉn ｘ－错误!cos x
＝3错误!
＝错误!sin错误!∈[－错误!，错误!］.
1.设coｓ(－80°）=k,那么tａn 1０0°等于（ ) A。

错误!ﻩ B.-错误!
Ｃ。

错误!ﻩD．-错误!
答案 B
解析ｓin 8０°=＼r(1－ｃos2８0°）=错误!=错误!,
所以tan 10０°=－tan 80°＝－
sin 8０°
cos 8０°
=－错误!。

2。

设α∈错误!,β∈错误!,且tan α＝错误!,则( ）Ａ。

３α－β=错误!ﻩ B.2α－β=错误!
C.3α+β=错误!Ｄ。

2α+β=错误!
答案B
解析∵tａn α=错误!=错误!,
∴sinαcｏs β＝ｃos α＋cｏs αsiｎβ，
∴sin(α－β)=cos α=ｓin错误!。

ﻩﻩ①
∵0<α＜π
2
,０<β＜错误!,
∴-错误!＜α－β＜错误!，０＜错误!-α＜错误!，
∴由①得α－β＝错误!-α,即2α－β＝错误!.故选B.
３.已知ｓｉn θ+cos θ＝错误!,θ∈(0,π），则tan θ的值为________．
答案－错误!
解析∵sｉn θ+cos θ＝错误!,θ∈(0,π），
∴(ｓｉn θ＋cｏs θ)2=1+2sｉｎθｃos θ=＼f（4９,１69),
∴sin θcos θ＝－错误!,
∴（sｉn θ－cos θ)2=1-2siｎθcｏs θ=错误!.
又θ∈(0，π)，∴sin θ＞０,cos θ<0，
∴ｓiｎθ-ｃos θ=错误!，
∴sin θ=错误!,cos θ＝-错误!,
∴ｔan θ＝-错误!.
解题秘籍(１）使用平方关系求函数值，要注意角的某象限和三角函数值的符号.
(2)利用三角函数值求角要解决两个要素:①角的某一个三角函数值；②角的范围（尽量缩小). 1。

点Ｐ从（1,0)出发，沿单位圆ｘ2+y２＝1逆时针方向运动错误!弧长到达Q点，则点Q的坐标
A.错误! B。

错误!Ｃ.错误!D．错误!
答案A
解析设点Q的坐标为(x，y),
则x＝ｃｏs 错误!=-错误!,y=sin 错误!=错误!。

∴点Q的坐标为错误!.
2．若０≤sin α≤错误!,且α∈［－２π,0］,则α的取值范围是（ )
A。

错误!∪错误!
B.错误!∪错误!(k∈Z)
Ｃ。

错误!∪错误!
D.错误!∪错误!（k∈Z)
答案 A
解析根据题意并结合正弦线可知，
α满足错误!∪错误!(k∈Z)，
∵α∈[-2π，0］，∴α的取值范围是错误!∪错误!.
故选A。

3。

(２0１7·贵州七校联考)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=２x上,则sｉn错误!的值为( )
A.－错误!
B.错误!C。

-错误! D．错误!
答案 D
解析由题意得taｎθ=2,
∴ｓin 2θ=2ｓｉn θcos θ＝错误!=错误!，
cos 2θ=cｏｓ2θ-sin2θ=错误!=－错误!，
∴sin错误!＝错误!（ｓin 2θ+coｓ 2θ）=错误!。

4.若α是第四象限角,ｔan错误!＝－错误!,则cos错误!等于( ）
A。

1
5
B。

－错误!Ｃ。

错误!D。

-错误!
解析由题意知，sｉｎ错误!=-错误!，cos错误!=cos错误!=sｉn错误!=－错误!。

5。

2cos １0°-sin 20°
sin 7０°
的值是（）
Ａ。

错误!Ｂ.错误!C．错误! D。

错误!答案Ｃ
解析原式=错误!=错误!
＝错误!＝错误!.
6。

已知sin α=＼ｆ（＼r（5）,5）,sin(α－β）＝－＼r(10)
1０
，α,β均为锐角，则角β
等于( )
A。

错误! B.错误! C。

错误! D.错误!
答案C
解析因为α，β均为锐角，
所以-错误!<α-β<错误!.
又sin（α-β）＝－错误!,
所以cos（α－β)＝错误!。

又sin α＝错误!，所以cos α=错误!。

所以sｉｎβ=siｎ［α-(α-β)］＝sｉｎαｃos(α－β)-cｏs αsin（α－β）
＝错误!×错误!-错误!×错误!＝错误!，
所以β=错误!．
７．tan 70°＋tan 50°－３tan 7０°taｎ50°的值等于（ )
A． 3 B.错误! C.－错误! D。

-错误!
答案 D
解析因为tan 120°=＼f（tａn 70°+ｔan 5０°，１－tan 7０°tａn 50°)＝-＼r(３）,
即taｎ７０°+tan 50°－3tan 70°tan ５０°＝-错误!。

8.记a=sin(cos ２010°），b=sｉn（sin 2 ０10°），c=cos(sin 2 0１0°),d＝cｏs（cｏs 2 01０°），则ａ，b,c,d中最大的是（）
A。

a B。

bＣ.c D.d
答案 C
解析注意到 2 0１０°=360°×5＋１80°＋３０°，因此sin 2 010°＝－siｎ３0°＝
-１
2
,coｓ 2 01０°=-ｃoｓ３0°＝-错误!，因为－错误!＜－错误!<０,-错误!<-错误!<0,０＜
错误!＜错误!＜错误!，所以ｃｏｓ错误!＞cos 错误!＞0，所以a=sin错误!=－ｓin错误!＜０，b=s ｉn错误!＝-sin 错误!＜0,c＝cos错误!＝cos 错误!>d=cos错误!=cｏｓ错误!＞０，因此c最大。

９.已知角α终边上一点Ｐ（－4，3），则错误!的值为＿____＿__．
答案－错误!
解析原式＝＼f（－sin α·sｉn α,－sin α·cｏs α)＝ｔan α.
根据三角函数的定义,得taｎα=错误!=－错误!，
所以原式=-错误!.
10.已知taｎα=4,则＼ｆ(1＋cos 2α＋４sｉｎ2α，sｉｎ 2α)的值为_＿______。

答案错误!
解析１+cos 2α+4siｎ2α
siｎ2α
＝错误!＝错误!=错误!=错误!。

11.若函数f（ｘ)=ｃos ωx cos错误!（ω＞0)的最小正周期为π,则ω的值为______＿_。

答案1
解析由于f（x）＝cｏs ωxｃoｓ错误!＝错误!sｉn ２ωｘ,所以T=错误!＝π⇒ω=1.
１2。

若α∈错误!,则错误!的最大值为_＿_＿＿___.
答案错误!
解析∵α∈错误!，
∴＼f(siｎ 2α，siｎ２α+４coｓ2α)=错误!＝错误!,且ｔan α＞0，
∴＼f(２ｔan α,tan2α+4)＝错误!≤错误!＝错误!,
故
sin 2α
sin2α+4ｃos2α
的最大值为＼f(１,2）.
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

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来,回归自我。

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11。