苏科版八年级数学上 第二次月考测试题(Word版 含答案)

苏科版八年级数学上 第二次月考测试题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．如图，一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ）
A ．y=-x+2
B ．y=x+2
C ．y=x-2
D ．y=-x-2
2．下列志愿者标识中是中心对称图形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，我们知道数轴上的点与实数一一对应，由图中的信息可知点P 表示的数是（ ）
A ．132--
B ．132-+
C ．132-
D ．13-
4．下列图案中，不是轴对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于
1
2
AB 长为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，连接AE ，BE ，作直线EF 交AB 于点M ，连接CM ，则下列判断不正确．．．
的是
A ．AM ＝BM
B ．AE ＝BE
C ．EF ⊥AB
D ．AB ＝2CM
6．如图（1），在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，动点P 从点B 出发，沿
BC ，CD 运动至点D 停止.设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图（2）所示，则BCD ∆的面积是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
7．在－
227，－π，0，3.14， 0.1010010001，－31
3
中，无理数的个数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．如果等腰三角形两边长是5cm 和2cm ，那么它的周长是（ ） A ．7cm B ．9cm C ．9cm 或12cm D ．12cm
9．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
()1,1，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()3,2，···，按这样的运动规律，
经过第2020次运动后，动点P 的坐标是（ ）
A ．()2020,1
B ．()2020,0
C ．()2020,2
D ．()2019,0
10．下列电视台的台标中，是轴对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．写出一个比4大且比5小的无理数：__________.
12．如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD =4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠C .若P 是BC
边上一动点，则DP 长的最小值为 ．
13．如图，等边△OAB 的边长为2，以它的顶点O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.若直线y =x +b 与△OAB 的边界总有两个公共点，则实数b 的范围是____.
14．计算
1
12242
⨯+=__________． 15．当a =_______时,分式212
3
a a a +--的值为1.
16．如图,AD 是ABC ∆的角平分线,DE AB ⊥于E ,若18AB =,12AC =,ABC ∆的面积等于30,则DE =_______．
17．计算：32
()x y -=__________．
18．如图，点P 为∠AOB 内任一点，E ，F 分别为点P 关于OA ，OB 的对称点．若∠AOB ＝30°，则∠E ＋∠F ＝_____°．
19．点A (2，－3)关于x 轴对称的点的坐标是______． 20．如图是某足球队全年比赛情况统计图：
根据图中信息，该队全年胜了_______场．
三、解答题
21．已知BC＝5，AB＝1，AB⊥BC，射线CM⊥BC，动点P在线段BC上（不与点B，C重合），过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连接AD．
（1）如图1，若BP＝4，判断△ADP的形状，并加以证明．
（2）如图2，若BP＝1，作点C关于直线DP的对称点C′，连接AC′．
①依题意补全图2；
②请直接写出线段AC′的长度．
22．已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
23．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上（网格线的交点）．
（1）请在如图所示的网格平面内建立适当的平面直角坐标系，使点A坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（﹣5，2）；（画出直角坐标系）
（2）点C的坐标为（，）（直接写出结果）
（3）把△ABC 先向下平移6个单位后得到对应的△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1沿y 轴翻折至△A 2B 2C 2；
①请在坐标系中画出△A 2B 2C 2；
②若点P （m ，n ）是△ABC 边上任意一点，P 2是△A 2B 2C 2边上与P 对应的点，写出点P 2的坐标为（ ， ）；（直接写出结果）
③试在y 轴上找一点Q ，使得点Q 到A 2，C 2两点的距离之和最小，此时，QA 2+QC 2的长度之和最小值为 ．（在图中画出点Q 的位置，并直接写出最小值答案） 24．解方程:
32
322
x x x -=+- 25．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y （米）与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示
（1）根据图象信息，当t ＝ 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟； （2）求出线段AB 所表示的函数表达式 （3）甲、乙两人何时相距400米？
四、压轴题
26．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长．
（3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣
3
4
x+m 分别与x 轴、y 轴交于点B 、A ．其中B 点坐标为（12，0），直线y ＝38
x 与直线AB 相交于点C ． （1）求点A 的坐标． （2）求△BOC 的面积．
（3）点D 为直线AB 上的一个动点，过点D 作y 轴的平行线DE ，DE 与直线OC 交于点E （点D 与点E 不重合）．设点D 的横坐标为t ，线段DE 长度为d ． ①求d 与t 的函数解析式（写出自变量的取值范围）．
②当动点D 在线段AC 上运动时，以DE 为边在DE 的左侧作正方形DEPQ ，若以点H （
1
2
，t ）、G （1，t ）为端点的线段与正方形DEPQ 的边只有一个交点时，请直接写出t 的取值范围．
28．如图1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =10，直线DE 经过点C ，过点A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足分别为点D 和E ，AD =8，BE =6． （1）①求证：△ADC ≌△CEB ；②求DE 的长；
（2）如图2，点M 以3个单位长度/秒的速度从点C 出发沿着边CA 运动，到终点A ，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B 出发沿着线BC —CA 运动，到终点A ．M ，N 两点同时出发，运动时间为t 秒(t ＞0)，当点N 到达终点时，两点同时停止运动，过点M 作PM ⊥DE 于点P ，过点N 作QN ⊥DE 于点Q ；
①当点N 在线段CA 上时，用含有t 的代数式表示线段CN 的长度； ②当t 为何值时，点M 与点N 重合； ③当△PCM 与△QCN 全等时，则t = ．
29．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．
(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：
=AD BF ；
(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；
(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出
DB
BC
的值．
30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以
CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ． （1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），
∵一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B，∴在直线y=-x中，令x=-1，解得：y=1，则B的坐标是（-1，1）．把A（0，2），B（-1，1）的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b
得：
2
{
1
b
k b
=
-+=
，解得
2
{
1
b
k
=
=
，
该一次函数的表达式为y=x+2．
故选B．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是中心对称图形，故选项错误；
C、是中心对称图形，故选项正确；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据可知AP=AB，在直角三角形ABC中，由勾股定理可求AB的长度，由点P在0的左边，即可得到答案.
【详解】
解：如图所示，
由图可知，AP=AB ，△ABC 是直角三角形， ∵AC=2，BC=3，由勾股定理，得：
22222313AB AC BC -+=，
∴13AP AB == ∴132PC =，
∵点P 在点C 的左边，点C 表示的数为0， ∴点P 表示的数为：132)132-=； 故选择：A. 【点睛】
本题考查了利用数轴表示无理数，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数，依据掌握勾股定理计算长度.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据轴对称图形的概念求解． 【详解】
解：A 、是轴对称图形，故此选项不合题意； B 、是轴对称图形，故此选项不合题意； C 、是轴对称图形，故此选项不合题意； D 、不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，折叠后两边会重合．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
由作图可知EF 是AB 的垂直平分线，据此对各项进行分析可得答案. 【详解】
解：由作图可知EF 是AB 的垂直平分线，
所以AM ＝BM ，AE ＝BE ，EF ⊥AB ，即选项A,B,C 均正确，
CM是AB边上的中线，AB＝2CM错误.
故选：D
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据图1可知，可分P在BC上运动和P在CD上运动分别讨论，由此可得BC和CD的值，进而利用三角形面积公式可得BCD
∆的面积.
【详解】
解：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，
当P在BC段运动，△ABP面积y随x的增大而增大；
当P在CD段运动，因为△ABP的底边不变，高不变，所以面积y不变化．
由图2可知，当0<x<2时,y随x的增大而增大；当2<x<5时,y的值不随x变化而变化.
综上所述，BC=2,CD=5-2=3,
故
11
233
22
BCD
S CD BC
∆
.
故选：D．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，动点的图象问题是中考的常考题型，做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图象分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等. 匀速变化呈现直线段的形式，平行于x轴的直线代表未发生变化.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据无理数的定义进行求解.
【详解】
解：无理数有：−π，共1个．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数常见的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
因为题中没有说明已知两边哪个是底，哪个是腰，所以要分情况进行讨论．
【详解】
解：当三边是2cm ，2cm ，5cm 时，不符合三角形的三边关系；
当三角形的三边是5cm ，5cm ，2cm 时，符合三角形的三边关系，
此时周长是5+5+2=12cm ．
故选：D ．
【点睛】
考查了等腰三角形的性质，此类题注意分情况讨论，还要看是否符合三角形的三边关系．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
观察可得点P 的变化规律，
“()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然
数)”，由此即可得出结论.
【详解】
观察， ()()()()()()0123450,01,12,0,3,2,4,0,5,1....P P P P P P ，，，
， 发现规律:()()()()44 1 4243 4, 041, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自
然数) .
∵20204505=⨯
∴2020P 点的坐标为()2020,0.
故选: B.
【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律
“()()()()44 1 4243 4, 041
, 1 42, 0 43, 2n n n n P n P n P n P n ++++++，，， (n 为自然数)”，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点P 的变化罗列出部分点的坐标，再根据坐标的变化找出规律是关键.
10．A
解析：A
【解析】
【详解】
B,C,D 不是轴对称图形，A 是轴对称图形.
故选A.
二、填空题
11．答案不唯一，如：
【解析】
【分析】
根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】
∵42=16，52=25，∴到之间的无理数都符合条件，如：．
故答案为答案不唯一，如：．
【点睛】
本题考查了无理数的
解析：答案不唯一，如：17
【解析】
【分析】
根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】
∵42=16，52=25，∴16到25之间的无理数都符合条件，如：17．
故答案为答案不唯一，如：17．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12．4
【解析】
如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小，
∵BD⊥DC，∠A=90°，
∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°，
∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+
解析：4
【解析】
如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小，
∵BD⊥DC，∠A=90°，
∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A ，∠BDC=90°，
∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠C ，
又∵∠ADB=∠C ，
∴∠ADB=∠BDE ，
∴在△ABD 和△EBD 中A DEB ADB BDE BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴DE=AD=4，
即DP 的最小值为4.
13．【解析】
【分析】
由题意，可知点A 坐标为（1，），点B 坐标为（2，0），由直线与△OAB 的边界总有两个公共点，有截距b 在线段CD 之间，然后分别求出点C 坐标和点D 坐标，即可得到答案.
【详解】
解
解析：231b -<<-
【解析】
【分析】
由题意，可知点A 坐标为（1，3），点B 坐标为（2，0），由直线y x b =+与△OAB 的边界总有两个公共点，有截距b 在线段CD 之间，然后分别求出点C 坐标和点D 坐标，即可得到答案.
【详解】
解：如图，过点A 作AE ⊥x 轴，
.∵△ABC 是等边三角形，且边长为2，
∴OB=OA=2，OE=1，
∴22213AE -=
∴点A 为（13B 为（2，0）；
当直线y x b =+经过点A （13ABC 边界只有一个交点，
则1b +=1b =，
∴点D 的坐标为（1）；
当直线y x b =+经过点B （2，0）时，与△ABC 边界只有一个交点，
则20b +=，解得：2b =-，
∴点C 的坐标为（0，2-）；
∴直线y x b =+与△OAB 的边界总有两个公共点时，截距b 在线段CD 之间，
∴实数b 的范围是：21b -<<
；
故答案为：21b -<<
.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，掌握直线与等边三角形有一个交点是临界点，注意分类讨论. 14．【解析】
【分析】
先计算乘法，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟悉二次根式的计算法则是解题的关键．
解析：
【解析】
【分析】
先计算乘法，然后合并同类二次根式即可．
【详解】 11224
26
．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟悉二次根式的计算法则是解题的关键．
15．-3
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解出a 即可.
【详解】
解：根据题意得：=1，
即可得到
解得 ：
根据中 得到
舍弃
所以
故答案为：-3.
【点睛】
此题主要考查了可化为一元
解析：-3
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解出a 即可.
【详解】 解：根据题意得：2123
a a a +--=1， 即可得到 2123a a a +-=-
解得 ：3a =± 根据2123
a a a +--中 30a -≠ 得到3a ≠ 舍弃3a =
所以3a =-
故答案为：-3.
【点睛】
此题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程，关键是根据题意列出分式方程. 16．2
【解析】
【分析】
延长AC,过D 点作DF ⊥AF 于F ，根据角平分线的性质得到DE=DF,由即可求出.
【详解】
解：如图
延长AC,过D 点作DF ⊥AC 于F
∵是的角平分线，DE ⊥AB ，
∴DE
解析：2
【解析】
【分析】
延长AC ,过D 点作DF ⊥AF 于F ，根据角平分线的性质得到DE=DF,由ABC ABD ACD
S
S S =+即可求出.
【详解】
解：如图
延长AC ,过D 点作DF ⊥AC 于F
∵AD 是ABC ∆的角平分线，DE⊥AB，
∴DE =DF
∵ABC ABD ACD S
S S =+=30 ∴113022
AB DE DF AC ⋅+⋅= ∵18AB =,12AC = ，DE =DF
∴
1118123022
DE DE ⨯⋅+⨯= 得到 DE=2
故答案为：2.
【点睛】 此题主要考查了角平分线的性质，熟记概念是解题的关键.
17．【解析】
【分析】
根据积的乘方法则进行计算.
【详解】
故答案为：
【点睛】
考核知识点：积的乘方.理解积的乘方法则是关键.
解析：62x y
【解析】
【分析】
根据积的乘方法则进行计算.
【详解】
()2323262()x y x y x y -=-=
故答案为：62x y
【点睛】
考核知识点：积的乘方.理解积的乘方法则是关键.
18．150
【解析】
【分析】
连接OP ，根据轴对称的性质得到，再利用四边形的内角和是计算可得答案.
【详解】
解：如图，连接OP ，
E ，
F 分别为点P 关于OA ，OB 的对称点
故答案为：1
解析：150
【解析】
【分析】
连接OP ，根据轴对称的性质得到60EOF ∠=︒，,,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠再利用四边形的内角和是360︒计算可得答案.
【详解】
解：如图，连接OP ，
E ，
F 分别为点P 关于OA ，OB 的对称点
,,EOA POA POB FOB ∴∠=∠∠=∠
30EOA FOB POA POB ∴∠+∠=∠+∠=︒
60EOF ∴∠=︒
,,E EPO F FPO ∴∠=∠∠=∠
360E EPO F FPO EOF ∴∠+∠+∠+∠+∠=︒
2()300E F ∴∠+∠=︒
150E F ∴∠+∠=︒
故答案为：150.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，四边形的内角和性质，证得60EOF ∠=︒，
,,E EPO F FPO ∠=∠∠=∠解本题的关键.
19．(2，3)
【解析】
【分析】
根据 “关于x 轴对称的点,横坐标相同, 纵坐标互为相反数” 解答.
【详解】
解:点A （2，-3）关于x 轴对称的点的坐标为(2,3).
故答案为:(2,3).
【点睛
解析：(2，3)
【解析】
【分析】
根据 “关于x 轴对称的点,横坐标相同, 纵坐标互为相反数” 解答.
【详解】
解:点A （2，-3）关于x 轴对称的点的坐标为(2,3).
故答案为:(2,3).
【点睛】
本题考查了关于x 轴,y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数:
(2)关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3) 关于原点对称的点, 横坐标与纵坐标都互为相反数.
20．22
【解析】
【分析】
【详解】
解：用平的场次除以所占的百分比求出全年比赛场次：10÷25%=40（场）， ∴胜场：40×（1﹣20%﹣25%）=40×55%=22（场）．
故答案为：22．
【
解析：22
【解析】
【分析】
【详解】
解：用平的场次除以所占的百分比求出全年比赛场次：10÷25%=40（场），
∴胜场：40×（1﹣20%﹣25%）=40×55%=22（场）．
故答案为：22．
【点睛】
本题考查1.条形统计图；2.扇形统计图；3.频数、频率和总量的关系．
三、解答题
21．（1）△ADP是等腰直角三角形．证明见解析；（2）①补图见解析；
【解析】
【分析】
（1）先判断出PC=AB，再用同角的余角相等判断出∠APB=∠PDC，得出△ABP≌△PCD （AAS），即可得出结论；
（2）①利用对称的性质画出图形；
②过点C'作C'Q⊥BA交BA的延长线于Q，先求出CP=4，AB=AP，∠CPD=45°，进而得出C'P=CP=4，∠C'PD=∠CPD=45°，再判断出四边形BQC'P是矩形，进而求出AQ=BQ﹣
AB=3，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）△ADP是等腰直角三角形．证明如下：
∵BC=5，BP=4，∴PC=1．
∵AB=1，∴PC=AB．
∵AB⊥BC，CM⊥BC，DP⊥AP，∴∠B=∠C=90°，∠APB+∠DPC=90°，
∠PDC+∠DPC=90°，∴∠APB=∠PDC．
在△ABP和△PCD中，∵
B C
APB PDC
AB PC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP=PD．
∵∠APD=90°，∴△ADP是等腰直角三角形．（2）①依题意补全图2；
②过点C '作C 'Q ⊥BA 交BA 的延长线于Q ．
∵BP =1，AB =1，BC =5，∴CP =4，AB =AP ．
∵∠ABP =90°，∴∠APB =45°．
∵∠APD =90°，∴∠CPD =45°，连接C 'P ．
∵点C 与C '关于DP 对称，∴C 'P =CP =4，∠C 'PD =∠CPD =45°，∴∠CPC '=90°，
∴∠BPC '=90°，∴∠Q =∠ABP =∠BPC '=90°，∴四边形BQC 'P 是矩形，∴C 'Q =BP =1，BQ =C 'P =4，∴AQ =BQ ﹣AB =3．在Rt △AC 'Q 中，AC ′10=．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，构造出直角三角形是解答本题的关键．
22．（1）y =x +3；（2）x ≤3．
【解析】
试题分析：()1把1
4x y ==，代入3y kx =+， 求出k 的值是多少，即可求出这个一次函数的解析式．
()2首先把()1中求出的k 的值代入36kx +≤，
然后根据一元一次不等式的解法，求出关于x 的不等式36kx +≤，的解集即可．
试题解析：
（1）∵一次函数y =kx +3的图象经过点（1，4），
∴ 4=k +3，
∴ k =1，
∴ 这个一次函数的解析式是：y =x +3．
（2）∵ k =1，
∴ x +3≤6，
∴ x ≤3，
即关于x 的不等式kx +3≤6的解集是：x ≤3.
23．（1）见解析；（2）（－2，5）；（3）①见解析；②点P 2的坐标为（﹣m ，n ﹣6）；③2
【解析】
【分析】
（1）建立适当的平面直角坐标系，根据点A 坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（﹣5，
2）即可画出直角坐标系；
（2）根据坐标系即可写出点C的坐标；
（3）把△ABC先向下平移6个单位后得到对应的△A1B1C1，再将△A1B1C1沿y轴翻折至
△A2B2C2；
①即可在坐标系中画出△A2B2C2；
②若点P（m，n）是△ABC边上任意一点，P2是△A2B2C2边上与P对应的点，即可写出点P2的坐标；
③根据对称性即可在y轴上找一点Q，使得点Q到A2，C2两点的距离之和最小，进而可以求出QA2+QC2的长度之和最小值．
【详解】
（1）∵点A坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（﹣5，2），
如图所示：即为所画出的直角坐标系；
（2）根据坐标系可知：
点C的坐标为（﹣2，5），
故答案为：﹣2，5；
（3）把△ABC先向下平移6个单位后得到对应的△A1B1C1，
再将△A1B1C1沿y轴翻折至△A2B2C2；
①如图即为坐标系中画出的△A2B2C2；
②点P（m，n）是△ABC边上任意一点，
P2是△A2B2C2边上与P对应的点，
∴点P2的坐标为（﹣m，n﹣6），
故答案为：﹣m，n﹣6；
③根据对称性可知：
在y轴上找一点Q，使得点Q到A2，C2两点的距离之和最小，
∴连接A2C1交y轴于点Q，此时QA2+QC2的长度之和最小，
即为A2C1的长，A2C1＝2，
∴QA2+QC2的长度之和最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查平面直角坐标系中三角形的平移以及对称性的运用，熟练掌握，即可解题. 24．x=1
【解析】
试题分析：按照解分式方程的步骤求解即可.
试题解析：去分母得，3x(x-2)-2(x+2)=3(x+2)(x-2)
去括号得，3x2-6x-2x-4=3x2-12
移项，合并同类项得：-8x=-8
∴x=1
经检验：x=1是原方程的根,
考点：解分式方程.
25．（1）24，40；（2）y＝40t（40≤t≤60）；（3）出发20分钟或28分钟后，甲、乙两人何时相距400米
【解析】
【分析】
（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度＝路程÷时间可得甲的速度；
（2）由t＝24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式；
（3）分相遇前后两种情况列方程解答即可．
【详解】
解：（1）根据图象信息，当t＝24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60＝40（米/分钟）．
故答案为24，40；
（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t＝24分钟时甲乙两人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24＝100米/分钟，
∴乙的速度为100﹣40＝60（米/分钟）．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60＝40分钟，
40×40＝1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴
401600
602400
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
k40
b0
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t（40≤t≤60）；
（3）设出发t分钟后两人相距400米，根据题意得
（40+60）t＝2400﹣400或（40+60）t＝2400+400，
解得t＝20或t＝28，
答：出发20分钟或28分钟后，甲、乙两人何时相距400米．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
四、压轴题
26．（1）5y x =+；（2
）3）PB 的长为定值
52 【解析】
【分析】
（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；
（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．
【详解】
（1）对于直线:5L y mx m =+．
当0y =时，5x =-．
当0x =时，5y m =．
()5,0A ∴-，()0,5B m ．
OA OB =．
55m ∴=．
解得1m =．
∴直线L 的解析式为5y x =+．
（2）5OA =
，AM =
∴由勾股定理，
OM ==．
180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．
90AOB ∠=︒．
90AOM BON ∴∠+∠=︒．
90AOM OAM ∠+∠=︒．
BON OAM ∴∠=∠．
在AMO ∆与OBN ∆中，
90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
．
()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．
BN OM ∴==．．
（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．
AEB ∆为等腰直角三角形，
AB EB ∴=
90ABO EBG ∠+∠=︒．
EG BG ⊥，
90GEB EBG ∴∠+∠=︒．
ABO GEB ∴∠=∠．
AOB EBG ∴∆≅∆．
5BG AO ∴==，OB EG = OBF ∆为等腰直角三角形，
OB BF ∴=
BF EG ∴=．
BFP GEP ∴∆≅∆．
1522
BP GP BG ∴===． 【点睛】
本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．
27．（1）点A 坐标为（0，9）；（2）△BOC 的面积＝18；（3）①当t ＜8时，d ＝﹣98t+9，当t ＞8时，d ＝98t ﹣9；②12≤t≤1或7617≤t≤8017
． 【解析】
【分析】
（1）将点B 坐标代入解析式可求直线AB 解析式，即可求点A 坐标；
（2）联立方程组可求点C 坐标，即可求解；
（3）由题意列出不等式组，可求解．
【详解】
解：（1）∵直线y ＝﹣
34x+m 与y 轴交于点B （12，0）， ∴0＝﹣34
×12+m ，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣
3
4
x+9，
当x＝0时，y＝9，
∴点A坐标为（0，9）；
（2）由题意可得：
3
8
3
9
4
y x
y x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
解得：
8
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点C（8，3），
∴△BOC的面积＝
1
2
×12×3＝18；
（3）①如图，
∵点D的横坐标为t，
∴点D（t，﹣
3
4
t+9），点E（t，
3
8
t），
当t＜8时，d＝﹣
3
4
t+9﹣
3
8
t＝﹣
9
8
t+9，
当t＞8时，d＝
3
8
t+
3
4
t﹣9＝
9
8
t﹣9；
②∵以点H（
1
2
，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点，∴
1
2
≤t≤1或
91
9
82
9
91
8
t t
t t
⎧
-+≤-
⎪⎪
⎨
⎪-+≥-
⎪⎩
，
∴
1
2
≤t≤1或
76
17
≤t≤
80
17
．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
28．（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10
,2 11
【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；
②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；
②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；
③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．
【详解】
（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中
ADC CEB
DAC ECB AC CB
∠∠
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②由①得：△ADC≌△CEB，
∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，
∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；
（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：
CN＝C N−BC＝8t−10；
②点M与点N重合时，CM＝CN，
即3t＝8t−10，
解得：t ＝2，
∴当t 为2秒时，点M 与点N 重合；
③分两种情况：
当点N 在线段BC 上时，△PCM ≌△QNC ，
∴CM ＝CN ，
∴3t ＝10−8t ，
解得：t ＝1011
； 当点N 在线段CA 上时，△PCM ≌△QCN ，点M 与N 重合，CM ＝CN ，
则3t ＝8t−10，
解得：t ＝2；
综上所述，当△PCM 与△QCN 全等时，则t 等于
1011s 或2s ， 故答案为：
1011s 或2s ． 【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
29．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）
23． 【解析】
【分析】
（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；
（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；
【详解】
（1）证明：如图1中，
BE AD ⊥于E ，
90AEF BCF ∴∠=∠=︒，
AFE CFB ∠=∠，
DAC CBF ∴∠=∠，
BC AC =，
BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，
BF AD ∴=．
（2）结论：2BD CF =．
理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ．
90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，
90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，
ADC EAH ∴∠=∠，AD AE =，
ACD EHA ∴∆≅∆，
CD AH ∴=，EH AC BC ==，
CB CA =，
BD CH ∴=，
90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =，
EHF BCF ∴∆≅∆，
FH FC ∴=，
2BD CH CF ∴==．
（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ．
90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，
90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒，
ADC EAH ∴∠=∠，
AD AE =，
ACD EHA ∴∆≅∆，
CD AH ∴=，EH AC BC ==，
CB CA =，
BD CH ∴=，
90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，
EHM BCM ∴∆≅∆，
MH MC ∴=，
2BD CH CM ∴==．
3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =，
∴2233
DB a BC a ==．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．
30．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒
150CBE CAD ∴∠=∠=︒
30CBO ∴∠=︒，
∵30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.。