初三第一学期数学期中.实验学校初中部
2020-2021学年深圳实验学校初中部九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年深圳实验学校初中部九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是()A. 圆B. 等腰三角形C. 平行四边形D. 梯形2.在7，+4，π，−3.14，0，−0.5中，表示有理数的有()3A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.下列计算正确的是()A. a2+a2=2a4B. 5y−3y=2C. 3x2y−2yx2=x2yD. 3a+2b=5ab4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，sin∠B=3，则BC=()5A. 15B. 12C. 9D. 65.如图，小明在操场上画了一个半径分别为1，2，3的同心圆的图案，现在往这个图案中随机扔一颗石子，这颗石子恰好落在区域C中的概率是()A. 13B. 15C. 17D. 196.如图为反比例函数y=1在第一象限的图象，点A为此图象上的一x动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C.则四边形OBAC周长的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 17.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.CE⊥AD于点E，AB=2√3，AC=4，BD=8，则CE=()A. 72B. 2√217C. 4√217D. √78.四边形ABCD为平行四边形，点E在DC的延长线上，连接AE交BC于点F，则下列结论正确的是()A. BFBC =EFAEB. AFAE =FCADC. AFEF =ECABD. ABDE =AFAE9.如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE//BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AD：BD的值为()A. 1：9B. 1：3C. 1：8D. 1：210.如图，AB=DB，∠1=∠2，欲证△ABE≌△DBC，则补充的条件中不正确的是()A. ∠A=∠DB. ∠E=∠CC. ∠A=∠CD. BC=BE二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.把多项式2mx2−4mxy+2my2分解因式的结果是______ ．12.根据相关部门调查统计，近几年来我国内地公路每年平均罚款达到了4060亿元，将4060亿元用科学记数法表示为亿元．13.如果√x−4有意义，那么x的取值范围是______．14.二次函数y=−12x2+2x，当x______ 时y<0；且y随x的增大而减小．15.己知a，b为一元二次方程x2+3x−2014=0的两个根，那么a2+2a−b的值为．16.若关于x的方程ax−2=x−1x−2−3有增根，则a=______．17.不等式组{2x+7≥−x12x<3的所有整数解的和为______．18.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为1和−2，则二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为______．19.如图，反比例函数y=kx的图象经过点(−1,−2√2)，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边做等腰直角三角形ABC顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是______．20.如图，一个大正方形中有两个小正方形．如果它们的面积分别是S1，S2，若大正方形的边长36cm，推断S1=______，S2=______．三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）21.计算：(1)√3+√27−√12；(2)(−2017)0−(13)−1+√9；(3)√12+√2−1−(2−√3)2．22.先化简，再求值：x−3x−2÷(x+2−5x−2)，其中x=−4．23.如图①是长春新地标一一摩天活力城楼顶上的摩天轮，被誉为“长春眼”，如图②是其正面的平面图．已知摩天活力城楼顶AD距地面BC为34米，摩天轮⊙O与楼顶AD近似相切，切点为G.测得∠OEF=∠OFE=67°，EF=27.54米，求摩天轮的最高点到地面BC的距离．(结果精确到0.1米)【参考数据：sin67°=0.92，cos67°0.39，tan67°=2.36】24.已知：▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DP//OC且DP=OC，连接CP.得到四边形CODP．(1)如图(1)，在▱ABCD中，若∠ABC=90°，判断四边形CODP的形状，并证明；(2)如图(2)，在▱ABCD中，若AB=AD，判断四边形CODP的形状，并证明；(3)如图(3)，在▱ABCD中，若∠ABC=90°，且AB=AD，判断四边形CODP的形状，不需证明．25.某文教店用1200元购进了甲、乙两种钢笔．已知甲种钢笔进价为每支12元，乙种钢笔进价为每支10元．文教店在销售时甲种钢笔售价为每支15元，乙种钢笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元．(1)求这个文教店购进甲、乙两种钢笔各多少支？(2)若该文教店以原进价再次购进甲、乙两种钢笔，且购进甲种钢笔的数量不变，而购进乙种钢笔的数量是第一次的2倍，乙种钢笔按原售价销售，而甲种钢笔降价销售．当两种钢笔销售完毕时，要使再次购进的钢笔获利不少于340元，甲种钢笔最低售价每支应为多少元？(x>0)的26.如图，已知点A(1,2)、B(5,n)(n>0)，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx 图象经过点P.小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”(1)当n=1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．(2)若小明的说法完全正确，求n的取值范围．27.如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t(s)．(1)若m=6，在点P的运动过程中，①求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．②求当点A与点E距离最近时t的值，并求出该最近距离．(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，求符合条件的m的取值范围．参考答案及解析1.答案：B解析：解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形而是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.答案：D解析：本题主要考查了有理数，熟练掌握有理数的定义进行求解是解决本题的关键．根据有理数的定义可以知道：有理数包括整数，有限小数和无限循环小数．解：在73，+4，π，−3.14，0，−0.5中，其中是有理数的是73，+4，−3.14，0，−0.5共5个，故选D．3.答案：C解析：解：A、a2+a2=2a2，故此选项错误；B、5y−3y=2y，故此选项错误；C、3x2y−2yx2=x2y，故此选项正确；D、3a+2b，无法合并，故此选项错误．故选：C．直接利用合并同类项法则分别判断求出答案．此题主要考查了合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．4.答案：B解析：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，sin∠B=35，∴AB=9÷sin∠B=9×53=15，∴BC=√AB2−AC2=√152−92=12，故选：B．首先在直角三角形中根据AC=9，sin∠B=35求得AB，然后利用勾股定理求得BC即可．本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确理解定义是解题的关键．5.答案：D解析：解：最小圆的面积为π，最大圆的面积为9π，所以往这个图案中随机扔一颗石子，这颗石子恰好落在区域C中的概率是π9π=19，故选：D．计算出最大圆的面积和最小圆的面积，然后根据几何概率的求法即可得到答案．本题考查了几何概率的求法：求某事件发生在某个局部图形的概率等于这个局部的面积与整个图形的面积的比．6.答案：A解析：解：∵反比例函数y=1x在第一象限的图象，点A为此图象上的一动点，过点A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴，垂足分别为B，C．∴四边形OBAC为矩形，设宽BO=x，则AB=1x，周长的一半表示为s，则s=x+1x ≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，取等号．故函数s=x+1x(x>0)的最小值为2．故2(x+1x)=2×2=4，则四边形OBAC周长的最小值为4．故选：A．首先表示出矩形边长，再利用长与宽的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等式即可解决．此题考查了反比例函数的综合应用以及函数的最值问题，解答本题的关键是掌握不等式的基本性质，即a+b≥2√ab，难度一般．7.答案：C解析：解：∵AC=4，BD=8，四边形ABCD是平行四边形，∴CO=12AC=2，DO=12BD=4，∴CD2+CO2=DO2，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=√AC2+CD2=√(2√3)2+42=2√7，∴S△ACD=12×CD×AC=12×AD×AE，∴2√3×4=2√7AE，∴AE=4√217，即点D到BC的距离为4√217，故选：C．由勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△ACD是直角三角形是解此题的关键．8.答案：D解析：解：四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，AB//DC∴△ADE∽△FCE，△ABF∽△ECF，∴AFEF =ABEC，DCDE=ABDE=AFAE，故选：D．由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，易证得△ADE∽△FCE，然后由平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，求得答案．此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．9.答案：D解析：解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=AD2：AB2，∵S△ADE：S四边形DBCE=1：8，∴S△ADE：S△ABC=1：9，∴AD：AB=1：3，故选：D．证明△ADE∽△ABC，由S△ADE：S四边形DBCE=1：8，得S△ADE：S△ABC=1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得出答案．此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．10.答案：C解析：解：∵∠1=∠2∵∠1+∠DBE=∠2+∠DBE∴∠ABE=∠CBD∵AB=DB，∠A=∠D，在△ABE和△DBC中，{∠A=∠DAB=BD∠ABE=∠CBD∴△ABE≌△DBC(ASA)，A是可以的；∵∠E=∠C，在△ABE和△DBC中，{∠E=∠C∠ABE=∠CBD AB=DB∴△ABE≌△DBC(AAS)，B是可以的；∵BC=BE，在△ABE和△DBC中，{BE=BC∠ABE=∠CBD AB=BD∴△ABE≌△DBC(SAS)，D是可以的；故选C．从已知看，已经有一边和一角相等，则添加一角或夹这角的另一边即可判定其全等，从选项看只有第三项符合题意，所以其为正确答案，其它选项是不能判定两三角形全等的．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11.答案：2m(x−y)2解析：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．先提取公因式2m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解：2mx2−4mxy+2my2，=2m(x2−2xy+y2)，=2m(x−y)2．12.答案：4.06×103解析：试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．4060=4.06×103，故答案为：4.06×103．13.答案：x>4解析：解：由题意可知：x−4≥0且x−4≠0所以x>4故答案为：x>4根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出答案．本题考查二次根式的有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，本题属于基础题型．14.答案：>4x2+2x的对称轴为x=2，与x轴的交点为(0,0)，(4,0)，解析：解：∵二次函数y=−12∴当x<0或x>4时，y<0；当x>2时，y随x的增大而减小；综上可知，当x>4时，y<0，y随x的增大而减小．根据图象与x轴的交点及开口方向，判断y<0的条件；根据对称轴及开口方向判断y随x的增大而减小的条件，综合以上两个条件，得出本题的结论．此题考查了学生的综合应用能力，解此题的关键是利用数形结合的思想．15.答案：2017解析：根据a ，b 为一元二次方程x 2+3x −2014=0的两个根得到a 2+2a =2014−a ，a +b =−3，那么原式=2014−a −b =2014−(a +b)=2014−(−3)=2017．16.答案：1解析：解；方程两边都乘(x −2)，得a =x −1−3(x −2)，∵原方程有增根，∴最简公分母x −2=0，即x =2，把x =2代入整式方程，得a =1．故答案为1．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x −2=0，得到x =2，然后代入整式方程算出未知字母的值．本题考查了分式方程的增根问题，对于此问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17.答案：12解析：解：由{2x +7≥−x 12x <3，得−73≤x <6，则不等式组{2x +7≥−x 12x <3的所有整数解的和为：−2+(−1)+0+1+2+3+4+5=12，故答案为：12．先求出不等式组{2x +7≥−x 12x <3的解集，然后即可求得不等式组{2x +7≥−x 12x <3的所有整数解的和，本题得以解决．本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 18.答案：(−2,0)，(1,0)解析：解：∵知一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根分别为1和−2，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点分别为(−2,0)，(1,0)．故答案是：(−2,0)，(1,0)．根据抛物线与x 轴的交点问题，两交点的横坐标即为方程ax 2+bx +c =0的解．本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．19.答案：(2,−√2)解析：解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(−1,−2√2)，∴k=−1×(−2√2)=2√2，∴反比例函数为y=2√2x，连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，如图所示：则AM//CN，∠AMO=∠ONC=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，根据题意得：点A和点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC是等腰直角三角形，AB为斜边，∴OC⊥AB(三线合一)，OC=12AB=OA，AC=BC，AB=√2BC，∴∠AOC=90°，即∠AOM+∠CON=90°，∴∠OAM=∠CON，在△OAM和△CON中，{∠AMO=∠ONC ∠OAM=∠CON OA=OC，∴△OAM≌△CON(AAS)，∴OM=CN，AM=ON，∵BP平分∠ABC，由三角形面积公式可得，APCP =ABBC=√21，∵AM//CN，∴AMCN =APCP=√21，设CN=OM=x，则AM=ON=√2x，∵点A在反比例函数y=2√2x上，∴OM⋅AM=2√2，即x⋅√2x=2√2，解得：x=√2，∴CN=√2，ON=2，∴点C的坐标为：(2,−√2)；故答案为：(2,−√2).根据待定系数法求得反比例函数的解析式；连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，则AM//CN，∠AMO=∠ONC=90°，先由AAS证明△OAM≌△CON，得出OM=CN，AM=ON，再由三角形的角平分线性质得出APCP =ABBC=√21，根据平行线的性质得出比例式：AMCN=APCP=√21，设CN=OM=x，则AM=ON=√2x，根据题意得出方程：x⋅√2x=2√2，解方程求出CN、ON，即可得出点C的坐标．本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线性质、平行线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用三角形的角平分线的性质才能得出结果．20.答案：324cm2288cm2解析：解：图形中相关的顶点记作如图所示，∵四边形BMNP是正方形，∴BM=MN，∠CMN=90°，∴∠MNC=45°=∠MCN，∴CM=MN=12BC=18(cm)，∴S1=182=324(cm2).设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知：AE=√2x，x=√2DE，∴AE=2ED，∵AD=36cm，∴EF2=122+122，即EF=12√2(cm)，∴S2=EF2=288(cm2)，故答案为：324cm2.288cm2．正方形S1的边长是大正方形边长的一半，进而可得结果；设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质得AE=√2x，x=√2DE，于是求得AE=2ED，ED=12，由勾股定理得到EF=12√2，于是求出S2的面积．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．21.答案：解：(1)原式=√3+3√3−2√3=2√3；(2)原式=1−3+3=1；(3)原式=2√3+√2+1−(4−4√3+3)=2√3+√2+1−7+4√3=6√3+√2−6．解析：(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)利用负整数指数幂、零指数幂的意义计算；(3)先分母有理化，再利用完全平方公式计算，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．22.答案：解：原式=x−3x−2÷(x2−4x−2−5x−2)=x−3x−2⋅x−2(x−3)(x+3)=1x+3．当x=−4时，原式=1−4+3=−1．解析：本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分．做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．23.答案：解：如图，连结OG．∵∠OEF=∠OFE，∵⊙O与AD相切于点G，∴OG⊥EF．∴∠OGF=90°，FG=EG=12EF=12×27.54=13.77(米)在Rt△OGF中，∠OGF=90°，tan∠OFE=OGFG，∴OG=FG⋅tan∠OFG=13.77×2.36≈32.50(米)．∴32.50×2+34=99.0(米)．答：摩天轮的最高点到地面BC的距离约为99.0米．解析：如图，连结OG.由切线的性质得垂直，再由等腰三角形的三线合一性质，得G为EF中点，从而在Rt△OGF中用三角函数解出OG，再乘以2，加上楼顶距地面的距离即可．本题属于解直角三角形的应用，同时题目还考查了圆的切线的性质、等腰三角形的三线合一性质等相关知识点．本题难度中等．24.答案：解：(1)四边形CODP是菱形，证明：∵DP//OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，▱ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形CODP是菱形；(2)四边形CODP是矩形，证明：▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴∠DOC=90°，∴四边形CODP是矩形；(3)四边形CODP是正方形，证明：∵▱ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DOC=90°，OD=OC，∴四边形CODP是正方形．解析：(1)根据矩形的判定定理得到四边形ABCD 是矩形，得到OD =OC ，根据菱形的判定定理证明；(2)根据菱形的判定定理得到四边形ABCD 是菱形，得到∠DOC =90°，根据矩形的判定定理证明；(3)根据正方形的判定定理得到四边形ABCD 是正方形，得到∠DOC =90°，OD =OC ，根据正方形的判定定理证明．本题考查的是矩形、菱形、正方形的性质和判定，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键． 25.答案：解：(1)设文具店购进甲种钢笔x 支，乙种钢笔y 支，由题意，得{12x +10y =1200(15−12)x +(12−10)y =270， 解得{x =50y =60． 答：这个文具店购进甲种钢笔50支，乙种钢笔60支．(2)设甲种钢笔每只的最低售价为m 元，由题意，得50(m −12)+2×60(12−10)≥340，解得：m ≥14．故甲种钢笔每只的最低售价为14元．解析：(1)设文具店购进甲种钢笔x 支，乙种钢笔y 支，根据其进价和利润建立等量关系列出方程组求出其解即可．(2)设甲种钢笔每只的售价为m 元，就可以求出甲种钢笔每只的利润，表示出甲种钢笔的总利润再加上乙种钢笔的总利润就是两种钢笔销售完后的总利润，由题意就可以建立不等式．从而求出其解． 本题考查了列二元一次方程组解应用题的方法和步骤，列一元一次不等式及解一元一次不等式的方法和过程．在解答的过程中建立等量与不等量关系式关键，计算的结论要与问题的结论保持一致． 26.答案：解：(1)①当n =1时，B(5,1)，设线段AB 所在直线的函数表达式为y =kx +b ，把A(1,2)和B(5,1)代入得：{k +b =25k +b =1， 解得：{k =−14b =94， 则线段AB 所在直线的函数表达式为y =−14x +94；②不完全同意小明的说法，理由为：k =xy =x(−14x +94)=−14(x −92)2+8116，∵1≤x ≤5，∴当x =1时，k min =2；当x =92时，k max =8116， 则不完全同意；(2)当n =2时，A(1,2)，B(5,2)，符合；当n ≠2时，y =n−24x +10−n 4， k =x(n−24x +10−n4)=n−24(x −n−102n−4)2+(10−n)216(2−n)，当n <2时，k 随x 的增大而增大，则有n−102n−4≥5，此时109≤n <2;当n >2时，k 随x 的增大而增大，则有n−102n−4≤1，此时n > 2，综上，n ≥109．解析：本题是一次函数、二次函数与反比例函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．(1)①把n =1代入确定出B 的坐标，利用待定系数法求出线段AB 所在直线的解析式即可； ②若n =1，不完全同意小明的说法，利用二次函数的性质求出正确k 的最大值与最小值即可；(2)若小明的说法完全正确，把A 与B 坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n 的范围．27.答案：解：(1)①如图1中，当P ，E ，B 三点在同一直线上时，∠BPC =∠DPC ，又∵∠BCP =∠DPC ，∴∠BPC =∠BCP ，∴BP =BC =6，∴AP =√BP 2−AB 2=√36−16=2√5，∴PD=6−2√5，∴当t=(6−2√5)s时，B、E、P共线．②如图，点E在以C为圆心，4为半径的圆上运动，当A，E，C共线时，AE最小，此时AE=2√13−4，由∠AEP=∠D=90°，∠PAE=∠CAD，可得△AEP∽△ADC，∴PEAP =CDAC，即t6−t=2√13，解得t=4√13−83；(2)如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为1．作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M.则EQ=1，CE=DC=4，则四边形EMCQ是矩形，∴CM=EQ=1，∠M=90°，∴EM=√EC2−CM2=√42−12=√15，∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，∴△ADC∽△DME，∴ADDM =DCEM，∴AD5=√15，∴AD=43√15；如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为1．作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M.则EQ=1，CE=DC=4在Rt△ECQ中，QC=DM=√EC2−EQ2=√42−12=√15，由△DME∽△CDA，∴DMCD =EMAD，∴√154=3AD，∴AD=45√15，综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，这样的m的取值范围是45√15≤m<43√15．解析：本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)①当P，E，B三点在同一直线上时，设PD=t.则PA=6−t.首先证明BP=BC=6，在Rt△ABP 中利用勾股定理即可得到t的值；②点E在以C为圆心，4为半径的圆上运动，当A，E，C共线时，AE最小，依据△AEP∽△ADC，可得PEAP =CDAC，即t6−t=2√13，进而得出t=4√13−83；(2)分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为1；②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为1；分别求得AD 的长即可得出结论．。
广东省深圳市深圳实验学校中学部2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
深圳实验学校中学部2021-2022学年第一学期九年级期中考试数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1．方程x2＝4的根为（）A．x＝2B．x＝－2C．x＝0D．x＝±22．下列四个点，在反比例函数y＝－2x的图象上的点是（）A．(1，2)B．(－1，－2)C．(2，1)D．(2，－1)3．两个相似多边形的面积之比是1∶4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶164．函数y＝6x的图象大致是（）A．B．C．D．5．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则下列方程正确的是（）A．(32－x)(20－x)＝540B．32×20－20x－30x－x2＝540C．32×20－20x－30x＝540D．32×20－20x－30x＋2x2＝5406．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1米，BP＝1.5米，PD＝48米，那么该大厦的高度约为（）A．32米B．28米C．24米D．16米7．关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜94B．m≤94C．m＞94D．m≥948．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AF＝1，则BC的长是（）A．4B．5C．7D．69．如图，点A在反比例函数y＝kx(k＞0)，x＞0)的图象上，以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，BC＝4OC，则k的值为（）A．1B．2C．3D．410．如图，正方形ABCD的边长为25，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CHHF＝23；②GH＝5 3；③AD＝AH；④S△BGF＝53．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（每题3分，共15分）11．如果5a＝4b，那么ab＝________．12．在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是________个．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则DEBC的值为________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABD ＝45°，BD ＝13，CD ＝5，则AD 的长度为________．三．解答题（共55分） 16．（8分）解方程： （1）x 2＝3x ；（2）22x x ＋－－244x －＝1．17．（6分）先化简，再求值：2212a a a －＋＋÷(a －31aa ＋)，其中a 是方程x 2＋x －6＝0的解．18．（6分）今年6月份，某市实验学校开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A ：90＜S ≤100，B ：80＜S ≤90，C ：70＜S ≤80，D ：S ≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m ＝________，n ＝________，B 等级所占扇形的圆心角度数为________； （3）对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）19．（8分）如图，已知A(－5，n)，B(3，－5)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）结合图象，直接写出不等式kx＋b－mx＜0的解集．20．（8分）某服装厂生产一批服装，2019年该类服装的出厂价是200元/件，2020年，2021年连续两年改进技术，降低成本，2021年该类服装的出厂价调整为162元/件．（1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率；（2）2021年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以200元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？21．（9分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒(0＜t ＜2)，连接PQ ． （1）如图1，若△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值； （2）如图2，连接AQ 、CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；（3）在（2）的条件下，如图3，若CD ⊥AB ，CD 交AQ 于点E ，求CE 的长．图3图1图2CQBPAPBQC EDQC B P22．（10分）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周． （1）如图1，连接BG 、CF 、AC 、AF ．①求证：△CAF ∽△BAG ；②CFBG＝________； （2）将背景中的正方形分别改写成矩形ABCD 与矩形AEFG ，且AB AD＝AE AG ，连接CF ，取CF 的中点M ，连接BM 、EM ，求BMEM的值； （3）将（2）中的矩形分别改写成菱形ABCD 与菱形AEFG ，且∠BAD ＝∠AEF ＝60°，求BMEM的值．图2图1图3AMG FGF GFBCD AD CBD AC B MEEE参考答案与试题解析一．选择题1．选：D．2．选：D．3．选：A．4．选：B．5．选：A．6．选：A．7．选：A．8．选：B．9．【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵以点A为圆心画弧交x轴于点B、C，∴AB＝AC，∴CE＝BE＝BC，∵BC＝4OC，∴，∵AE∥OD，△COD∽△CEA，∴，∵△BCD的面积等于1，OB＝OC＋BC＝5OC，∴，∴S△CEA＝4S△COD＝4×＝1，∵，∴，∴，∵（k＞0），k＝3，故选：C．10．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是BC的中点，∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，BE＝CE＝，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝∠CDE，又∵∠CDE＋∠CED＝90°，∴∠BCF＋∠CED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥DE，∵CD＝2，CE＝，由勾股定理得，DE＝＝＝5，∵S△DCE＝CD×CE＝DE×CH，∴CH＝2，∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴＝，∴＝，∴CF＝5，∴HF＝CF－CH＝3，∴＝，故①正确；如图，过点A作AM⊥DE于点M，∵DC＝2，CH＝2，由勾股定理得，DH＝＝＝4，∵∠CDH＋∠ADM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，∴∠CDH＝∠DAM，又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，∴△ADM≌△DCH（AAS），∴CH＝DM＝2，AM＝DH＝4，∴MH＝DM＝2，又∵AM⊥DH，∴AD＝AH，故③正确；∵DE＝5，DH＝4，∴HE＝1，∴ME＝HE＋MH＝3，∵AM⊥DE，CF⊥DE，∴∠AME＝∠GHE，∵∠HEG＝∠MEA，∴△MEA∽△HEG，∴＝，∴＝，∴HG＝，故②错误．同理④正确；故选：C．二．填空题11．答案为：45．12．答案为：9．13．答案为：．14．【解答】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，∴BH＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，根据勾股定理得，CF＝＝＝．故答案为：．15．【解答】解：如图，过D作DM⊥BD交AB于M，过M作MN⊥AC于N，则∠BDM＝∠MND＝∠MNA＝90°，在△BCD中，∠C＝90°，BD＝13，CD＝5，∴BC＝＝＝12，∵∠ABD＝45°，∴△BDM是等腰直角三角形，∴MD＝BD，∵∠MND＝∠BDM＝90°，∴∠DMN＋∠MDN＝∠MDN＋∠BDC＝90°，∴∠DMN＝∠BDC，在△DMN与△BDC中，，∴△DMN≌△BDC（AAS），∴DN＝BC＝12，MN＝CD＝5，∴CN＝DN＋CD＝17，∵MN⊥AC，BC⊥AC，∴MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，解得：AN＝，∴AD＝AN＋DN＝＋12＝，故答案为：．三．解答题16．【解答】解：（1）x1＝0，x2＝3；（2）x＝－1，检验略．17．【解答】解：∵a是方程x2＋x－6＝0的解，∴a2＋a－6＝0，∴a2＋a＝6，原式＝，代入得原式＝．18．【解答】解：（1）被调查的总人数：4÷10%＝40（人），∴C等级人数：40－（4＋28＋2）＝6（人），补全图形如下：（2）∵m%＝6÷40×100%＝15%，n%＝2÷40×100%＝5%，∴m＝15，n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4种，∴甲和乙恰好分在同一组的概率为＝．19．【解答】解：（1）A（－5，n）B（3，－5）都在反比例函数y＝的图象上，∴m＝－5n＝3×（－5），∴m＝－15，n＝3，∴反比例函数解析式为y＝－，点A的坐标是（－5，3），将A、B两点坐标代入y＝kx＋b得，解得，∴一次函数的解析式为y＝－x－2；（2）在y＝－x－2中，令y＝0，则x＝－2，∴C点坐标（－2，0），∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝＋＝8；（3）不等式kx＋b－＜0的解集是－5＜x＜0或x＞3．20．【解答】解：（1）设平均下降率为x，依题意得：200（1－x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均下降率为10%．（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为（200－m－162）＝（38－m）元，每天可售出20＋×10＝（20＋2m）件，依题意得：（38－m）（20＋2m）＝1150，整理得：m2－28m＋195＝0，解得：m1＝15，m2＝13．∵要减少库存，∴m＝15．答：单价应降低15元．21．【解答】解：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，＝，∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，∴＝，解得，t＝1，②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得，t＝；∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8－4t，∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，∵∠ACQ＝∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴，解得t＝．（3）易证△AEC∽△CPB，解得CE＝105 32．22．【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴＝；（2）BMEM的值为1，理由如下：延长EM至H，使得EM＝MH，连接CH、BH、BE，易证△CMH≌△FME（ASA），∴CH＝EF，ME＝HM，再证△BCH∽△BAE，∴∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°，∵MH＝ME，∴BM＝MH＝ME，∴BMEM的值为1，（3）BMEM的值为33，理由如下：延长EM至N，使得EM＝MN，连接CN、BN、BE，易证△CMN≌△FME（ASA），∴CN＝EF，再证△BCN≌△BAE，∴∠CBH＝∠ABE，∴∠NBE＝∠CBA＝120°，∵MN＝ME，∴BM⊥ME，∠MBE＝∠MBN＝60°，∴BMEM的值为33．。
无锡市锡山区锡山高级中学实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.32D.32.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.5C.55D.2554.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A .35°B.55°C.65°D.75°5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A.40B.160oC.80 或160oD.40 或1406.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.332OA ≤≤C.323OA ≤≤ D.223OA <≤10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）2033cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高3CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．28.在平面直角坐标系xOy 中，对已知的点A ，B ，给出如下定义：若点A 恰好在以BP 为直径的圆上，则称点P 为点A 关于点B 的“联络点”．（1）点A 的坐标为()2,1-，则在点()11,2P ，21,12P ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，()32,1P -中，O 关于点A 的“联络点”是______（填字母）；（2）直线112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，若点C 关于点D 的“联络点”P 满足1tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；（3）T e 的圆心在y ，点M 为y 轴上的动点，点N 的坐标为()4,0，在T e 上存在点M 关于点N 的“联络点”P ，且PMN 为等腰三角形，直接写出点T 的纵坐标t 的取值范围．省锡中实验学校2023—2024学年度第一学期初三数学期中测试一、选择题（每题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A.12B.1C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【详解】根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=32故选：C ．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．2.已知O 的半径为4，3OP =，则点P 与O 的位置关系是（）A.点P 在O 内B.点P 在O 上C.点P 在O 外D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（r 为圆半径，d 为点到圆心距离），当r d >，点在圆内；当r d <，点在圆内；当r d =，点在圆上；据此作答即可．【详解】解：∵O 的半径为4，3OP =，∴43>∴点P 在O 内故选：A3.在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos A 的值是（）A.12B.C.55D.255【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB 的值，在利用余弦的定义直接计算即可．【详解】解：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，∴222125AB AC BC =+=+=,∴15cos 55AC A AB ===，故选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形中余弦值的计算，准确应用余弦定义是解题的关键．4.如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果35ACD ∠=︒，那么BAD ∠为（）A.35°B.55°C.65°D.75°【答案】B 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，连接BD ，先利用直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，再利用同弧所对的圆周角相等可得35ABD ∠=︒，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【详解】解：连接BD AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，35ACD ∠=︒ ，35ACD ABD ∴∠=∠=︒，9055BAD ABD ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．5.在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（）A .40B.160oC.80 或160oD.40 或140【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，分类讨论,根据圆周角定理计算即可．【详解】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B=180°-∠ACB=140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6.在下列命题中，正确的是（）A.任何三角形有且只有一个内切圆B.三点确定一个圆C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线【答案】A【解析】【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心，圆与切线的判定，熟练运用确定圆的条件的性质是本题的关键．【详解】A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确；B、不共线的三点确定一个圆，则B错误；C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误；D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误．故选A7.已知A ∠是锐角，且cosA =34，那么锐角A 的取值范围是（）A.030A ︒<∠<︒B.3045A ︒<∠<︒C.4560A ︒<∠<︒D.6090A ︒<∠<︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出cos30︒，cos 45︒及cos60︒的近似值，然后得出结论即可．【详解】解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵解：3cos300.92︒=≈ ，2cos 450.72︒=≈，1cos 600.52︒==，又∵53c 4os 0.7A ∠==，余弦函数随角增大而减小，∴133242<<3045A ∴︒<∠<︒．故选：B ．8.如图，AB 是半O 的直径，点C 是 AB 的中点，点D 为 BC 的中点，连接AD ，CE AD ⊥于点E ．若1DE =，则AE 的长为（）A.3B.22C.21+ D.322+【答案】C 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得ET EC =，连接CT ，证明DCE △和ETC △是等腰直角三角形，求出2TA TC ==，可得结论．【详解】解：如图，连接AC ，BC 、CD ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵ AC BC=，∴AC CB =．∴45CAB ABC ∠=∠=︒．∵ CDDB =，∴122.52CAD DAB BAC ∠=∠==︒∠．∵ AC AC =，∴45∠=∠=︒ADC ABC ．∵CE DE ⊥，∴90CED ∠=︒．∴45ECD EDC ∠=∠=︒．∴1EC DE ==，在EA 上取一点T ，使得1ET EC ==，连接CT ，∴2CT =．∵45ETC TAC ACT ∠=︒=∠+∠，∴22.5TAC TCA ∠=∠=︒．∴2AT TC ==，∴21AE AT TE =+=+．故选：C ．9.如图，ABC 中660BC A =∠=︒，，点O 为ABC 的重心，连接AO BO CO 、、，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持BAC ∠的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（）A.232OA <≤B.32OA ≤≤C.323OA ≤≤D.223OA <≤【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形的重心，等边三角形的判定与性质，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，因此点A 在 BAC上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，求出3363322AD BC ==⨯=，推出333AD <≤，得到2233333AO ⨯<≤⨯，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作ABC 的外接圆O '，延长AO 交BC 于D ，，BAC ∠ 的大小不变，∴点A 在 BAC 上运动（不与B C 、重合），O 是ABC 的重心，D ∴是BC 的中点，当AD BC ⊥时，AD 长最大，AD ∴垂直平分BC ，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，3363322AD BC ∴===，A 不与BC 、重合，12BC AD ∴<，333AD ∴<≤O 是ABC 的重心，23AO AD ∴=，2233333AO ∴⨯<≤⨯，223AO ∴<≤，故选：D ．10.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，CE 平分ACB ∠，BD CE ⊥，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若30ABC ∠=︒，则BD AD >；②若=45ABC ∠︒，则4ACE BDE S S = ；③若1sin 3ABC ∠=，则ABC ABD S S =△△；④若tan ABC m ∠=，则2CE m BD =⋅．正确的有（）A.①③B.②③C.②④D.③④【答案】D【解析】【分析】①延长BD ，CA 交于点G ，证明BD DG =，根据直角三角形斜边中线的性质得AD BD =，可作判断；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，设AE x =，则,2BF EF x BE ===，2AB AC x x ==，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，证明Rt Rt ACE FCE ≌，得2AC CF a ==，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④延长,BD CA 交于点G ，证明AEC AGB ∽，列比例式，并结合三角函数可作判断．【详解】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵30,90ABC BAC ∠=︒∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵CE 平分ACB ∠，∴30ACD BCD ∠=∠=︒，在Rt BDC 中，90,30BDC BCD ︒︒∠=∠=，∴60DBC ∠=︒，∴ GBC 是等边三角形，∵CD BG ⊥，∴BD DG =，Rt BAG 中，12AD BG BD ==，故①错误；②如图2，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵CE 平分ACB ∠，90BAC ∠=︒，∴AE EF =，∵90,45BAC ABC ∠=︒∠=︒，∴AB AC =，同理得BEF △是等腰直角三角形，∴BF EF =，设AE x =，则,2BF EF x BE x ===，2AB AC x ==，∴()22222422CE AE AC x x x x =+=+++，∵DEB AEC ∠=∠，90BDE EAC ∠=∠=︒，∴BDE CAE ∽△△，∴222(422)()222ACE BDES CE x S BE x ∆∆+⋅===+，∴(22)ACE BDE S S =+ ，故②错误；③如图3，过点E 作EF BC ⊥于F ，∵1sin 3EF AC ABC BE BC ∠===，设,3,EF a BE a ==，则AE EF a ==，∴.22BF a =，∵90,EAC CFE CE CE ∠=∠=︒=，AE EF =，∴Rt Rt (HL)ACE FCE ≌，∴AC CF =，∵222AB AC BC +=，∴()()22232a a AC a AC++=+∴2AC CF a ==．延长,BD CA 交于点G ，∵,GCD BCD CD BG ∠=∠⊥，∴CBD G ∠=∠，∴32,CG CB a BD DG ===，∴22AG a =，∴21112422222ABD ABG S S a a a =⋅=⨯⨯⨯= ，2124222ABC S a a a =⋅⋅= ，∴ABC ABD S S =△△．故③正确；④如图4，延长,BD CA 交于点G ，∵90,BDE CAE DEB AEC ∠=∠=︒∠=∠，∴ACE DBE ∠=∠，∵90EAC BAG ︒∠=∠=，∴AEC AGB ∽，∴CE AC BG AB=，由③知：2BG BD =，∵tan AC ABC m AB ∠==，∴2CE m BD=，∴2CE m BD =⋅．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角函数，三角形相似的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线．二、填空题（每空3分，共24分）11.已知α是锐角，4tan 5α=，则cos α=____°【答案】54141【解析】【分析】此题考查了求锐角的三角函数值．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值．【详解】如图：由a 4tan 5b α==，设45a x x ==，b ，则c ==，故5b cos c x α===12.一个人从山下沿30︒角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是_____m ．【答案】25【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，根据含30︒角所对的直角边等于斜边的一半计算即可求解，掌握含30︒角的直角三角形的性质是解题的关键.【详解】解：根据题意可得，山的高度15025m 2=⨯=，故答案为：25．13.圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝_____°．【答案】120【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出∠A 与∠B ，∠C 的度数即可得出答案．【详解】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形对角互补有2x+7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形对角互补的性质，根据已知得出，∠A+∠C=3x+7x=180°是解题关键．14.已知圆锥的母线长为8cm ，底面圆的半径为3cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是_____cm 2．【答案】24π【解析】【分析】先求出底面周长，再根据公式求解即可．【详解】解：底面半径为3cm ，则底面周长=6πcm ，∴侧面面积=12×6π×8=24πcm 2．故答案为：24π．【点睛】此题考查了扇形面积计算公式，圆的周长计算公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．15.如图，点O I 、分别是锐角ABC 的外心、内心，若648CAB OAC ∠=∠=︒，则BCI ∠=______°【答案】25【解析】【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角，也考查了三角形外心的性质和圆周角定理，连接OC ，先计算出8OAC ∠=︒，再根据三角形外心的性质得到OA OC =，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出164AOC ∠=︒，接着根据圆周角定理得到82ABC ∠=︒，则利用三角形内角和可计算出50∠=°ACB ，然后根据三角形内心的性质得到BCI ∠的度数．【详解】解：如图，连接OC ，，648CAB OAC ∠=∠=︒ ，8OAC ∴∠=︒，点O 是锐角ABC 的外心，OA OC ∴=，8OCA OAC ∴∠=∠=︒，180164AOC OCA OAC ∴∠=︒-∠-∠=︒，1822ABC AOC ∴∠=∠=︒，18050ACB CAB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒，点I 是锐角ABC 的内心，1252BCI ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：25．16.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的O 的圆心重合，E 、F 分别是AD BA 、的延长线与O 的交点，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】3π-【解析】【分析】本题主要考查了圆面积的计算、正方形的性质、全等形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等图形成为解题的关键．如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ，再根据垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式可得31DAF S =- ，然后再根据阴影部分的面积()14O ADF ABCD S S S -- 正方形即可解答．【详解】解：如图：延长DC CB ，交⊙O 于M ，N ，连接OF ，过点O 作OH AB ⊥于H ．在Rt OFH △中，2222213F O O H F H =--,∵112AH BH AB ===，∴31AF FH AH =-=-∴()112313122DAF S AD AF =⋅=⨯⨯-=- ，∴图中阴影部分的面积()()()21122231344O ADF ABCD S S S ππ=--=⋅-⨯--=- 正方形．故答案为3π-．17.将点()3,3A -绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点'A ，当点'A 恰好落在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上时，点G 的坐标为________．【答案】()32,0-+或()32,0--##()32,0--或()32,0-+【解析】【分析】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，由全等三角形求出点A '坐标，由点A '在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G 的坐标．【详解】设点G 的坐标为(,0)a ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，过点A '作A N x '⊥轴交于点N ，如图所示：∵()3,3A -，∴3AM =，3GM a =+，∵点A 绕点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴AG A G '=，90AGA '∠=︒，∴90AGM NGA '∠+∠=︒，∵AM x ⊥轴，A N x '⊥轴，∴90AMG GNA '∠=∠=︒，∴90AGM MAG ∠+∠=︒，∴MAG NGA '∠=∠，在AMG 与GNA ' 中，AMG GNA MAG NGA AG GA ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩，∴()AMG GNA AAS '≅ ，∴3GN AM ==，3A M GM a '==+，∴3ON a =+，∴(3,3)A a a '++，在Rt ONA ' 中，由勾股定理得：222(3)(3)2a a +++=，解得：32a =-+或32a =--，∴()32,0M -+或()32,0M --．故答案为：()32,0-+，()32,0--．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．18.如图，在四边形ABCD 中，9086BAD BCD BC CD ∠+∠=︒==，，，1sin 4BCD ∠=，连接AC BD ，，当ABD △是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为____．【答案】213或7373213【解析】【分析】分BD BA =和BD AD =两种情况进行解答；①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，先证BAD BCE ∽ 可得ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，进而证ABC 和DBE 全等，即AC DE =，然后在Rt DCE V 中，利用勾股定理求出DE 即可；②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，先证ABD CBM ∽ 可得ABD CBM ∠=∠，进而证ABC DBM ∽ 可得12BC DM AB BD ==：：：，则12BC DM =，然后在Rt DCM 中利用勾股定理求出DM 即可．【详解】解：∵ABD △是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD BA =时，如图1：过点B 作BH AD ⊥于H ，过点C 作CE CD ⊥，在CE 上截取142CE BC ==，连接BE ，∵BD BA BH AD =⊥，，∴290BAD BDA AD AH BAD ABH ∠=∠=∠+∠=︒，，，∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ABH BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AH ABH AB ∠==,∴42AB AH AD ==，∴12AD AB =：：，∵142CE BC ==，∴12BC CE =：：，∴AD AB BC CE =：：，∵CE CD ⊥，∴90BCE BCD ∠+∠=︒．∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCE ∠=∠，又∵AD AB BC CE =：：，∴BAD BCE ∽ ，∴ABD CBE BDA BEC ∠=∠∠=∠，，∴BDA BEC BDA BCE ∠=∠=∠=∠，∴8BC BE ==，∵ABD CBE ∠=∠，∴ABD DBC CBE DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBE ∠=∠，在ABC 和DBE 中，,,BD BA ABC DBE BC BE =∠=∠=,∴()SAS ABC DBE ≌，∴AC DE =，在Rt DCE V 中，64CD CE ==，，由勾股定理得：22213DE CD CE =+=；即213AC =②当BD AD =时，如图2：过点D 作DN AB ⊥于N ，过点C 作CM CD ⊥，在CM 上截取216CM BC ==，连接BM ，∵BD AD DN AB =⊥，，∴290DAB DBA AB AN ADN BAD ∠=∠=∠+∠=︒，，，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴ADN BCD ∠=∠，∵1sin 4BCD ∠=，∴1sin 4AN ADN AD ∠==,∴42AD AN AB ==，∴12AB AD =：：，∵216CM BC ==，∴12BC CM =：：，∴AB AD BC CM =：：，∵CM CD ⊥，∴90BCM BCD ∠+∠=︒，又∵90BAD BCD ∠+∠=︒，∴BAD BCM ∠=∠，又∵AB AD BC CM =：：，∴ABD CBM ∽ ，∴ABD CBM ∠=∠，∴ABD CBM DAB BCM ∠=∠=∠=∠，∴216BM CM BC ===，∵ABD CBM ∠=∠，∴ABD DBC CBM DBC ∠+∠=∠+∠，即ABC DBM ∠=∠，∵1212AB BD BC BM ==：：，：：，∴AB BD BC BM =：：，∴ABC DBM ∽ ，∴12BC DM AB BD ==：：：，∴12BC DM =在Rt DCM 中，616CD CM ==，，由勾股定理得：DM ==，∴12BC DM ==综上所述：AC 的长为故答案为或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形和相似三角形以及分类讨论思想的应用是解题的关键和难点．三、解答题（10小题，共96分）19.计算：（1）20cos 30π-+（2）21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】（1）72（2）8【解析】【分析】本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的性质并牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．（1）将01π=，cos302= 代入原式，运算结果即可．（2）将tan 451︒=代入原式，运算结果即可．【小问1详解】解：20cos 30π-+312=-+72=【小问2详解】解：21tan 45|5|2-︒⎛⎫-+- ⎪⎝⎭415=-+8=20.在Rt ABC △中，90ACB A B C ∠=︒∠∠∠，、、的对边分别是a b c 、、，已知32b c =，斜边上的高CD =（1）求tan A 的值；（2）求BD 的长．【答案】（1）2（2）152【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知解直角三角形的方法是解题的关键．（1）先求出23b c =，进而利用勾股定理求出53BC c =，再根据正切的定义可得答案；（2）先解Rt ADC 得到2155AD =，再解Rt ABC △，得到2cos 3A =，则可解Rt ADC ，得到3155AC =，进而求出91510AB =，则152BD AB AD =-==．【小问1详解】解：在Rt ABC △中，9032ACB b c =︒=∠，，∴23b c =，∴2253BC AB AC c =-=，∴5tan 2BC A AC ==；【小问2详解】解：在Rt ADC 中，5tan 2CD A AD ==，∴2155AD =，在Rt ABC △中，2cos 3AC A AB ==，∴在Rt ADC 中，315cos 5AD AC A ==，∴3915210AB AC ==，∴915215151052BD AB AD =-=-=．21.如图，在O 中，弦BC 垂直于半径OA ，垂足为E ，D 是优弧 BC上一点，连接BD ，AD ，OC ，30ADB ∠=︒．（1）求AOC ∠的度数；（2）若弦18cm BC =，求图中劣弧 BC 的长．（结果保留π）【答案】（1）60︒（2）43πcm【解析】【分析】（1）连接OB ，结合垂径定理得到»»AB AC =，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到AOB ∠和AOC ∠之间的关系，进而求出AOC ∠的度数；（2）要求劣弧 BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE 的长，进而在Rt BOE 中利用勾股定理求出OE 的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【小问1详解】解：连接OB ，∵OA BC ⊥，∴»»AB AC =，∴AOC AOB ∠=∠，由圆周角定理得，260AOB ADB ∠=∠=︒，∴60AOC AOB ∠=∠=︒．【小问2详解】解：∵OA BC ⊥，∴192BE BC ==，在Rt BOE 中，60AOB ∠=︒，∴2OB OE =，∴2239BE OB OE OE =-==，∴33cm OE =，63cm OB =．∴劣弧 BC 的长()120π6343πcm 180⨯==．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．22.如图，在矩形ABCD 中，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，将CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ．（1）求AP 的长；（2）求tan DCP ∠的值．【答案】（1）95（2）724【解析】【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，得出52CH =，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH 垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，证明90APB ∠=︒得出AP CH ∥，PAB BHC ∠=∠，得出3cos cos 5AP PAB BHC AB=∠=∠=，即可得出答案；（2）作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，则2EF BC ==，90BFE ∠=︒，90AFP ∠=︒，求出3cos 5AF PAB AP =∠=，4sin sin 5PF PAB BHC AP =∠=∠=，得到2725AF =，3625PF =，从而得到1425PE =，即可得出答案．【小问1详解】解：如图，连接PB ，，四边形ABCD 是矩形，32AB BC ==，，H 是AB 的中点，90ABC ∴∠=︒，1322AH BH AB ===，222235222CH BH BC ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH BH AH ==，CH ∴垂直平分PB ，HPB HBP ∠=∠，1180902APB HPB HPA HBP HAP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，AP BP ⊥ ，CH BP ⊥，C AP H ∴∥，PAB BHC ∠=∠∴，332cos cos 552AP BH PAB BHC AB CH ∴=∠=∠===，3393555AP AB ∴==⨯=，AP ∴的长是95；【小问2详解】解：如图，作PE CD ⊥于点E ，交AB 于点F ，，90FEC ECB FBC ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形BCEF 是矩形，2EF BC ∴==，90BFE ∠=︒，90AFP ∴∠=︒，324cos sin sin 5552AF PF BC PAB PAB BHC AP AP CH ∴=∠==∠=∠===，，3392755525AF AP ∴==⨯=，4493655525PF AP ==⨯=，274832525CE BF AB AF ∴==-=-=，361422525PE EF PF =-=-=，14725tan 482425PE DCP CE ∴∠===，tan DCP ∴∠的值为724．23.如图，在等边ABC 中，点M N 、分别在AB AC 、边上．（1）在BC 边上求作点P ，使60MPN ∠=︒；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．）（2）若95AB BM ==，，设CN a =，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则=a ．【答案】（1）见解析（2）8120【解析】【分析】本题考查了作图—复杂作图，等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确的作出图形．（1）以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，即可完成作图；（2）证明11BMP CP N ∽，可得11CP MB BP CN =，设1BP x =，则19CP x =-，可得59x x a -=，从而得到2950x x a +=-，由只能作出唯一的点P ，得到该方程有两个相等的实数根，由此进行计算即可得出答案．【小问1详解】解：以A 为圆心，AN 为半径画弧，交AB 于点D ，作DMN 的外接圆，交BC 于1P 、2P ，如图，1P 、2P 即为所求，，如图，连接DN ，1MP ，1NP ，2NP ，2MP ，，由作图可得：AD AN =，ABC 是等边三角形，=60B ∠︒，AB AC ∴=，AB AD AC AN ∴-=-，即BD CN =，B DNC ∴∥，60MDN B ∴∠=∠=︒，由圆周角定理可得：1260MP N MP N MDN ∠=∠=∠=︒；【小问2详解】解：如图，，160MP N ∠=︒ ，11120MPB CP N ∴∠+∠=︒，ABC 是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=︒，9BC AB ==，11120BMP MPB ∴∠+∠=︒，11BMP CP N ∴∠=∠，11BMP CP N ∴ ∽，11CPMB BP CN ∴=，设1BP x =，则19CP x =-，59xx a -∴=，259a x x ∴=-，2950x x a ∴-+=，只能作出唯一的点P ，∴该方程有两个相等的实数根，()2Δ94150a ∴=--⨯⨯=，8120a ∴=，故答案为：8120．24.如图，点C 在O 的直径AB 的延长线上，点D 是O 上一点，过C 作CE AC ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接,CD DB ，且CD CE =．（1）求证：直线DC 与O 相切；（2）若15AB =，1tan 2BDC ∠=，求CE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接OD ，先根据等腰三角形的性质可得ODA A ∠=∠，CDE E ∠=∠，再根据直角三角形的性质可得90A E ∠+∠=︒，从而可得OD DC ⊥，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）连接OD ，设()0CD CE x x ==>，先求出A BDC ∠=∠，根据正切的定义可得22AC CE x ==，再在Rt COD 中，利用勾股定理求解即可得．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，OA OD = ，ODA A ∴∠=∠，CD CE = ，CDE E ∴∠=∠，⊥ CE AC ，90A E ∴∠+∠=︒，90ODA CDE ∴∠+∠=︒，()18090ODC ODA CDE ∴∠=︒-∠+∠=︒，即OD DC ⊥，又OD 是O 的半径，∴直线DC 与O 相切．【小问2详解】解：如图，连接OD ，设()0CD CE x x ==>，15AB = ，11522OA OD AB ∴===，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90CDE BDC BDE ∴∠+∠=∠=︒，又90A E ∠+∠=︒ ，CDE E ∠=∠，A BDC ∴∠=∠，1tan 2BDC ∠= ，1tan 2CE A AC∴==，22AC CE x ∴==，1522OC AC OA x ∴=-=-，由（1）已证：OD DC ⊥，∴在Rt COD 中，222OD CD OC +=，即2221515222x x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得10x =或0x =（不符合题意，舍去），所以CE 的长为10．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、正切、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．25.如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知 2.5BC =米，37MBC ∠=︒．从水平地面点D 处看点C ，仰角=45ADC ∠︒，从点E 处看点B ，仰角53AEB ∠=︒．且 4.5DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）【答案】4米【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt △BCN 中，求出CN 、BN ，在Rt △ABE 中用AB 的代数式表示AE ，再根据∠ADC =45°得出CF =DF ，列方程求解即可．【详解】解：过点C 作CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，垂足为N 、F ，如图所示：在Rt △BCN 中，CN =BC •sin ∠MBC =2.5×35=1.5（米），BN =BC ×cos 37°=2.5×45=2（米），∵CN ⊥AB ，CF ⊥AD ，MA ⊥AD ，∴四边形AFCN 为矩形，∴CN =AF =1.5，BN +AB =CF ，在Rt △ABE 中，∵∠AEB =53°，∴∠ABE =90°-53°=37°，AE =AB •tan ∠ABE =AB ×tan 37°=34AB ，∵∠ADC =45°，∴CF =DF ，∴BN +AB =AD -AF =AE +ED -AF ，即：2+AB =34AB +4.5-1.5，解得，AB =4（米）答：匾额悬挂的高度AB 的长约为4米．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系，通过作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数表示边，再利用各条边之间的关系，列方程求解是解决问题的常用方法．26.如图，在矩形ABCD 中，6cm 12cm AB BC ==，，点P 从点A 出发沿AB 以1cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当2t =时，PQ =；（2）在运动过程中，当45DPQ ∠=︒时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．【答案】（1）42cm（2）1517-（3）12613185t <<【解析】【分析】（1）当2t =时，()2cm AP =，()4cm BQ =，()4cm BP =，再由勾股定理进行计算即可；（2）连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t =-，由45DPQ ∠=︒，得出PQM 是等腰直角三角形，证明()AAS PMN MQK ≌得出PN MK =，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()62t x t x -+=-，得出362t x -=，证明MPN DPA ∽得到1623622tt t =-+，求解即可；（3）当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，可得()()22626t t -+=，解得125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，可得()()()2222621226t t t -+=-+，解得61318t =-，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，即可得出答案．【小问1详解】解：当2t =时，()212cm AP =⨯=，()224cm BQ =⨯=，()624cm BP AB AP ∴=-=-=，()22224442cm PQ BP BQ ∴=+=+=，故答案为：42cm ；【小问2详解】解：如图，连接DP ，过Q 作QM DP ⊥于M ，过M 作MN AB ⊥于N ，过Q 作QK MN ⊥于K ，，根据题意可得：cm AP t =，2cm BQ t =，()6cm BP t ∴=-，由作图可知四边形BQKN 是矩形，BN QK ∴=，2cm BQ NK t ==，45DPQ ∠=︒ ，PQM ∴ 是等腰直角三角形，90PMQ ∴∠=︒，PM QM =，90PMN QMK KQM ∴∠=︒-∠=∠，90MNP QKM ∠=︒=∠ ，()AAS PMN MQK ∴ ≌，PN MK ∴=，MN QK =，设cm PN MK x ==，则()2cm MN NK MK t x QK =-=-=，BN QK = ，()62t x t x ∴-+=-，362t x -∴=，()36cm 2t PN -∴=，()3662cm 22t t MN t -+=-=，MPN DPA ∠=∠ ，90MNP A ∠=︒=∠，MPN DPA ∴ ∽，PN MN AP AD ∴=，即1623622t t t =-+，解得：15317t =+（舍去）或15317t =-，t ∴的值为15317-；【小问3详解】解：如图，当Q 与AD 相切于T 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，，90A B ATQ ∠=∠=∠=︒ ，∴四边形ABQT 是矩形，6cm QT AB PQ ∴===，()()22626t t ∴-+=，解得：0=t （舍去）或125t =，由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足125t >；如图，当Q 经过点D 时，Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，，此时PQ DQ =，()()()2222621226t t t ∴-+=-+，解得：61318t =-或61318t =--（舍去），由图可知，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足61318t <-，综上所述，当12613185t <<-时，Q 与矩形ABCD 的边共有4个公共点．【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．27.已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（90308B ACB AB ∠=︒∠=︒=，，）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x 轴上，边AB 恰好与O 相切于点D ，则切线长AD =；（2）如图2，将三角板的顶点A 在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在x 轴的正半轴上，若BC 边与O 相切于点M ，求点B 的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A 继续在O 上滑动，直角顶点B 恰好落在O 上且在y 轴右侧，BC 边与y 轴的正半轴交于点G ，与O 的另一交点为H ，若1PG =，求GH 的长．【答案】（1）533（2）()41,0B （3）253-或3【解析】【分析】（1）连接OD ，得出30DOA ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得AD 的长；（2）连接OM ，设线段AB 交O 于点E ，过点O 作ON AB ⊥于N ，得出四边形ONBM 是矩形，根据垂径定理以及矩形的性质得出5,3OE NE ==，在Rt NEO 中，勾股定理求得ON ，Rt OMB 中，勾股定理求得OB ，即可求得点B 的坐标；（3）分类讨论，①当G 在P 点上方时，过点O 作OF BC ⊥于点F ，连接AH ，根据90度角所对的弦是直径，得出AH 是O 的直径，进而勾股定理求得HB ，垂径定理求得HF ，在Rt HOF 中，得出OF ，在Rt GFO 中求得FG ，继而根据GH FG HF =-即可求解；②当G 点在P 点下方时，过点O 作OX HB ⊥，同一法证明点,G X 重合，进而垂径定理即可求解．【小问1详解】如图，连接OD ，∵边AB 恰好与O 相切于点D ，∴OD AB ⊥，∵9030B ACB ∠=︒∠=︒，，∴∥OD BC ，∴30DOA ∠=︒，。
广东省深圳市深圳实验中学中学部2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
广东省深圳市深圳实验中学中学部2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷一、单选题1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．计算3...a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭⋅⋅⋅144424443个的结果是（）A ．5aB ．6a C ．3a a +D ．3a a 3．关于x 的方程2441x x -=-的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根4．若二元一次联立方程式53283x y y x -=⎧⎨=-⎩的解为x a y b =⎧⎨=⎩，则a b +之值为何？（）A ．28-B ．14-C ．4-D ．145．如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点(),1M m ，(),2N n -，若12y y ＜，则x 的取值范围是（）A ．12x -<<B ．1x <-或0<<2C ．10x -<<或0<<2D ．10x -<<或>26．下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等7．同一条公路连接A ，B ，C 三地，B 地在A ，C 两地之间．甲、乙两车分别从A 地、B 地同时出发前往C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离y （km ）与时间x （h ）的函数关系．下列结论正确的是（）A ．甲车行驶8h 3与乙车相遇B ．A ，C 两地相距220kmC ．甲车的速度是70km /hD ．乙车中途休息36分钟8．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．正十二边形的每一个外角等于度．10．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．11．如图，ABCD 中，2BC =，点E 在DA 的延长线上，3BE =，若BA 平分EBC ∠，则DE =．12．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是．13．如图，ABC V ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC V 面积的2倍，则AD =．三、解答题14．()0π31-+-15．先化简，再求值：212139a a a +⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中1a =．16．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图类型人数百分比纯电m 54%混动n %a 氢燃料3%b 油车5%c请根据以上信息，解答下列问题：(1)本次调查活动随机抽取了_____人；表中a =______，b =______；(2)请补全条形统计图；(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；(4)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？17．某商店购进A 、B 两种纪念品，已知纪念品A 的单价比纪念品B 的单价高10元．用600元购进纪念品A 的数量和用400元购进纪念品B 的数量相同．(1)求纪念品A 、B 的单价分别是多少元？(2)商店计划购买纪念品A 、B 共400件，且纪念品A 的数量不少于纪念品B 数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，ABD CDB ∠=∠，BE AC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，且BE DF =．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若AB BO =，当ABE ∠等于多少度时，四边形ABCD 是矩形？19．已知反比例函数(0)k y x x=>的图象与正比例函数()30y x x =≥的图象交于点()2,A a ，点B 是线段OA 上（不与点A 重合）的一点．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图1，过点B 作y 轴的垂线,l l 与(0)k y x x=>的图象交于点D ，当线段3BD =时，求点B 的坐标；(3)如图2，将点A 绕点B 顺时针旋转90︒得到点E ，当点E 恰好落在(0)k y x x =>的图象上时，求点E 的坐标．20．综合与探究：如图，90AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的平分线上，PA OA ⊥于点A ．(1)【操作判断】如图①，过点P 作PC OB ⊥于点C ，根据题意在图①中画出PC ，图中APC ∠的度数为______度；(2)【问题探究】如图②，点M 在线段AO 上，连接PM ，过点P 作PN PM ⊥交射线OB 于点N ，求证：2OM ON PA +=；(3)【拓展延伸】点M 在射线AO 上，连接PM ，过点P 作PN PM ⊥交射线OB 于点N ，射线NM 与射线PO 相交于点F ，若3ON OM =，求OP OF的值．。
北京市顺义区牛栏山第一中学实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京市顺义区牛栏山第一中学实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各组种的四条线段成比例的是（）A ．3cm 、5cm 、6cm 、9cmB ．3cm 、5cm 、8cm 、9cmC ．3cm 、9cm 、10cm 、30cmD ．3cm 、6cm 、7cm 、9cm2．下列抛物线不经过原点的是（）A ．2y x =B ．22y x =-C ．22y x =-D ．22y x x=-3．如图是老师画出的ABC ，已标出三边的长度，下面四位同学画出的三角形与老师画出的ABC 不一定．．．相似的是（）A ．B ．C ．D ．4．将二次函数2y x =图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数是（）A ．()212y x =++B ．()212y x =--C ．()=+-2y x 12D ．()212y x =-+5．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x 元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y 元，则y 与x 之间的函数关系为（）A ．(30)(20040)y x x =-+B ．(30)(20020)y x x =-+A ．AD BCDF CE=7．在同一坐标系中，函数A ．．C ．D ．8．如图，ABC 和ADE V 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=BDCE的值为（）A ．12B ．2229．下列函数中，如果0x >，y 的值随x 的值增大而增大，那么这个函数是（）A ．．C ．．二、填空题11．已知23a b =，那么2a 12．在学习画线段AB 的黄金分割点时，B 作AB 的垂线BC 以点B 为圆心，BM 为半径画弧交射线，连接AD ，再以点半径画弧，前后所画的两弧分别与两点，最后，以度为半径画弧交AB 于点的其中一个黄金分割点，这里的线段，且“■■”：AB （比值写精确值，非近似值）13．如图，为使ABC ACD ∽，请添加一个条件，这个条件可以是14．点()13,A y -，(2,B y 15．已知正比例函数1y 交点坐标是，当1y >16．抛物线22y x x =-+（精确到0.1）．17．已知抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴交于轴l 上的一个动点，则PA +PC 的最小值是18．已知二次函数2y ax bx c =++的物线开口向上；②抛物线与y 轴交于负半轴；的正根在3与4之间．其中正确的是x (1)-013…y…3-131…三、解答题(1)它与x 轴交点的坐标为______，与(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ……y……(3)利用以上信息解答下列问题：若关于712x -<<的范围内有解，则t 的取值范围是21．如图，在ABC 中，D 、E 、F 分别是9cm BF =，求EF 和FC 的长．五、解答题22．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象经过点()1,1A --和点()3,9B -．(1)求该二次函数的解析式；(2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；(3)点(),C m m （其中0m >）与点D 均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m 的值及点D 的坐标．六、计算题23．如图，在ABC 和CDE 中，90B D ∠=∠=︒，C 为线段BD 上一点，且AC CE ⊥．3AB =，2DE =，6BC =．求CD 的长．(4)若()()P a t Q b t ，，，是函数4y x =+八、应用题25．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H 离地竖直高度为 1.2h =米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度2DE =米，竖直高度0.7EF =米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口04．米，灌溉车到绿化带的距离OD 为d 米．(1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC ；(2)求下边缘抛物线与x 轴交点B 的坐标；(3)若 3.2d =米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．九、问答题26．在平面直角坐标系中，抛物线2222y x mx m m =++-的顶点为A ．(1)求顶点A 的坐标（用含有字母m 的代数式表示）；(2)若点()()13B C B y C y -，，，，在抛物线上，且B C y y >，求m 的取值范围；(3)当13x ≤≤时，函数y 的最小值等于6，求m 的值．27．四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转()2045αα︒<<︒，得到线段CE ，连接DE ，过点B 作BF DE ⊥交DE 的延长线于F ，连接BE ．(1)依题意补全图1；(2)直接写出FBE ∠的度数：(3)连接AF ，用等式表示线段AF 与DE 的数量关系，并证明．(1)①点A ，C ，D ，E ，O ，与点B “联络量”是2②点M 在平面上运动，已知将点D ，E ，M 分在同一类时区域的面积为；(2)已知二次函数()243y x h =--上的任一点K 为两类的最小“类筹”大于4，直接写出h 的取值范围。
广东省深圳实验学校中学部九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 下列各组数中，相等的一组是（）2.A.−2 和−(−2)C.2和|−2|下列各式中，正确的是（）B.D.−|−2|和−(−2)−2 和|−2|A.(−8)2=−8B.−82=−8C.(±8)2=±8D.82=±83.因式分解x﹣4x3的最后结果是（）A.x(1−2x)2C.x(1−2x)(2x+1)B.D.x(2x−1)(2x+1)x(1−4x2)4.某市需要铺设一条长660米的管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成．求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数．小宇同学根据题意列出方程660x-660x(1+10%)=6．则方程中未知数x所表示的量是（）5.A.实际每天铺设管道的长度C.原计划施工的天数下列说法中，错误的是（）B.D.实际施工的天数原计划每天铺设管道的长度A.B.C.D.对角线互相垂直的四边形是菱形对角线互相平分的四边形是平行四边形菱形的对角线互相垂直平行四边形的对角线互相平分6.若x=2时，代数式ax+bx+5的值是3，则当x=-2时，代数式ax+bx+7的值为（）A.−3B.3C.5D.77.已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜22，②c osα＜sinα，③sin2α=2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图所示，是反比例函数y=3x 与y=−7x 在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，△则ABP的面积等于（）A.5B.4C.10D.209.如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB＝10，AE＝2，则弦CD的长为A. B. C. D.46810424210. 如图所示为二次函数 y =ax +bx +c （a ≠0）图象一部分，则以下正确的有：①b ＞2a ；②ax+bx +c =0 的两根分别为-3 和 1；③a -2b +c ＜0；④a +b +c =0；⑤8a +c ＞0，其中正 确的有（ ）A. B. C. D.① ②②③④ ②③④⑤二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 11. 12. 在 △R t ABC 中，∠C =90°，sin A =45，则tan A =______． 单项式-π x y 的系数是______，次数是______． 13. 若 x +2（m -3）x +16 是完全平方式，则 m 的值等于______．14. 15.16.17. 18.19. 计算 48-23+775=______．在反比例函数 y =m −1x （x ＜0）中，函数值 y 随着 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是______．一条抛物线，顶点坐标为（4，-2），且形状与抛物线 y =x +2 相同，则它的函数表 达式是______．若（x +y ）（x +2+y ）=15，则 x +y =______．如图，有两个矩形的纸片面积分别为26 和 9，其中有一部分重叠，剩余空白部分的面积分别为 m 和 n （m ＞n ）， 则 m -n =______．如图，AB 与⊙O 相切于点 B ，AO 的延长线交⊙O 于点 C ，连接 BC ，若∠ABC =120°，OC =3，则弧 BC 的 长为______（结果保留 π）．20.如图所示，扇形 OMN 的圆心角为 45°，正方形A B C A 的边长为 2，顶点 A ，1 1 12 1A 在线段 OM 上，顶点B 在弧 MN 上，顶点C 在线211段 ON 上，在边 A C 上取点 B ，以 A B 为边长继续2 1 2 2 2作正方形 A B C A ，使得点 C 在线段 ON 上，点 A 2 2 2 323在线段 OM 上，……，依次规律，继续作正方形，则 A M =______．2018三、计算题（本大题共1 小题，共 6.0 分） 21. 计算：（13） +|3-2|-12+6cos30°+（π-3.14） ．2 2 2 2 2 2 -2 0第2 页，共19 页四、解答题（本大题共6小题，共54.0分）22.如图，已知菱形A BCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与AD边交于E（-4，12），F（m，2）两点．（1）求k，m的值；（2）写出函数y=kx 图象在菱形ABCD内x的取值范围．23.如图，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）当∠BAC为多少度时，四边形OBDC是正方形？24.已知关于x的方程（k+1）x-2（k-1）x+k=0有两个实数根x，x．212（1）求k的取值范围；（2）若x+x=x x+2，求k的值．121225.如图，△R t APE，∠AEP=90°，以AB为直径的⊙，O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC=1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为52，求AE的长．26.如图1，在△R t ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）填空：在______秒时△，PCQ的面积△为ACB的面积的13；（2）经过几秒，以P、C、Q为顶点的三角形△与ACB相似？（3）如图2，设CD△为ACB的中线，则在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．27.如图，抛物线y=x2+2x-3的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）△求ABC的面积；（1）P是对称轴左侧抛物线上一动点，以A P为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，画出图形并求出P点坐标；（3）若抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m，求m的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为-（-2）=2，-|-2|=-2，|-2|=2，所以选项A、B、D中的两个数均不相等，只有选项D中的两个数相等．故选：C．运用相反数和绝对值的知识，先化简-（-2）、-|-2|、|-2|，再判断相等的一组．本题考查了相反数和绝对值的化简，题目难度不大．2.【答案】B【解析】解：A、B、-C、D、=8，故此选项错误；=-8，故此选项错正确；=8，故此选项错误；=8，故此选项错误；故选：B．直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质化简，正确化简二次根式是解题关键．3.【答案】C【解析】【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=x（1-4x）=x（1+2x）（1-2x）.故选C．4.【答案】D【解析】2解：设原计划每天铺设管道 x 米，则实际每天铺设管道（1+10%）x ，根据题意，可列方程：- =6，所以小宇所列方程中未知数 x 所表示的量是原计划每天铺设管道的长度， 故选：D ．小宇所列方程是依据相等关系：原计划所用时间-实际所用时间=6，可知方程 中未知数 x 所表示的量．本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是依据所给方程还原 等量关系． 5.【答案】A【解析】解：A 、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，本选项符合题意；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本选项不符合题意；C 、菱形的对角线互相垂直，正确，本选项不符合题意；D 、平行四边形的对角线互相平分，正确，本选项不符合题意；故选：A ．根据平行四边形、菱形的判定和性质一一判断即可；本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】解：将 x=2 代入 ax +bx +5=3，得：16a+4b+5=3，则 16a+4b=-2，所以当 x=-2 时，ax +bx +7=16a+4b+7=-2+7=5，故选：C ．将 x=2 代入 ax +bx +5=3 得 16a+4b=-2，据此将其代入 x=-2 时ax +bx +7=16a+4b+7 中计算可得．4 24 2 4 2 4 2本题主要考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握代数式的求值及整体代入思想的运用．7.【答案】B【解析】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜，故①正确；cosα＞sinα，故②错误；sin2α=2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．本题考查了锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．8.【答案】A【解析】解：设点A（a，）∵AB∥x轴∴点B纵坐标为，且点B在反比例函数y=图象上，∴点B坐标（-，）∴S=（a+）×=5△ABP故选：A．设点A（a，），可得点B坐标（-，），即可△求ABP的面积．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设点A（a，），利用字母a表示AB的长度和线段AB上的高，是本题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的有关知识，掌握垂径定理的内容是解题的关键．连接OC，根据题意得出OC=5，再由垂径定理知，点E是CD的中点，CE= CD ，在直 △角OCE 中，由勾股定理得出 CE ，从而得出 CD 的长． 【解答】解：连接 OC ，∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ， ∴CE=DE= CD ，在 Rt △OCE 中，OC =OE +CE ， ∵AE=2，AB=10， ∴OC=5，OE=3， ∴CE=4， ∴CD=8，故选：C ．10.【答案】D【解析】解：①∵抛物线的对称轴为直线 x=-=-1，∴b=2a ，结论①错误；②∵抛物线的对称轴为直线 x=-1，抛物线与 x 轴一个交点的坐标为（1，0）， ∴抛物线与 x 轴另一交点的坐标为（-3，0），∴ax +bx+c=0 的两根分别为-3 和 1，结论②正确；③∵抛物线开口向上，与 y 轴交于负半轴，∴a ＞0，c ＜0，∴a-2b+c=a-4a+c=-3a+c ＜0，结论③正确；④∵当 x=1 时，y=0，∴a+b+c=0，结论④正确；⑤∵当 x=2 时，y ＞0，2 2 22∴4a+2b+c=8a+c＞0，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有②③④⑤．故选：D．①由抛物线的对称轴为直线x=-1，可得出b=2a，结论①错误；②由抛物线的对称轴及抛物线与x轴一个交点的坐标，可求出另一交点坐标，进而可得出2ax+bx+c=0的两根分别为-3和1，结论②正确；③由抛物线的开口方向及抛物线与y轴交点的位置可得出a＞0，c＜0，结合b=2a，即可得出a-2b+c=-3a+c ＜0，结论③正确；④由当x=1时y=0，可得出a+b+c=0，结论④正确；⑤由当x=2时y＞0结合b=2a，可得出4a+2b+c=8a+c＞0，结论⑤正确．综上即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点，观察函数图象，逐一分析五个结论的正误是解题的关键．11.【答案】43【解析】解：由sinA=知，可设a=4x，则c=5x，b=3x．∴tanA=．故答案为：．根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答．本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．12.【答案】-π23【解析】解：单项式-π x y 的系数是：-π ，次数是：3．故答案为：-π ，3．直接利用单项式的定义分析得出答案．此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关 键．13.【答案】7 或-1【解析】解：∵x +2（m-3）x+16 是完全平方式，∴2（m-3）x=±2•x•4， 解得：m=7 或-1， 故答案为：7 或-1．根据已知完全平方式得出 2（m-3）x=±2•x•4，求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a +2ab+b 和 a -2ab+b．14.【答案】373【解析】解： -2 +7=4 -2 +7×5 =37 ．故答案为：37．直接化简二次根式进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 15.【答案】m ＞1【解析】解：∵反比例函数 y=（x ＜0）中，函数值 y 随着 x 的增大而减小，∴m-1＞0， ∴m ＞1，故答案为 m ＞1．根据反比例函数的性质，构建不等式即可解决问题．本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化 的思想思考问题，属于中考常考题型．2 2 2 2 22 2 2 216.【答案】y =±（x -4）2-2【解析】解：由题意可得：顶点坐标为（4，-2），且形状与抛物线 y=x +2 相同，它的函数表达式是：y =±（x-4） -2．故答案为：y =±（x-4） -2．直接利用抛物线形状相同，则|a|的值相等，进而结合函数顶点坐标得出答案． 此题主要考查了二次函数的性质，正确得出 a 的值是解题关键．17.【答案】-5 或 3【解析】解：令 x+y=a ，则 a （a+2）=15，∴a +2a-15=0，∴（a+5）（a -3）=0，则 a+5=0 或 a-3=0，解得：a=-5 或 a=3， 即 x+y=-5 或 x+y=3，故答案为：-5 或 3．令 x+y=a ，将原等式变形为 a +2a-15=0，解此一元二次方程可得答案．本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法 则及换元思想的运用．18.【答案】17【解析】解：设阴影部分面积为 x ，根据题意得：m+x=26，n+x=9，∴m-n=17，故答案为：17设阴影部分面积为 x ，根据空白部分面积表示出两个矩形的面积，相减即可求 出所求．此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.【答案】2π【解析】22 2 2 2解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA=90°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，∵OB=OC，∴∠C=∠B=30°，∴∠BOC=120°，∴弧BC的长==2π，故答案为：2π．根据切线的性质得到∠OBA=90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC=120°，根据弧长公式计算即可．本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的计算公式是解题的关键．．20.【答案】25-122015．【解析】解：∵∠MON=45°，∴△C△ B C为等腰直角三角形，∴CB =B C=A B ．1222 22∵正方形A B C A的边长为2，1112∴OA =AA=A B =A C=1．OA=4，OM=OB=33222111=2同理，可得出：OA=A A=A A=n n-1n n-2n-1，∴OA =A A =201820182017，∴A2018M=2-．故答案为2-．探究规律，利用规律即可解决问题；本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：原式=9+2-3-23+6×32+1=12．【解析】122原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】解：（1）∵点E（-4，12）在y=kx 上，∴k=-2，∴反比例函数的解析式为y=-2x，∵F（m，2）在y=−2x 上，∴m=-1．（2）函数y=kx 图象在菱形ABCD内x的取值范围为：-4＜x＜-1或1＜x＜4．【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；本题考查反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】证明：（1）连接OD，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴∠BOD=∠COD=60°，∵OB=OD=OC，∴△BOD和△COD都是等边三角形，∴OB=BD=DC=OC，∴四边形OBDC是菱形；（2）当∠BAC为45度时，四边形OBDC是正方形，理由是：∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∴四边形OBDC是正方形．【解析】（1）连接OD，证明△B OD和△COD都是等边三角形，得OB=BD=DC=OC，所以四边形OBDC是菱形；（2）当∠BAC为45度时，∠BOC=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论．此题考查圆周角定理、角平分线的定义、等边三角形的判定、菱形的判定、正方形的判定，关键是熟知有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形以及菱 形的判定解答．24.【答案】解：（1）∵关于 x 的方程（k +1）x -2（k-1）x +k =0 有两个实数根， ∴k+1△≠0=[−2(k −1)]2−4k(k+1)≥0，解得：k ≤13 且 k ≠-1．（2）∵关于 x 的方程（k +1）x -2（k -1）x +k =0 有两个实数根 x ，x ． ∴x +x =2(k −1)k+1，x x =kk+1． ∵x +x =x x +2，即 2(k −1)k+1=kk+1+2， 解得：k =-4，经检验，k =-4 是原分式方程的解， ∴k =-4． 【解析】（1）根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0△ ，即可得出关于 k 的一元一次不 等式组，解之即可得出 k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系结合 x +x =x x +2，即可得出关于 k 的分式方程，解121 2之经检验后即可得出 k 值．本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0△时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结 合 x +x =x x +2，找出关于 k 的分式方程． 121 225.【答案】解：（1）连接 OC ，∵AC 平分∠EAP ， ∴∠DAC =∠OAC ， ∵OA =OC ，∴∠CAO =∠ACO ， ∴∠DAC =∠ACO ， ∴AE ∥OC ，∴∠E =∠OCP =90°， ∴PE 是⊙O 的切线；（2）∵PB ：PC =1：2， ∴设 PB =x ，PC =2x ，∵OC +PC =OP ，即（52） +（2x ） =（52+x ） ， ∴x =53，∴PC =103，PB =53， ∴AP =203，2 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2∵OC∥AE，∴△PCO△∽PEA，∴OCAE=POAP，∴AE=4．【解析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC=∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，等量代换得到∠DAC=∠ACO，根据平行线的性质得到∠E=∠OCP=90°，于是得到结论；（2）设PB=x，PC=2x，根据勾股定理得到PC=，PB=，求得AP=，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟记切线的判定是解题的关键．26.【答案】2或4【解析】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的，由题意得：PC=2xm，CQ=（6-x）m，则×2x（6-x）=××8×6，解得：x=2或x=4．故经过2秒或4秒△，PCQ的面积为△ACB的面积的；故答案为：2或4；（2）设运动时间为ts△，PCQ与△ACB相似．△当PCQ与△ACB相似时，则有或，所以，或，解得t=，或t=．因此，经过秒或秒△，OCQ与△ACB相似；（3）有可能．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，由勾股定理得AB==10．∵CD 为△ACB 的中线， ∴∠ACD=∠A ，∠B CD=∠B ， 又∵PQ ⊥CD ， ∴∠CPQ=∠B ， ∴△PCQ △∽BCA ，∴解得 y=因此，经过，．，秒，PQ ⊥CD ．（1）分别表示出线段 PC 和线段 CQ 的长后利用 S = S 列出方程求解；（2）设运动时间为 ts △，PCQ 与△ACB 相似，当△PCQ 与△ACB 相似时，可知∠CPQ=∠A 或∠CPQ=∠B ，则有的方程，可求得 t 的值；或 ，分别代入可得到关于 t（3）设运动时间为 ys ，PQ 与 CD 互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性 质得出∠ACD=∠A ，∠BCD=∠B ，再证明△PCQ △∽BCA ， 那么，依此列出比例式 ，解方程即可．本题考查了一元二次方程的 应用，相似三角形的判定与性 质，三角形的面 积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，在（2）中体现了分类 讨论的思想．27.【答案】解：（1）针对于抛物线 y =x +2x-3， 令 x =0，则 y =-3，∴C （0，-3），令 y =0，则 x +2x -3=0， ∴x =-3 或 x =1，∴A （-3，0），B （1，0）， ∴S =12A B ×|y |=6；（2）如图，①点 P 在第三象限时，∵抛物线 y=x +2x -3 的对称轴为直线 x =-1， ∴AQ =2过点 P 作 PG ⊥DM 于 G ， ∴∠PGM =∠MQA =90°，△PCQ △ABC2 2 △ABC C 2∴∠MPG +∠PMG =90°， ∵∠AMP =90°，∴∠PMG +∠AMQ =90°， ∴∠MPG =∠AMQ ， △在PGM 和△MQA 中，∠PGM=∠MQA=90°∠MPG=∠AMQMP=MA ， ∴△PGM ≌△M QA （AAS ）， ∴MG =AQ =2，PG =QM ，设 M （-1，m ）（m ＜0）， ∴QM =-m ，∴PG =-m ，QG =QM +MG =2-m ， ∴P （m -1，m -2），∵点 P 在抛物线 y =x +2x -3 上， ∴（m -1）+2（m -1）-3=m -2， ∴m -1=-2 或 m -1=1（舍）， ∴P （-2，-3）．②当点 P 在第二象限时，同①的方法得，P （-4，5）；（3）∵抛物线 y =x +2x -3=（x +1） -4， ∴D （-1，4）， ∵C （0，-3），∴直线 CD 的解析式为 y =x -3，如图 1，作直线 EG ∥CD 交 y 轴于 E ，交 x 轴于 G ， 设直线 EG 的解析式为 y =x +b ①，∵抛物线上只有三个点到直线 CD 的距离为 m ， ∴在直线 CD 下方的抛物线上只有一个点到直线 CD 的距离为 m ，即直线 EG 与抛物线 y =x +2x -3②只有一个交点， 联立①②得，x +2x -3=x +b ， ∴x +x -3-b =0，∴△=1+4（b+3）=0， ∴b =-134，∴直线 EG 的解析式为 y =x -134， ∴E （0，-134）， ∴OE =134，∵直线 CD 的解析式为 y =x -3， ∴H （3，0）， ∴OH =3，OC =3，∴CH =32，CE =134-3=14，直线过点 E 作 EF ⊥CD 于 F ， ∴∠CFE =∠COH ， ∵∠ECF =∠HCO ， ∴△CFE △∽COH ， ∴EFOH=CECH ， ∴EF3=1432， ∴EF=28， 即：m =28． 【解析】2 2 2 2 2 2 2（1）先求出点A，B，C坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）①当点P在第三象限时，先作出图形，再构造出全等三角形，设出点M的坐标，进而表示出点P坐标，即可得出结论，当点P在第二象限时，同①的方法即可得出结论；（3）先判断出直线CD下方的抛物线上只有一个点到直线CD的距离为m，再∽COH，求出直线CD解析式，进而求出直线EG的解析式，最后判断出△CFE△即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．。
广东省深圳实验学校初中部2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
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A．
B．
C．
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D．
9．当 b c 5 时，关于 x 的一元二次方程 3x2 bx c 0 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
10．如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 上的点， DE 交 AC 于 M， AF 交 BD
y
6 x
的图象上，则
y1
y2（填“ ”或“ ”）．
13．若 a、b 是一元二次方程 x2 3x 1 0 的两个实数根，则代数式 a b ab 的值为．
14．如图，直角三角形纸片 ABC 中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4m，点 D，E 分别在
边 AC，AB 上，点 F 是边 BC 的中点．现将该纸片沿 DE 折叠，使点 A 与点 F 重合，
则 AE＝cm．
15．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 y 3 和 y n 的图象的四个分支上，
x
x
则 n 的值=．
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三、解答题 16．（1）解方程： 2x2 x 2 0
（2）解不等式组：
x 3 2x
2x 5 1
17．先化简，再求值：2Βιβλιοθήκη x2xx 2
4x x2
4
，其中
x
1．
18．某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分优秀，良好，合格，不合格四
个等级（分别用 A，B，C，D 表示），现从中随机抽取若干名学生的“综合素质”的等级
2021-2022学年浙江省杭州市滨江区滨兰实验学校初三数学第一学期期中试卷及解析
2021-2022学年浙江省杭州市滨江区滨兰实验学校初三数学第一学期期中试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）抛物线2(1)2y x =+-的顶点坐标为( ) A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1,2)--D ．(1,2)-2．（3分）如图，点A 、B 、C 在O 上，40ACB ∠=︒，弧AB 的度数为( )A ．80︒B ．40︒C ．20︒D ．60︒3．（3分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到△A B C ''，点B 的对应点B '在边AC 上（不与点A ，C 重合），则AA B ''∠的度数为( )A ．αB ．45α-︒C ．45α︒-D ．90α︒-4．（3分）如果将抛物线22(1)y x =-向左平移2个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式是( )A ．22(3)2y x =--B ．22(3)2y x =-+C ．22(1)2y x =+-D ．22(1)2y x =++5．（3分）若点1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(3,)C y 在抛物线228y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．321y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<6．（3分）下列语句中，正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax b =+的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．8．（3分）如图，已知抛物线2y ax bx c =++开口向上，与x 轴的一个交点为(1,0)-，对称轴为直线1x =．下列结论正确的是( )A ．0abc <B ．24b ac <C ．20a b -=D ．22()0a c b +-=9．（3分）如图，将半径为8的O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为( )A ．215B ．415C ．8D ．1010．（3分）在平面直角坐标系中，已知m n ≠，函数2()y x m n x mn =+++的图象与x 轴有a 个交点，函数2()1y mnx m n x =+++的图象与x 轴有b 个交点，则a 与b 的数量关系是( ) A ．a b =B ．1a b =-C ．a b =或1a b =+D ．a b =或1a b =-二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）四边形ABCD 内接于O ，80A ∠=︒，则C ∠= ．12．（4分）已知一个二次函数的图象形状与抛物线24y x =相同，且顶点坐标为(2,3)，则这个二次函数的解析式为 ．13．（4分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥．已知AB 长为80m ，圆周角45C ∠=︒．则这个人工湖的直径为 ．14．（4分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．水面下降2.5m ，水面宽度增加m ．15．（4分）如图，AB 是O 的直径，C 是BD 的中点，若6AD =，O 的半径为5，则BC 的长为 ．16．（4分）已知实数x 、y 满足2245x x y -+=，则2x y +的最大值为 ．三、解答题（17题6分，18题，19题每题8分，20题，21题每题10分，22题，23题每题12分） 17．（6分）已知二次函数23y ax bx =++的图象经过点(3,0)-，(2,5)-． （1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点(2,3)P -是否在这个二次函数的图象上？18．（8分）（1）尺规作图：作ABC ∆的外接圆O （保留作图痕迹，不写画法）． （2）若60A ∠=︒，O 的半径为1，求BC 的长．19．（8分）已知二次函数2246y x x =-++．（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴和与x 轴的交点的坐标．（2）自变量x 在什么范围内，y 随x 的增大而增大？在什么范围内，y 随x 的增大而减小？20．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米． （1）若苗圃园的面积为72平方米，求x ；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．21．（10分）已知如图，ABC ∆内接于O ，AE 为直径，AD BC ⊥于点D ，EF BC ⊥于点F ． （1）求证：DAC BAE ∠=∠；（2）当点C 是AE 的中点时，求证：FC AD =．22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数2(y x ax b a =-++，b 为常数，且0)b ≠． （1）若该函数的对称轴为直线3x =，且图象经过点(0,2)，求该函数的表达式；（2）若(0)r r ≠是关于x 的方程210bx ax +-=的根，求证：二次函数2y x ax b =-++的图象经过点1(r，0)；（3）若该二次函数的最大值为a ，求b 的取值范围．23．（12分）如图1，圆O 的两条弦AC 、BD 交于点E ，两条弦所成的锐角或者直角记为α∠ （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： AB 的度数 30.2︒ 40.4︒ 50.0︒ 61.6︒ CD 的度数55.7︒60.4︒80.2︒100.3︒α∠的度数 43.0︒ 50.2︒ 65.0︒ 81.0︒猜想：AB 、CD 、α∠的度数之间的等量关系，并说明理由．（2）如图2，若60α∠=︒，2AB =，1CD =，将AB 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落在圆O 上的点，连接CG ．①求弦CG的长；②求圆O的半径．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．【解答】解：抛物线2(1)2y x =+-，∴抛物线2(1)2y x =+-的顶点坐标为：(1,2)--，故选：C ．2．【解答】解：40ACB ∠=︒， 280AOB ACB ∴∠=∠=︒，∴弧AB 的度数为80︒，故选：A ．3．【解答】解：将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到△A B C ''， AC A C '∴=，BAC CA B ''∠=∠，90ACA '∠=︒， ACA '∴∆是等腰直角三角形， 45CA A '∴∠=︒， BAC α∠=， CA B α''∴∠=， 45AA B α''∴∠=︒-．故选：C ．4．【解答】解：抛物线22(1)y x =-的顶点坐标为(1,0)，向左平移2个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为(1,2)--， 所以，平移后的抛物线的解析式为22(1)2y x =+-， 故选：C ．5．【解答】解：抛物线228y x x c =-++中20a =-<，∴抛物线开口向下，对称轴为直线822(2)x =-=⨯-，点1(1,)A y -的对称点为1(5,)y ，又532>>，即A 、B 、C 三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小． 132y y y ∴<<，故选：C ．6．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中． ②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等． ③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧． ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确． 故选：A ．7．【解答】解：A 、由一次函数y ax b =+的图象可得：0a >，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向上，故A 错误；B 、由一次函数y ax b =+的图象可得：0a <，0b >，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B 正确；C 、由一次函数y ax b =+的图象可得：0a <，0b <，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，故C 错误；D 、由一次函数y ax b =+的图象可得：0a <，0b >，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，故D 错误； 故选：B ．8．【解答】解：抛物线开口向上， 0a ∴>，抛物线与y 轴交点在负半轴， 0c ∴<，对称轴为12bx a=-=， 20b a ∴=-<， 0abc ∴>，故A 选项错误；抛物线与x 轴有两个交点，∴△240b ac =->，24b ac ∴>，故B 选项错误；抛物线的对称轴为1x =，12ba∴-=， 20a b ∴+=，故C 选项错误；1x =-时，0y a b c =-+=，1x =时，0y a b c =++>，22()()()0a c b a b c a b c ∴+-=++-+=， 故D 选项正确； 故选：D ．9．【解答】解：延长CO 交AB 于E 点，连接OB ， 弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，E ∴为AB 的中点，CE AB ⊥，由题意可得4CD =，4OD =，8OB =， 11(824)12622DE =⨯⨯-=⨯=，642OE =-=，在Rt OEB ∆中，根据勾股定理可得：222OE BE OB +=， 代入可求得215BE =， 415AB ∴=．故选：B ．10．【解答】解：函数2()y x m n x mn =+++的图象与x 轴有a 个交点，m n ≠，22()4()0m n mn m n ∴+-=->， 2a ∴=；函数2()1y mnx m n x =+++的图象与x 轴有b 个交点，m n ≠，∴当0mn =时，该函数为()1y m n x =++与x 轴有一个交点，1b ∴=；当0mn ≠时，22()4()0m n mn m n +-=->， 2b ∴=；由上可得，1a b =+或a b =， 故选：C ．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．【解答】解：四边形ABCD 内接于O ，80A ∠=︒， 180100C A ∴∠=︒-∠=︒．故答案为：100︒．12．【解答】解：图象顶点坐标为(2,3)， 可以设函数解析式是2(2)3y a x =-+，又形状与抛物线24y x =相同，即二次项系数绝对值相同， ||4a ∴=，∴这个函数解析式是：24(2)3y x =-+或24(2)3y x =--+，故答案为：24(2)3y x =-+或24(2)3y x =--+． 13．【解答】解：连接AO 并延长交O 于D ，连接BD ，AD 是直径，90ABD ∴∠=︒， 45D ACB ∠=∠=︒，802()sin 45ABAD m ∴==︒．即这个人工湖的直径为802m ．故答案为：802m ．14．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，可求出OA 和OB 为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为(0,2)，通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标(2,0)-， 到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 2.5y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 2.5y =-与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把 2.5y =-代入抛物线解析式得出： 22.50.52x -=-+，解得：3x =±，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了642-=米， 故答案为：2．15．【解答】解：连接OC 交BD 于G ，如图所示：AB 是O 的直径，210AB OC ==，90ADB ∴∠=︒，22221068BD AB AD ∴=-=-=， C 是弧BD 的中点，OC BD ∴⊥，142DG BG BD ===， OA OB =，OG ∴是ABD ∆的中位线，132OG AD ∴==， 532CG OC OG ∴=-=-=，在Rt BCG ∆中，由勾股定理得：222425BC =+=． 故答案为：25．16．【解答】解：实数x 、y 满足2245x x y -+=2524x x y -+∴= 225215222422x x x y x x x -+∴+=+⨯=-++ ∴最大值为2154()2922124()2⨯-⨯-=⨯-． 三、解答题（17题6分，18题，19题每题8分，20题，21题每题10分，22题，23题每题12分）17．【解答】解：（1）由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩， 解得，12a b =-⎧⎨=-⎩， 则二次函数的解析式为223y x x =--+；（2）当2x =-时，2(2)2(2)33y =---⨯-+=，∴点(2,3)P -在这个二次函数的图象上．18．【解答】解：（1）如图，O 即为所求．（2）设MN 交BC 于点E ，连接OC ．2120BOC A ∠=∠=︒，OE BC ⊥，EC EB ∴=，OB OC =，60EOB EOC ∴∠=∠=︒，3sin 602BE OB ∴=⋅︒=， 23BC BE ∴==．19．【解答】解：（1）222462(1)8y x x x =-++=--+，第12页（共15页）∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,8)， 取0y =，则22(1)80x --+=，解得1x =-或3x =，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0)-和(3,0)；（2）抛物线的二次项系数小于0， ∴抛物线的开口向下， 又抛物线的对称轴为直线1x =，∴当1x >时，y 随着x 的增大而减小， 当1x <时，y 随着x 的增大而增大．20．【解答】解：（1）根据题意得：(302)72x x -=， 解得：3x =或12x =，30218x -，6x ∴，12x ∴=；（2）设苗圃园的面积为y ，2215225(302)2302()22y x x x x x ∴=-=-+=--+， 20a =-<，∴苗圃园的面积y 有最大值，∴当152x =时，即平行于墙的一边长158>米，112.5y =最大平方米； 611x ，∴当11x =时，88y =最小平方米．21．【解答】证明：（1）连接BE ， AE 为O 的直径，90ABE ∴∠=︒，90AEB BAE ∴∠+∠=︒，AD BC ⊥，90ACB DAC ∴∠+∠=︒，由圆周角定理得：AEB ACB ∠=∠，DAC BAE ∴∠=∠；（2）连接CE ，点C 是AE 的中点，∴AC EC =，AC CE ∴=，DAC BAE ∠=∠，FCE BAE ∠=∠，DAC FCE ∴∠=∠，在CFE ∆和ADC ∆中，90FCE DAC CFE ADC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()CFE ADC AAS ∴∆≅∆，FC AD ∴=．22．【解答】（1）解：函数的对称轴为直线3x =， ∴32a =， 6a ∴=，图象经过点(0,2)，2b ∴=，∴函数的表达式为262y x x =-++．（2）证明：(0)r r ≠是关于x 的方程210bx ax +-=的根， 210br ar ∴+-=对2y x ax b =-++，当1x r=时，222111()0br ar y a b r r r +-=-++==， ∴二次函数2y x ax b =-++的图象经过点1(r ，0)． （3）解：2y x ax b =-++的二次项系数为负数，第14页（共15页）2y x ax b ∴=-++的图象开口向下，224444b a a b y a --+∴===-最大值， 化简得，2211(2)144b a a a =-+=--+， 2(2)0a -，21(2)04a ∴--， 21(2)114a ∴--+，b ∴的取值范围为1b ．23．【解答】解：（1）1(2AB α∠=的度数CD +的度数）． 理由如下：连接BC ，如图1，B C α∠=∠+∠， 而12B CD ∠=的度数，12C AB ∠=的度数， 1(2AB α∴∠=的度数CD +的度数）； （2）①连接OG 、OC 、AG ，作OH CG ⊥于H ，GF CD ⊥于F ，如图2， 将AB 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落在圆O 上的点G ， ∴AB GD =，2AB DG ==，由（1）得AB 的度数CD +的度数2120α=∠=︒， DG 的度数CD +的度数2120α=∠=︒， 即CG 的度数为120︒，120COG ∴∠=︒，60CAG ∴∠=︒，而180CAG CDG ∠+∠=︒，120CDG ∴∠=︒，60GDF ∴∠=︒，在Rt GDF ∆中，112DF DG ==，GF == 在Rt CFG ∆中，CG =②OH CG ⊥， 1722CH GH CG ∴===， 1(180120)302OGH ∠=︒-︒=︒， 337213326OH GH ∴==⨯=， 2123OG OH ∴==，即圆O 的半径为213．。
广东省佛山市顺德区乐从第一实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷
广东省佛山市顺德区乐从第一实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若m 是一元二次方程2410x x --=的根，则代数式24m m -的值为（）A ．1B ．-1C ．2D ．-222．如图所示，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C'处，折痕为EF ，若20ABE ∠=︒，那么EFC ∠的度数为（）A ．115︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒3．某初中毕业班的第一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张照片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（）A ．()12550x x +=B ．()12550x x -=C ．()212550x x +=D ．()125502x x -=⨯4．如图，在ΔA 中，12,AB AC AD BC ==⊥于点D ，点E 在AD 上，且2DE AE =，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 长为（）A ．4B ．3C ．2.4D ．2.85．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”B ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C ．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球D ．洗匀后的1张红桃，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃6．下列说法正确的是()A ．对角线相等的平行四边形是菱形B ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C ．等边三角形都是相似三角形D ．矩形都是相似图形7．如图所示，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上.已知胶片与屏幕平行，A 点为光源，与胶片BC 的距离为0.1米，胶片的高BC 为0.038米，若需要投影后的图像DE 高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为()A ．6米B ．5米C ．4米D ．3米8．如图，在菱形ABCD 中，4cm AB =，120ADC ∠=︒，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm /s ，点F 的速度为2cm /s ，经过t 秒DEF 为等边三角形，则t 的值为（）A ．1B ．13C ．12D ．439．.以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x 2-13x +40=0的根，则这个三角形的周长为（）A ．15或12B ．12C ．15D ．以上都不对10．如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为()A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：611．如图，在ABC V 中、90C ∠=︒，4AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE CF =，连接DE 、DF 、EF ，在此运动变化的过程中，有下列结论：①DFE △是等腰直角三角形，②四边形CEDF 不可能为正方形；③四边形CEDF 的面积随点E 位置的发改变而发生变化；④点C 到线段EF 的大距离为．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．已知75ab =，则a b b -=．13．某电冰箱厂4月份的产量为1000台，由于市场需求量不断增大，6月份的产量提高到1210台，则该厂电冰箱产量从4月份到6月份的月平均增长率为．14．已知线段AB 的长度为12cm ，点P 为线段AB 的黄金分割点，则线段AP 的长是cm ．15．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，16cm BC =，12cm AC =，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度向点C 移动，同时点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度向点A 移动，设运动时间为t 秒，当t =秒时，CPQ 与ABC V 相似．16．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点1B 在y 轴上且坐标是0,2，点1122343,,,,,,C E E C E E C 在x 轴上，1C 的坐标是1,0，112233B C B C B C ∥∥，以此继续下去，则点2024A 到x 轴距离是．三、解答题17．解方程(1)22320x x --=；(2)()()3112x x -+=．18．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，4，小明先从布袋中随机摸出一个乒乓球，不放回去，再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球．（1）求小明第一次摸出的乒乓球所标数字是偶数的概率；（2）请用树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率．19．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了减少库存，商场决定采取适当的降价措施，但每件商品盈利不得低于32元，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件．问每件商品降价多少元时，商场每天盈利可达2100元？20．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．21．▱ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上，∠EAF ＝∠B ＝60°，AD ＝nAB ．（1）当n ＝1时，求证：△AEF 为等边三角形；（2）当n ＝12时，求证：∠AFE ＝90°；（3）当CE ＝CF ，DF ＝4，BE ＝3时，直接写出线段EF 的长为．22．如图1，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，30OAB ∠=︒，点C 在线段OB 上，2OC BC =，AO 边上的一点D 满足30OCD ∠=︒．将OCD 绕点O 逆时针旋转α度()90180α︒<<︒得到OC D '' ，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D ¢，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．(1)如图2，C D AB ''∥时，α=______°，此时OM 和BD '之间的位置关系为______；(2)画图探究线段OM 和BD '之间的关系，并加以证明．。
2019-2020学年广东省深圳实验学校初中部九年级(上)期中数学试卷(解析版)
．
故选：B．
【点评】此题考查的是锐角三角函数的定义，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键． 5．（3 分）如图是 12 个大小相同的小正方形，其中 5 个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这 12 个小
正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【分析】用涂上阴影的小正方形的个数除以所有小正方形的个数即可求得概率．
，
궸
궸
∴
．
궸
又∵∠BQP＝∠A，
∴△AEB∽△QBP．
故④正确． 由 DC＝8，可知点 F（22，0）
设 NF 的解析式为 y＝kx+b．
将 N、F 的坐标代入得：
䁣
，
䁣
解得：k＝﹣5，b＝110．
∴NF 所在直线解析式为 y＝﹣5x+110．
故⑤错误． 故选：B．
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【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点 P 到达点 E 用 了 10s，点 Q 到达点 C 用了 5s 是解题的关键，也是本题的突破口 二、填空题（每题 3 分，共 12 分） 11．（3 分）因式分解：2x2﹣18＝ 2（x+3）（x﹣3） ． 【分析】先提公因式，再运用平方差公式分解． 【解答】解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3）， 故答案为：2（x+3）（x﹣3）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用 其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．（3 分）截止 2019 年 10 月 29 日，电影《中国机长》的累计票房达到大约 2900000000 元，数据 2900000000 用科学记数法表示为 2.9×109 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数 变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数； 当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：2900000000＝2.9×109， 故答案为：2.9×109． 【点评】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a× 10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
广东省深圳市深圳实验学校初中部2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(解析版)
深圳实验学校初中部2022-2023学年第一学期九年级期中考试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1.在12,2−中，是无理数的是（）A. 2−B. 12C. D. 2 【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义判断即可；【详解】解：∵-2，12，2是无理数，故选：C．【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．2. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 科克曲线B. 笛卡尔心形线C. 阿基米德螺旋线D. 赵爽弦图【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3. 下列运算中，正确的是（）A. 3a2 +2a2 =5a4 B. a9÷a3=a3 C. D. （﹣3x2）3=﹣27x6【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 3a2 +2a2 =5 a 2，故该选项不正确，不符合题意；B. a9÷a3=a6，故该选项不正确，不符合题意；C. ≠D. （﹣3x2）3=﹣27x6，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，二次根式的加法，积的乘方运算，正确的计算是解题的关键．4. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数kyx=和3y kx=+的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】解：A、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；B、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；C、由函数y=kx的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；D、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．5. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( )A. 30（1+x ）2＝50B. 30（1﹣x ）2＝50C. 30（1+x 2）＝50D. 30（1﹣x 2）＝50【答案】A【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到()230150x +=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，230(1)50x +=，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．6. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC =，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】 【分析】根据CD OB ∥得出AC CD AO OB=，根据:1:2AC OC =，得出13AC AO =，根据C 、D 两点纵坐标分别为1、3，得出6OB =，即可得出答案．【详解】解：∵CD OB ∥， ∴AC CD AO OB=， ∵:1:2AC OC =，∴13AC AO =， ∵C 、D 两点纵坐标分别为1、3，∴312CD =−=， ∴213OB =， 解得：6OB =，∴B 点的纵坐标为6，故C 正确．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了平行线性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出13AC CD AO OB ==，是解题的关键．7. 如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD △的周长为（ ）A. 25B. 22C. 19D. 18【答案】C【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD ＝CD ，由△ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD ＝AB ＋AD ＋CD ＝AB ＋AC 得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，DE 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵7AB =，12AC =，∴ △ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD的＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．8. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A. AB=BEB. BE⊥DCC. ∠ADB=90°D. CE⊥DE【答案】B【解析】【分析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A.∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；C.∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D.∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE 为矩形，故本选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键．9. 一次函数y =mx +n 的图像与反比例函数y =m x 的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （-1m ，-2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积（ ）A. 3B. 134C. 72D. 154 【答案】D【解析】【分析】将点A 的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB 与y 轴交点D 的坐标，确定OD 的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．【详解】解：∵A （-1m ，-2m ）在反比例函数y =m x 的图像上， ∴m =(-1m ) • ( -2m )=2， ∴反比例函数的解析式为y =2x ， ∴B （2，1），A （-12，-4）， 把B （2，1）代入y =2x +n 得1=2×2+n ，∴n =-3，∴直线AB 的解析式为y =2x -3，直线AB 与y 轴的交点D （0，-3），∴OD =3，∴S △AOB =S △BOD +S △AOD =12×3×2+12×3×12 =154． 故选：D ．．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点E 是x 轴上一点，连接AE ．若AD 平分OAE ∠，反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过AE 上的两点A ，F ，且AF EF =，ABE 的面积为18，则k 的值为（ ）A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】B【解析】 【分析】先证明OB ∥AE ，得出S △ABE =S △OAE =18，设A 的坐标为（a ，k a），求出F 点的坐标和E 点的坐标，可得S △OAE =12×3a ×k a =18，求解即可． 【详解】解：如图，连接BD ，∵四边形ABCD 为矩形，O 为对角线，∴AO=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，又∵AD 为∠DAE 的平分线，∴∠OAD=∠EAD ，∴∠EAD=∠ODA ，∴OB ∥AE ，∵S △ABE =18，∴S △OAE =18，设A 的坐标为（a ，k a ）， ∵AF=EF ，∴F 点的纵坐标为2k a， 代入反比例函数解析式可得F 点的坐标为（2a ，2k a ）， ∴E 点的坐标为（3a ，0），S △OAE =12×3a ×k a=18， 解得k=12，故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出S △ABE =S △OAE =18是解题关键．二、填空题（每题3分，共15分）11. 因式分解：a 2﹣3a=_______．【答案】a （a ﹣3）【解析】【分析】直接把公因式a 提出来即可．【详解】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．12. 设x 1，x 2是一元二次方程2230x x +−=的两个实数根，则1212x x x x +−的值为 ___________．【答案】1【解析】【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：∵x 1，x 2是一元二次方程2230x x +−=的两个实数根，∴122x x +=−，123x x =−， 则原式()31232−=−−+−==． 故答案为：1．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．13. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程1103x −=是关于x 的不等式组2220x n n x −≤ −<的关联方程，则n 的取值范围是 ___________． 【答案】13n ≤<【解析】【分析】解一元一次方程得出方程的解3x =，代入不等式组可得答案． 【详解】解：解方程1103x −=得3x =， ∵3x =为不等式组2220x n n x −≤ −< 的解， ∴1260n n ≤ −≤，解得13n ≤<， 即n 的取值范围为：13n ≤<，故答案为：13n ≤<．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．14. 如图，已知直线1y k x =与双曲线1k y x =交于A ，B 两点，将线段AB 绕点A 沿顺时针方向旋转60°后，点B 落在点C 处，双曲线2k y x =经过点C ，则12k k 的值是_____．【答案】13−【解析】【分析】连接OC 、BC ，作BM ⊥x 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，根据旋转的性质得到△ABC 是等边三角形，根据反比例函数和正比例函数的对称性得出OA =OB ，即可得出CO ⊥AB ，证得△BOM ∽△OCN ，得到21()3BOM CON S OB S OC ∆∆==，根据反比例函数系数k 的几何意义即可求解． 【详解】解：连接OC 、BC ，作BM ⊥x 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，∵AB =AC ，∠BAC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∵直线1y k x =与双曲线1k y x =交于A ，B 两点， ∴OA =OB ，∴CO ⊥AB ，∠BCO =12∠ACB =30°，∴tan 30OB OC °== ∵∠BOC =90°，∴∠BOM +∠CON =90°，∵∠BOM +∠MBO =90°， ∴∠CON =∠MBO ， ∵∠BMO =∠ONC =90°， ∴△BOM ∽△OCN ，∴21()3BOM CON S OB S OC ∆∆==，∵1111||22BOM S k k ∆==−，2211||22CON S k k ∆==， ∴12112132k k −=， ∴1213k k =−， 故答案为：13−．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了旋转的性质，反比例函数与正比例函数的对称性，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k 的几何意义，证得21()3BOMCONSOB S OC∆∆==是解题的关键． 15. 如图，将矩形ABCD 沿着GE 、E C 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．则OCOF的值是___________．【答案】 【解析】【分析】根据轴对称和矩形的性质，得90FGE ∠=°，90GEC ∠=°，90COF ∠=°；设2AD a =，2AB b =，根据勾股定理和一元一次方程的性质计算，得OF =，从而完成求解. 【详解】由折叠性质可得：DG OG AG ==，AE OE BE ==，OC BC =，DGF FGO ∠=∠，AGE OGE ∠=∠，AEG OEG ∠=∠，OEC BEC ∠=∠，90FOG D ∠=∠=°∴90FGE FGO OGE ∠=∠+∠=°，90GEC OEG OEC ∠=∠+∠=°，18090COF FOG ∠=°−∠=°设2AD a =，2AB b =，则DG OG AG a ===，AE OE BE b ===， ∴33CG OG OC OG BC OG a =+=+==在直角CGE 中，222CG GE CE =+，∴()()222223+++2a a b b a =∴b =在直角COF 中，设OF DF x ==，则2CF b x x =−=− ∴()()2222x a x +=−解得：x =∴OF =∵32OC CG OG a a a =−=−=∴OC OF=故答案为：【点睛】本题考查了矩形、轴对称、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形、勾股定理的性质，从而完成求解.三、解答题（共55分）16. 计算：（3.14﹣π）0﹣1|+（12）﹣1【答案】【解析】【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【详解】解：（3.14﹣π）0﹣1|+（12）﹣1．【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．17. 先化简，再求值：（2x x −﹣1）÷22444x x x −−+，其中x ＝﹣4． 【答案】2,12x −+ 【解析】【分析】先将能够分子分母因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x 的值带去即可．【详解】原式＝2(2)(2)2(2)(2)x x x x x x −−−−−+ ＝2222x x x −−+ ＝22x + 当x ＝﹣4时， 原式＝242−+＝﹣1．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的运算法则将分式进行约分化简是解题的关键．18. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的样本容量是，圆心角β＝度；（2）补全条形统计图；（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．【答案】（1）50，144；（2）见解析（3）480（4）1 6【解析】【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】（1）本次调查的样本容量是：10÷20%=50，则圆心角β=360°×2050= 144°，故答案为：50，144；【小问2详解】成绩优秀的人数为：50-2-10-20=18(人)，补全条形统计图如下：【小问3详解】1200×2050480=（人） 答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人； 【小问4详解】 画树状图如下，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A ，C 两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A ，C 两人同时参赛的概率为21=126【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19. 如图，在矩形ABCD 中，8,4AB AD ==，点E 是DC 边上的任一点（不包括端点D ，C ），过点A作AF AE ⊥交CB 的延长线于点F ，设DE a =．（1）求BF 的长（用含a 的代数式表示）；（2）连接EF 交AB 于点G ，连接GC ，当//GC AE 时，求证：四边形AGCE 是菱形． 【答案】（1）2BF a = （2）见详解 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得90BAD ABC D ∠=∠=∠=°，然后可证ADE ABF ∽，进而根据相似三角形的性质可求解；（2）如图，连接AC ，由题意易证四边形AGCE 是平行四边形，然后可得12BCBG AB BF ==，进而可证ABC FBG ∽，则可证AC GE ⊥，最后问题可求证．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 矩形，是∴90BAD ABC D ∠=∠=∠=°， ∵AF AE ⊥，∴90FAB BAE BAE EAD ∠+∠=∠+∠=°， ∴FAB EAD ∠=∠， ∵90ABF D ∠=∠=°， ∴ADE ABF ∽， ∴=AD DEAB BF， ∵8,4AB AD ==，DE a =， ∴2DE ABBFa AD⋅==； 【小问2详解】证明：由题意可得如图所示：连接AC ，在矩形ABCD 中，//AB CD ，4,8,90AD BC AB CD ABC ====∠=°， ∴90ABC FBG ∠=∠=°， ∵//GC AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形， ∴AG CE =， ∴BG DE a ==， ∵2BF a =， ∴122GBa BF a ==，∵12BC AB =， ∴12BC BG AB BF ==， ∵90ABC FBG ∠=∠=°， ∴ABC FBG ∽， ∴FGB ACB ∠=∠， ∵90GFB FGB ∠+∠=°， ∴90GFB ACB ∠+∠=°， ∴AC GE ⊥，∴四边形AGCE 是菱形．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．20. 某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10吨，且A 型机器人每天搬运540吨货物与B 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．（1）求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A 型机器人售价1.2万元，每台B 型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元． 请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A 型机器人m 台，购买总金额为w 万元，请写出w 与m 的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】（1）每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨． （2）①0.860w m =−+；②当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元． 【解析】【分析】（1）设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）①由题意可得购买B 型机器人的台数为()30m −台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得()901003028300.86048m m m +−≥−+≤，然后可得1517m ≤≤，进而根据一次函数的性质可进行求解．【小问1详解】解：设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，由题意得：54060010x x =+， 解得：90x =；经检验：90x =是原方程的解；答：每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨． 【小问2详解】解：①由题意可得：购买B 型机器人的台数为()30m −台， ∴()1.22300.860w m m m =+-=-+；②由题意得：()901003028300.86048m m m +−≥−+≤，解得：1517m ≤≤， ∵-0.8＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =17时，w 有最小值，即为0.8176046.4w =−×+=，答：当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．21. 如图①，在矩形OABC 中，OA ＝4，OC ＝3，分别以OC 、OA 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的坐标系，连接OB ，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过线段OB 的中点D ，并与矩形的两边交于点E 和点F ，直线l ：y ＝kx +b 经过点E 和点F ．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤kx的解集：．（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN的最小值．【答案】（1）y＝3x；（2）S△OEF＝458；（3）0＜x＜34或x＞3．（4）HNON最小值为4．【解析】【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△EFB计算即可．（3）写出在第一象限，直线的图象在反比例函数的图象的下方的自变量x的取值范围即可．（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠NOD=，推出NJ=ON•sin∠，推出，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+55ON的值最小，最小值=HK的长，由此即可解决问题．【详解】解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，∴B（3，4），∵OD＝DB，∴D（32，2），∵y＝kx经过D（32，2），∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝3 x．（2）如图①中，连接OE，OF．的由题意E （34，4），F （3，1）， ∴S △OEF ＝S 矩形ABCO ﹣S △AOE ﹣S △OCF ﹣S △EFB ＝12﹣12×4×34﹣12×3×1﹣12×3×（3﹣34） ＝458． （3）观察图象可知：在第一象限内，关于x 的不等式kx +b ≤k x的解集为：0＜x ＜34或x ＞3．故答案为0＜x ＜34或x ＞3． （4）如图②中，作NJ ⊥BD 于J ．HK ⊥BD 于K ．由题意OB ＝OH ＝5， ∴CH ＝OH ﹣OC ＝5﹣3＝2，∴BH ＝2∴sin ∠CBH ＝CH BH∵OM ⊥BH ，∴∠OMH ＝∠BCH ＝90°，∵∠MOH +∠OHM ＝90°，∠CBH +∠CHB ＝90°，∴∠MOH ＝∠CBH ，∵OB ＝OH ，OM ⊥BH ，∴∠MOB ＝∠MOH ＝∠CBH ，∴sin ∠NOD ＝5，∴NJ ＝ON •sin ∠NOD ON ，∴NH ＝NH +NJ ，根据垂线段最短可知，当J ，N ，H 共线，且与HK 重合时，HN ON 的值最小，最小值＝HK 的长， ∵OB ＝OH ，BC ⊥OH ，HK ⊥OB ，∴HK ＝BC ＝4，∴HN +55ON 是最小值为4． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题．22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是,AB AD 上的两点，连接,,DE CF DE CF ⊥，则DE CF的值为___________； （2）如图2，在矩形ABCD 中，7,4AD CD ==，点E 是AD 上的一点，连接,,CE BD 且CE BD ⊥，则CE BD的值为___________； 【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=°，点E 为AB 上一点，连接DE ，过点C 作DE 的垂线交ED 的延长线于点G ，交AD 的延长线于点F ，求证：DE AB CF AD = ；【拓展延伸】（4）如图4，在Rt ABD 中，190,9,tan 3BAD AD ADB ∠=°=∠=，将ABD △ 沿BD 翻折，点A 落在点C 处得CBD △，点E ，F 分别在边,AB AD 上，连接,,DE CF DE CF ⊥． ①求DE CF的值； ②连接BF ，若1AE =，直接写出BF 的长度．【答案】（1）1 （2）47（3）见解析 （4）①53【解析】【分析】（1）证明AED DFC ∽，根据全等三角形性质得到DE CF =，得到答案；（2）证明DEC ABD ∽，根据相似三角形的性质计算即可；（3）过点C 作CH AF ⊥交AF 的延长线于点H ，证明DEA CFH ∽，列出比例式，证明结论； （4）①过点C 作CG AD ⊥于点G ，连接AC 交BD 于点H ，CG 与DE 相交于点O ，根据正切的定义得到13AH DH =，②根据勾股定理分别求出,AH DH ，根据三角形的面积公式求出CG ，再计算即可． 【小问1详解】解：如图1，设DE 与CF 交于点G ，的∵四边形ABCD 是正方形，∴90,A FDC AD CD ∠=∠=°=， ∵,DE CF ⊥∴90DGF ∠=°，∴90ADE CFD ADE AED ∠+∠=°=∠+∠，∴,CFD AED ∠=∠ 在AED △和DFC △中，,A FDC CFD AED AD CD ∠=∠ ∠=∠ =∴(AAS),AED DFC ≌∴DE CF =， ∴1DE CF=； 小问2详解】解：如图2，设BD 与CE 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90,A EDC ∠=∠=° ∵,CE BD ⊥【∴90DGC ∠=°，∴90,90,CDG ECDADB CDG ∠+∠=°∠+∠=° ∴ECD ADB ∠=∠，∵CDE A ∠=∠，∴DEC ABD ∽， ∴47CEDC BD AD ==， 故答案为：47． 【小问3详解】证明：如图3，过点C 作CH AF ⊥交AF 的延长线于点H ，∵CG EG ⊥，∴90,G H A B ∠=∠=∠=∠=° ∴四边形ABCH 为矩形，∴,90,AB CH FCH CFH DFG FDG =∠+∠=∠+∠=°∴,90,FCH FDG ADE A H ∠=∠=∠∠=∠=° ∴,DEA CFH ∽ ∴DE AD CF CH =， ∴DE AD CF AB =， ∴DE AB CF AD = ；【小问4详解】解：①如图4，过点C 作CG AD ⊥于点G ，连接AC 交BD 于点H ，CG 与DE 相交于点O ，∵,,CF DE GC AD ⊥⊥∴90,FCG CFG CFG ADE °∠+∠=∠+∠=∴,90,FCG ADE BAD CGF °∠=∠∠=∠=,DEA CFG ∴ ∽ ∴DE AD CF CG=， 由对折可得：,,,AB CB AD CD AC BD ==⊥ 在Rt ABD 中，1tan ,9,3ADB AD ∠== ∴3AB =， 在Rt ADH 中，1tan ,3ADH ∠=∴13AH DH =， 设AH a =，则3DH a =，∵222,AH DH AD +=∴()22239a a +=，∴a =（负值舍去），∴AH =DH =∴2AC AH == ∵11,22ADC S AC DH AD CG ∆⋅⋅ 119,22CG ∴=×， ∴275CG =，∴952735DE ADCF CG===；②27,90,5AC CG AGC=∠=°9,5AG∴=由①得DEA CFG∽，∴DE AECF FG=，又∵53DECF=，AE=1，∴35FG=，936,555AF AG FG∴=−=−=BF∴===【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的性质、矩形的性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键．。
广东省深圳实验学校初中部2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
广东省深圳实验学校初中部2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列学习用具中，不是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.在−3，−(−112)，0，−3.5，−10%，227，π，0.616116116…(相邻两个6之间1的个数逐次加1)中，有理数的个数为()A. 4B. 5C. 6D. 73.在①a4⋅a2；②(−a2)3；③a12÷a2；④a2⋅a3中，计算结果为a6的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AC=3，AB=5，那么sin B等于()A. 35B. 45C. 34D. 435.如图，大正方形花坛由小正方形组成，一只小鸟随机地飞落在花坛内，落在阴影内的概率为()A. 12B. 13C. 1225D. 13256.已知二次函数y=(x+m)2−n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mnx的图象可能是()A. B.C. D.7.如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于12BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF.下列说法正确的是：()①∠1=∠2；②四边形ABEF是平行四边形但不是菱形；③四边形ABEF是菱形；④若四边形ABEF的周长为16，AE=4√3，则∠C=60°．A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②④8.如图，已知函数y=−32x(x<0)的图象经过平行四边形ABCO对角线的交点D，OC在y轴上，于点C，则平行四边形ABCO的面积为()A. 32B. 94C. 3D. 69.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，点E在AC上，CE:AE=1:3，点F在BC上，且∠EDF=45°，则BF的长是()A. 83B. 43C. 2√2D. 310. 已知：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6.延长BC 到点E ，使CE =2，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC −CD −DA向终点A 运动，设点F 的运动时间为y 秒，当y 的值为( )秒时，△ABF 和△DCE 全等．A. 1B. 1或3C. 1或7D. 3或7二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 因式分解：4m 2−16=______．12. 截止到2019年3月31日24：00，电影《流浪地球》的票房已经达到46.52亿元，数据46.52亿可以用科学记数法表示为______．13. 在函数y =√x +1−5x−2，自变量x 的取值范围是________．14. 二次函数y =3x 2+4的顶点坐标是______．15. 已知a ，b 是方程x 2−x −3=0的两个根，则代数式a +b +ab 的值为______ ．16. 若关于x 的方程a x−2=x−1x−2−3有增根，则a =______．17. 已知关于x 的不等式组{x >m x <2的整数解共有6个，则m 的取值范围是___________． 18. 已知二次函数y =−ax 2+2ax +m 的图象与x 轴的一个交点是(3,0)，则关于x 的一元二次方程−ax 2+2ax +m =0的解为______ ．19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别落在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，反比例函数y =k x (x <0)的图象交AB ，BC分别于点D ，E ，连接OE ， 若AD =BD ，四边形OABE 的面积为12，则k 的值为________．20.正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2√26，AE=8，则ED=______．三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）21.(1)计算：(3√2+1)0−(12)−1+2cos60°(2)解方程：x2−4x−5=0．22.先化简，再求值：2−2xx2−1+(x+1x−1+1)÷x2+xx2−2x+1，然后从−√5≤x≤√2的范围内选取一个合适的整数作为x的值带入求值．23.图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB=37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC=72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．24.已知：如图，四边形OBEC是菱形，连接对角线BC，过点B作BA⊥BC交CO的延长线于点A，过点C作CD⊥BC交BO的延长线于点D，连接AD.求证：四边形ABCD是矩形．25.某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．26.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2−7x+12=0的两个根，且OA>OB．(1)求OA、OB的长．(2)若点E为x轴正半轴上的点，且S△AOE=16，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的3反比例函数的解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似．(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．27.在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2−2x+n与x轴的两个交点分别为A(−3,0)，B(1,0)，C为顶点．(1)求m、n的值．(2)在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；C、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可．本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴．2.答案：C解析：本题考查的是有理数问题，基础题分别根据实数的分类及有理数、无理数的概念进行解答．)，0，−3.5，−10%，227，π，0.616116116…(相邻两个6之间1的个数逐次加1)中，在−3，−(−112)，0，−3.5，10%，227，共有6个．有理数为：−3，−(−112故选C．3.答案：A解析：解：①a4⋅a2=a6，故本选项正确；②(−a2)3=−a6，故本选项错误；③a12÷a2=a10，故本选项错误；④a2⋅a3=a5，故本选项错误；故选A．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．4.答案：A解析：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，∴sinB=ACAB =35．故选：A．直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．5.答案：C解析：本题考查了几何概率，属于基础题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，首先确定在阴影方格的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟随机地飞落在在阴影方格中的概率．解：∵大正方形花坛被等分成25份，其中阴影方格占12份，∴小鸟随机落在阴影方格中的概率1225．故选C．6.答案：C解析：解：观察二次函数图象可知：m>0，n<0，∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y=mnx的图象在第二、四象限．故选：C．观察二次函数图象可得出m>0、n<0，再根据一次函数图象与系数的关系结合反比例函数的图象即可得出结论．本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出m>0、n<0是解题的关键．7.答案：C解析：解：由作法得AE平分∠BAD，AB=AF，则∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE//AF，∴∠2=∠BEA，∴∠1=∠BEA，∴BA=BE，∴AF=BE，∴四边形AFEB为平行四边形，而AB=AF，∴四边形ABEF是菱形；∴BF⊥AE，当四边形ABEF的周长为16，AE=4√3，AE=2√3，BG=FG，∴AG=EG=12而AB=4，∴BG=√42−(2√3)2=2，∴BF=4，∴△ABF为等边三角形，∴∠BAF=60°，∴∠C=60°．故选：C．由作法得AE平分∠BAD，AB=AF，所以∠1=∠2，再证明AF=BE，则可判断四边形AFEB为平AE=2√3，行四边形，于是利用AB=AF可判断四边形ABEF是菱形；根据菱形的性质得AG=EG=12BG=FG，而AB=4，利用勾股定理计算出BG=2，从而得到BF=4，则可判断△ABF为等边三角形得到∠BAF=60°，根据平行四边形的性质得∠C=60°．本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了平行四边形的性质和菱形的判定与性质．8.答案：C解析：本题考查平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，解题的关键是掌握平行四边形的性质.掌握在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．本题可先求出△DCO的面积，根据平行四边形的性质可得解．解：∵四边形OABC是平行四边形，且，，设D点坐标为(x,y)，∵D点的横坐标绝对值等于DC，纵坐标绝对值等于OC，∴由题可知，OC·DC=|xy|=32，∴△DCO的面积=12OC·DC=34，，故选C．9.答案：A解析：本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，证明△AED∽△BDF是关键.首先证明△AED∽△BDF，得到AEBD =ADBF，继而求得BF长即可．解：∵∠C=90°，AC=BC=4，∴AC=4，AB=4√2，∠A=∠B=45°，又∵∠EDF=45°，∴∠ADE+∠BDF=135°，又∵∠ADE+∠AED=135°，∴∠BDF=∠AED，∴△AED∽△BDF，∴AEBD =ADBF，∵CE：AE=1：3，D为AB中点，∴AE=3，BD=AD=2√2，∴32√2=2√2BF∴BF=83．故选A．10.答案：C解析：【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL解答．分点F在BC上和点F在AD上两种情况进行讨论，根据题意得出BF=2t=2和AF=16−2t=2即可求得．【解答】解：当点F在BC上时，∵在△ABF与△DCE中，{AB=CD∠ABF=∠DCE=90°BF=CE，∴△ABF≌△DCE，由题意得：BF=2t=2，所以t=1，点F在AD上时，∵在△ABF与△DCE中，{AB=DC∠BAF=∠DCE=90°AF=CE，∴△ABF≌△DCE，由题意得：AF=16−2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABF和△DCE全等．故选：C．11.答案：4(m+2)(m−2)解析：解：4m2−16，=4(m2−4)，=4(m+2)(m−2)．此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.答案：4.652×109解析：解：数据46.52亿可以用科学记数法表示为4.652×109．故答案为：4.652×109．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13.答案：x≥−1且x≠2解析：本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.根据二次根式的概念和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解：根据题意得：x+1≥0且x−2≠0，解得：x≥−1且x≠2．故答案为x≥−1且x≠2．14.答案：(0,4)解析：解：∵y=3x2+4∴根据y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)知道顶点坐标是(0,4)故答案为：(0,4)．直接利用抛物线顶点式的特殊形式可知顶点坐标是．考查了二次函数的性质，主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．15.答案：−2解析：解：∵a，b是方程x2−x−3=0的两个根，∴a+b=1，ab=−3，∴a+b+ab=1−3=−2．故答案为−2．根据根与系数的关系得出a+b=1，ab=−3，再代入计算即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．16.答案：1解析：解；方程两边都乘(x−2)，得a=x−1−3(x−2)，∵原方程有增根，∴最简公分母x−2=0，即x=2，把x=2代入整式方程，得a=1．故答案为1．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x−2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出未知字母的值．本题考查了分式方程的增根问题，对于此问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17.答案：−5≤m <−4解析：本题考查了不等式组的整数解，首先确定不等式组的整数解，即可确定m 的范围，正确理解m 与−5和−4的大小关系是解题的关键．解：关于x 的不等式组{x >m x <2的解集是：m <x <2， 则个6整数解是：−4，−3，−2，−1，0，1，故m 的范围是：−5≤m <−4．故答案为−5≤m <−4．18.答案：x 1=−1，x 2=3解析：解：∵二次函数y =−ax 2+2ax +m 的对称轴x =−2a −2a =1，又∵抛物线与x 轴的一个交点(3,0)，∴另一个交点(−1,0)，∴一元二次方程−ax 2+2ax +m =0的解为x 1=−1，x 2=3，故答案为x 1=−1，x 2=3．求出抛物线对称轴，利用抛物线与x 轴交点关于对称轴对称解决问题．本题考查抛物线与x 轴的交点，理解二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键，抛物线与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，属于中考常考题型． 19.答案：−8解析：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，则点的坐标满足函数的解析式，也考查了反比例函数的系数k 的几何意义.正确求出点C 的坐标是解题的关键.设D(a,b)，则ab =k ，再表示出B 、C 的坐标，得出BC =12a −a =−12a ，OA =−a ，AB =2b.根据四边形OABE 的面积为12列出方程12(−12a −a)⋅2b =12，将ab =k 代入即可求解．设D(a,b)，则a <0，b >0，ab =k ，∵∠BAO =90∘，顶点A 在x 轴的负半轴上，AD =BD ，∴B(a,2b)，A(a,0)，∵BC//AO，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点E、点D，∴E(12a,2b)，∴BE=12a−a=−12a，OA=−a，AB=2b．∵四边形OABE的面积为12，∴12(−12a−a)⋅2b=12，∴−32ab=12，即−32k=12，∴k=−8．故答案为−8．20.答案：4解析：解：如图，过B作BP⊥EH于P，连接BE，交FH于N，则∠BPG=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，∴∠BCD=∠BPG=90°，∵GB平分∠CGE∴∠EGB=∠CGB，又∵BG=BG，∴△BPG≌△BCG，∴∠PBG=∠CBG，BP=BC，∴AB=BP，∵∠BAE=∠BPE=90°，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△PBE(HL)，∴∠ABE=∠PBE，∴∠EBG=∠EBP+∠GBP=1∠ABC=45°，2由折叠得：BF=EF，BH=EH，∴FH垂直平分BE，∴△BNM是等腰直角三角形，∵BM=2√26，∴BN=NM=2√13，∴BE=4√13，∵AE=8，∴Rt△ABE中，AB=√BE2−AE2=12，∴AD=12，∴DE=12−8=4，故答案为：4．本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．作辅助线，构建全等三角形，先证明∠EBG=45°，利用△BNM是等腰直角三角形，即可求得BN，BE的长，Rt△ABE中，依据勾股定理可得AB=√BE2−AE2=12，根据AD=12，即可得到DE= 12−8=4．21.答案：解：(1)原式=1−2+2×12=1−2+1=0；(2)∵x2−4x−5=0，∴(x−5)(x+1)=0，则x−5=0或x+1=0，解得：x=5或x=−1．解析：(1)根据零指数幂和非负指数幂、特殊锐角三角函数值代入计算可得；(2)因式分解法求解可得．本题主要考查零指数幂和非负指数幂、特殊锐角三角函数值及解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22.答案：解：原式=2(1−x)(x+1)(x−1)+2xx−1×(x−1)2x(x+1)=−2x+1+2x−2x+1=2x−4x+1∵−√5≤x≤√2所以x可取−2，−1，0，1，由于当x取−1、0、1时，分式的分母为0，所以x只能取−2．当x=−2时，原式=8．解析：根据分式的加减、乘除法则，先对分式进行化简，然后选取合适的整数代入．注意代入的整数需使原分式有意义．本题主要考查了根式的化简求值．解决本题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序．注意代入的值需满足分式有意义．23.答案：解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB=25，DE=50，∴sin37°=GBAB ，cos37°=GAAB，∴GB≈25×0.60=15，GA≈25×0.80=20，∴BF=50−15=35，∵∠ABC=72°，∠D′AB=37°，∴∠GBA=53°，∠CBF=55°，∴∠BCF=35°，∵tan35°=BF，CF=50，∴CF≈350.70∴FE=50+130=180，∴GD=FE=180，∴AD=180−20=160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．解析：本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．24.答案：证明：∵四边形OBEC是菱形，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠OBC=90°，∠OAB+∠OCB=90°，∴∠ABO=∠OAB，∴AO=BO，∴AO=CO，同理可证BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．解析：本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的四条边相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.首先由四边形OBEC是菱形，得到OB=OC，进而得到∠OBC=∠OCB，结合已知条件可得∠ABO+∠OBC=90°，∠OAB+∠OCB=90°，从而证得AO=CO，同理得到BO=DO，即可得到四边形ABCD是平行四边形，结合∠ABC=90°，可证得结论．25.答案：(1)解：设甲种书柜单价为x 元，乙种书柜的单价为y 元，由题意得：{3x +2y =10204x +3y =1440， 解之得：{x =180y =240， 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；(2)解：设甲种书柜购买m 个，则乙种书柜购买(20−m)个；由题意得：{20−m ≥m 180m +240(20−m)≤4320解之得：8≤m ≤10因为m 取整数，所以m 可以取的值为：8，9，10即：学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．解析：本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．(1)设甲种书柜单价为x 元，乙种书柜的单价为y 元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程组求解即可；(2)设甲种书柜购买m 个，则乙种书柜购买(20−m)个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤4320列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案． 26.答案：解：(1)解一元二次方程x 2−7x +12=0得x 1=3，x 2=4，∵OA >OB∴OA =4，OB =3；(2)①设E(x,0)，由题意得S ΔAOE =12OA ·x =12×4x =163，解得x =83，∴E(83,0)或(−83,0)，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点D 的坐标是(6,4)，设经过D 、E 两点的直线的解析式为y =kx +b ，若图象过点(83,0)，(6,4)，则{83k +b =06k +b =4， 解得{k =65b =−165， 此时函数解析式为y =65x −165， 若图象过点(−83,0)，(6,4)，则{−83k +b =06k +b =4， 解得{k =613b =1613， 此时函数解析式为y =613x +1613；②在△AOE 与△DAO 中，∵OA OE =483=32，AD OA =64=32， ∴OA OE =AD OA ，又∵∠AOE =∠OAD =90°，∴△AOE∽△DAO ；(3)∵OB =OC =3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF =AC =5，所以点F 与B 重合，即F(−3,0)；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F(3,8)；③AC 是对角线时，作AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y =−43x +4，则直线L 过(32,2)，且k 值为34(平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为−1)，∴L 解析式为y =34x +78，联立直线L 与直线AB 求交点，{y =−43x +4y =34x +78， 解得{x =−7514y =−227， ∴F(−7514,−227)； ④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN =245，勾股定理得AN =75， 做A 关于N 的对称点即为F ，AF =145， 过F 做y 轴垂线，垂足为G ，FG =145×35=4225 ， ∴F(−4225,4425)；综上所述，满足条件的点有四个：(−3,0)，(3,8)，(−7514,−227)，(−4225,4425).解析：本题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式 ，三角形的面积，平行四边形的性质，菱形的性质等有关知识．(1)求出一元二次方程x 2−7x +12=0的两个根，再结合OA >OB 即可得到结果；(2)①先根据三角形的面积求出点E 的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D 的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；②分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；(3)根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算．27.答案：解：(1)把A(−3,0)，B(1,0)代入y =mx 2−2x +n 得，{9m +6+n =0m −2+n =0， 解得：{m =−1n =3； 故m 的值为−1，n 的值为3；(2)存在，理由：过C 作CE ⊥y 轴于E ，∵抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3，∴y =−(x +1)2+4，∴C(−1,4)，∴CE =1，OE =4，设D(0,a)，则OD =a ，DE =4−a ，∵△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形，∴∠CDE +∠ADO =90°，∴∠CDE =∠DAO ，∴△CDE∽△DAO ，∴CE OD =DE OA ， ∴1a =4−a3，∴a 1=1，a 2=3，∴点D 的坐标为(0,1)或(0,3)．解析：(1)把A(−3,0)，B(1,0)代入y =mx 2−2x +n 解方程组即可得到结论；(2)过C 作CE ⊥y 轴于E ，根据函数的解析式求得C(−1,4)，得到CE =1，OE =4，设D(0,a)，得到OD =a ，DE =4−a ，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．根据图形及题意解答即可．。
福建泉州实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题(原卷版)
泉州实验中学2022-2023学年度上学期期中考试初三年数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，则sin A =（）A.AC ABB.BC ABC.AC BCD.BC AC2.若二次函数()2221y m x x =-+-的图象有最低点，则m 的取值范围是（）A.2m ≥B.2m ≤C.2m >D.2m <3.若二次函数22y x x k =+-的图像与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是（）A.k ＜﹣1B.kC.k ＜1D.k ＞14.为了调查市一中学生的视力情况，在全校的2700名学生中随机抽取了100名学生，下列说法正确的是（）A.此次调查属于全面调查B.样本容量是100C.2700名学生是总体D.被抽取的每一名学生称为个体5.如图，在ABCD Y 中，点E ，F ，G 分别为AB ，BD ，AD 的中点，则AEG △与ABCD Y 的面积之比为（）A.1:2B.1:4C.1:8D.1:166.二次函数2y ax bx c =++（其中a ，b ，c 是常数，0a ≠）的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.0b >，0c >B.0b >，0c <C.0b <，0c < D.0b <，0c >7.三角函数sin 70︒，cos70︒，tan70︒的大小关系是（）A.sin 70cos70tan 70︒>︒>︒B.tan 70cos70sin 70︒>︒>︒C.tan 70sin 70cos70︒>︒>︒D.cos70tan 70sin 70︒>︒>︒8.西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A （人眼）望点E ，使视线通过点C ，记人站立的位置为点B ，量出BG 长，即可算得物高EG ．令BG=x （m ），EG=y （m ），若a =30cm ，b =60cm ，AB =1.6m ，则y 关于x 的函数表达式为（）A.12y x =B.11.62y x =+ C.2 1.6y x =+ D.18001.6y x=+9.如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 上的中点，点F 在边CD 上，且90BEF ∠=︒，若4AB =，延长EF 交BC 的延长线于点G ，则CG 的长为（）A.4.5B.5C.5.5D.610.已知抛物线()220y ax amx c a =-+<经过()11,P y -，()23,Q y ，()3,M m y 三点，若1m <，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A.123y y y <<B.132y y y <<C.213y y y <≤D.321y y y ≤<二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11.二次函数()23344y x =-+的顶点坐标是______．12.如图，把AOB 缩小后得到COD △，则AOB 与COD △的相似比为______．13.已知一组数据2，a ，4，5的众数是5，则这组数据的方差为______．14.如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，3AD =，3tan 4B =，则DC 的值为______．15.如图，将函数()21242y x =-+的图像沿y 轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点()1,A m ，()4,B n 平移后的对应点分别为点A '、B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是___________．16.如图，ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，ABD ACB ∠=∠，G 是线段OD 上一点，且90DGC DCG ∠-∠=︒，①当AC BD ⊥时，OG GD 的值为______，②当2tan 4CDB ∠=时，OG GD 的值为______．三、解答题（本题共9小题，共86分）17.计算：222sin 18cos 18cos30sin 60tan 45︒+︒+︒⋅︒-︒．18.如图，E 是ABC 的边BC 上的点，已知BAE CAD ∠=∠，65AC AD =，18AB =，=15AE ．求证：ABC AED ∽△△．19.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0A 、()3,0B 、()0,3C （1）求二次函数的解析式；（2）画出该二次函数的图象；（3）若0y >，请写出x 的取值范围______．20.某学校第二课堂要创办“足球特色班”，大量的热爱足球的同学踊跃报名参加，但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩是由足球知识、身体素质、足球技能三项成绩构成的，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：足球知识身体素质足球技能小张709080小王907590（1）若按三项成绩的平均分记为最终评价成绩，请通过计算，说明小张、小王谁将获胜？（2）根据实际情况，学校决定足球知识、身体素质、足球技能三项成绩按1:4:5的权重来确定最终评价成绩，请你通过计算，说明小张、小王谁将获胜？21.如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60︒，建筑物底端B 的俯角为45︒，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，求建筑物BC 的高度．（结果保留根号）22.若ABC 绕点A 逆时针旋转α后，与ADE V 构成位似图形，则我们称ABC 与ADE V 互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：如图①，ABC 与ADE V 互为“旋转位似图形”．①若25α=︒，100D ∠=︒，25C ∠=︒，则BAE ∠=______；②若6AD =，9DE =，4AB =，则BC =______；（2）知识运用：如图②，在四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，DAC DBC ∠=∠，求证：①OA OC OB OD ⋅=⋅；②ACD 与ABE 互为“旋转位似图形”；23.如图，下面是某同学在平面直角坐标系中设计的一动画示意图，点A 、N 在x 轴上，在ON 上方有五个水平台阶1T ～5T （各拐角均为90︒），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶1T 到x 轴的距离为10．从点A 处向右上方沿抛物线2412y x x =-++发出一个带光的点P ．（1）点P 恰好落在台阶4T 上，求此时落点P 的坐标；（2）当点P 落到台阶4T 上后立即向右弹起，又形成了另一条与原抛物线形状相同的新抛物线2y ，且最大高度为11，求新抛物线2y 的表达式；（3）如果摆放一个底面半径为0.5m ，高1m 的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点12m ，若沿抛物线y 2下落的点P 必须落在筐里，需将筐沿x 轴向左移动m b ，直接写出b 的取值范围．24.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AD CD =，45DAC ABD ∠=∠=︒，AG 平分CAB ∠，交DB 于点G ．（1）如图1，求证：DA DG =；（2）如图1，求证：22AC DE DB =⋅；（3）如图2，过点C 作CF AG ⊥，垂足为F ，若90ABC ∠=︒，253AF AB =，求BH CH 的值．25.已知抛物线2y ax 2x c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，一次函数y kx b =+的图象l 与抛物线交于C 、(),D m n 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）当2m =时，点C 为直线AD 上方抛物线上的点，AD 与BC 相交于E ，探究ECEB是否有最大值，若存在，请求出此时C 点的坐标，若不存在，请说明理由．（3）若22k m =-+，直线l 与抛物线的对称轴相交于点M ，点P 在对称轴上．当PM PD =时，求点P 的坐标．。
吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
吉林省长春市东北师范大学附属实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．2 D ．3- 2．一元二次方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．=1x -B ．2x =C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x = 3．已知抛物线2(3)1y m x =++开口向下，则m 的取值范围为（ ）A ．3m >-B ．3m <-C ．3m ≠-D ．任意实数 4．如图所示，在△ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，DE 为AB 的中垂线，12AD =，则CD 的长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 5．体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图．由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是（ ）A ．16%B ．24%C ．30%D ．40%6．已知点()12,A y 、()23,B y 、()31,C y -均在抛物线24(0)y ax ax c a =-+>上，则123,,y y y二、填空题13．如图，在45⨯的正方形网格中，点A 、B 、C 都在格点上，则sin ABC ∠=．14．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为．三、解答题15．公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地面积为212m ，求原正方形空地的边长．16．如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是6-，1-，8，转盘乙上的数字分别是4-，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．(1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？如图1，画Rt ABC△并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半，下面让我们用演绎推理证明这一猜想．已知：如图2，在Rt ABC△中，CD是斜边AB上的中线．求证：12CD AB=．。
深圳实验学校初中部九年级(上)期中数学试卷与答案
一．选择题（每题3分，共30分深圳实验学校初中部九年级（上）期中数学试卷）1．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．2．（3分）下列各组线段中，成比例的一组是（）A ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10B ．a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6C ．a ＝2，b ＝，c ＝2，d ＝10D ．a ＝0.8，b ＝3，c ＝1，d ＝103．（3分）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．x+＝2B ．2x 2﹣x ＝1C ．3x 3＝1D ．xy ＝44．（3分）如图，DF ∥AC ，DE ∥BC ，下列各式中正确的是（）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝5．（3分）在同一坐标系中（水平方向是x 轴），函数y ＝和y ＝kx +3的图象大致是（）A ．B．C ．D ．6．（3分）下列说法正确的是（）A．有三个角为直角的四边形为矩形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7．（3分）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m8．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sin A的值为（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（）A．1B．C．D．10．（3分）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG ⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（每题3分，共15分）11．（3分）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是．12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝°．13．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为．14．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为．15．（3分）如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝．三．解答题（共55分）16．解下列一元二次方程：（1）5x2＝4﹣2x；（2）（x+2）2＝3x+6．（提公因式法）17．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．18．某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）请把图2的条形统计图补充完整；（3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．19．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．20．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？21．如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．（1）tan∠ACB＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．22．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．（1）AE＝（用含有k的代数式表示）；（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．一．选择题（每题3分，共30分深圳实验学校初中部九年级（上）期中数学试卷答案）1．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【分析】找到几何体从左面看所得到的图形即可．【解答】解：它的左视图是．故选：B ．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．2．（3分）下列各组线段中，成比例的一组是（）A ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10B ．a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6C ．a ＝2，b ＝，c ＝2，d ＝10D ．a ＝0.8，b ＝3，c ＝1，d ＝10【分析】先把四条线段的长度按由小到大排列，再计算出前面两数的比和后面两数的比，然后根据比值是否相等进行判断．【解答】解：A．＝＝，＝＝，则≠，所以A 选项不符合题意；B．＝＝，＝＝，则＝，所以B 选项符合题意；C．＝＝，＝＝，则≠，所以C 选项不符合题意；D．＝＝0.8，＝＝0.3，则≠，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a ：b ＝c ：d （即ad ＝bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．（3分）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A．x+＝2B．2x2﹣x＝1C．3x3＝1D．xy＝4【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．【解答】解：A、＝2为分式方程，所以A选项不符合题意．B、2x2﹣x＝1为一元二次方程，所以B选项符合题意；C、3x3＝1是一元三次方程，所以C选项不符合题意；D、xy＝4是二元二次方程，所以D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义．4．（3分）如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例，由DF∥AC得到＝，则可对A进行判断；由DE∥BC得到＝，则可对C进行判断；利用等量代换接着得到＝，则可对B进行判断；然后由DE∥BC得到＝，则可对D进行判断．【解答】解：∵DF∥AC，∴＝，所以A选项错误；∵DE∥BC，∴＝，所以C选项错误；而＝，∴＝，∵DE∥CF，DF∥CE，∴四边形DECF为平行四边形，∴CF＝DE，∴＝，即＝，所以B选项错误；∵DE∥BC，∴＝，即＝，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．5．（3分）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【解答】解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．6．（3分）下列说法正确的是（）A．有三个角为直角的四边形为矩形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理逐一判定后即可得到正确的选项．【解答】解：A、有三个角为直角的四边形为矩形，正确，故符合题意；B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题错误，故不符合题意；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，原命题错误，故不符合题意；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题错误，故不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．7．（3分）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．8．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，先利用图中格点，求出AD、AB、BD，最后在直角三角形ABD 中求出∠A的正弦值．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．由图可知，BD＝3，AD＝2，AB＝＝，∴sin A＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形的边角间关系，利用勾股定理求出AB是解决本题的关键．9．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（）A．1B．C．D．【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4﹣x，由对称的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，证明△ADE≌△AFE（SSS），得∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴∠FME＝90°，∵tan∠ABF＝2，∴＝2，设BN＝x，则FN＝2x，∴AN＝4﹣x，∵点F是点D关于直线AE对称的点，∴DE＝EF，DA＝AF＝4，∵AE＝AE，∴△ADE≌△AFE（SSS），∴∠D＝∠AFE＝90°，∵AN2+NF2＝AF2，∴（4﹣x）2+（2x）2＝42，∴x1＝0（舍），x2＝，∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝，∵∠EFM+∠AFN＝∠AFN+∠FAN＝90°，∴∠EFM＝∠FAN，∴cos∠EFM＝cos∠FAN，∴＝，即，∴EF＝，∴DE＝EF＝．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键．10．（3分）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG ⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用三角函数求得①正确；证明△DEC≌△FEM（AAS）得DM＝FC，再证△DMN≌△FCN，得②正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE＝EC＝1，CF＝﹣1，由三角函数，得④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵AB＝2，点E是BC边的中点，∴CE＝1，∵∠DNM＝∠FNC，∵FG⊥DE，∴∠DMN＝90°，∴∠DMN＝∠NCF＝90°，∠GFB＝∠EDC，tan∠GFB＝tan∠EDC＝＝，①正确；②∵∠DMN＝∠NCF＝90°，∠MND＝∠FNC，∴∠MDN＝∠CFN∵∠ECD＝∠EMF，EF＝ED，∠MDN＝∠CFN∴△DEC≌△FEM（AAS）∴EM＝EC，∴DM＝FC，∠MDN＝∠CFN，∠MND＝∠FNC，DM＝FC，∴△DMN≌△FCN（AAS），∴MN＝NC，故②正确；③∵BE＝EC，ME＝EC，∴BE＝ME，在Rt△GBE和Rt△GME中，BE＝ME，GE＝GE，∴Rt△GBE≌Rt△GME（HL），∴∠BEG＝∠MEG，∵ME＝EC，∠EMC＝∠ECM，∵∠EMC+∠ECM＝∠BEG+∠MEG，∴∠GEB＝∠MCE，∴MC∥GE，∴，∵EF＝DE＝，CF＝EF﹣EC＝﹣1，∴，故③错误；④由上述可知：BE＝EC＝1，CF＝﹣1，∴BF＝+1，∵tan F＝tan∠EDC＝，∴GB＝BF＝，＝．故④正确，∴S四边形GBEM故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11．（3分）如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是（﹣2，1）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′，点B′的坐标是（4，﹣2），∴点B的坐标是（4×（﹣），﹣2×（﹣）），即（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．12．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝40°，点E在CD上，AE＝AC，则∠BAE＝110°．【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，由等腰三角形的性质可求∠BAC＝∠BCA＝70°，∠CAE＝40°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∠ACB＝∠ACD，∵∠B＝40°，∴∠BAC＝∠BCA＝70°，∴∠ACD＝70°，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝70°，∴∠CAE＝40°，∴∠BAE＝110°，故答案为110．【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．13．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为﹣1．【分析】设方程的两个根为a、b，由根与系数的关系找出a+b＝﹣3，代入a＝﹣2即可得出b值．【解答】解：设方程的两个根为a、b，∴a+b＝﹣3，∵方程的一根a＝﹣2，∴b＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了跟与系数的关系，根据方程的系数找出a+b＝﹣3时解题的关键．14．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD，S△ADC：S△BDC＝5：4，CD＝4，则AC长为6．【分析】通过证明△ABC∽△CBD，可得，即可求解．：S△BDC＝5：4，【解答】解：∵S△ADC：S△ABC＝4：9，∴S△BCD∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴，∴，∴AC＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABC∽△CBD是解题的关键．15．（3分）如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝．【分析】先联立方程求出点A坐标，由AD＝BD得CO⊥AB，由OC＝3OD得点C坐标，再通过tan∠OAH＝tan∠COH求出点C坐标而求解．【解答】解：联立方程，解得，，∴点A坐标为（﹣，﹣2），点B坐标为（，2），∵A，B关于原点对称，∴O为AB中点，又∵AD＝BD，∴点D在线段AB的垂直平分线上，∴CO⊥AB，又∵AH⊥x轴，∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠COH＝90°，∴∠OAH＝∠COH，作CE⊥x轴于点E，∵OC＝3OD，点D横坐标为﹣，∴点C横坐标为﹣3，∵tan∠OAH＝tan∠COH＝＝＝，∴CE＝OE＝，∴点C坐标为（﹣3，），∴k＝﹣3×＝，故答案为：．【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，掌握相似三角形的性质及解直角三角形的方法．三．解答题（共55分）16．解下列一元二次方程：（1）5x2＝4﹣2x；（2）（x+2）2＝3x+6．（提公因式法）【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）5x2＝4﹣2x，5x2+2x﹣4＝0，∵a＝5，b＝2，c＝﹣4，∴△＝4﹣4×5×（﹣4）＝84＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程可变形为：（x+2）2﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x+2﹣3）＝0，∴x+2＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣2，x2＝1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣1+﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．某中学在艺术节期间向全校学生征集书画作品，美术王老师从全校随机抽取了四个班级记作A、B、C、D，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）请把图2的条形统计图补充完整；（3）若全校参展作品中有四名同学获得一等奖，其中有二名男生、二名女生．现在要在其中抽两名同学去参加学校总结表彰座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生一名女生的概率．【分析】（1）用C班的人数除以该班的作品数得到调查的总作品数；（2）计算出B班的作品数，再补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽中一名男生一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）5÷＝12（件），即抽查的四个班级共征集到作品12件，（2）B班级的作品数为12﹣2﹣5﹣2＝3（件），条形统计图补充为：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，恰好抽中一名男生一名女生的结果有8种，∴恰好抽中一名男生一名女生的概率为＝．【点评】本题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4m．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4m的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据直角三角形的性质求出AC；（2）根据余弦的定义求出CD，根据题意求出PC，根据题意判断即可．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝4（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8（m），答：新传送带AC的长度为8m；（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC•cos∠ACD＝4（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴BD＝AD＝4（m），∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），∵4＜5，∴货物MNQP需要挪走．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．（1）求四、五两个月销售量的月平均增长率；（2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？【分析】（1）由题意可得，3月份的销售量为：128件；设四、五月份销售量平均增长率为x，则4月份的销售量为：128（1+x）；5月份的销售量为：128（1+x）（1+x），又知5月份的销售量为：200件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；（2）利用销量×每件商品的利润＝2250求出即可．【解答】解：（1）设四、五月份销售量平均增长率为x，则128（1+x）2＝200解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）所以四、五月份销售量平均增长率为25%；（2）设商品降价m元，则（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）所以商品降价5元时，商场获利2250元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．21．如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA＝8，OC＝4，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ⊥PB，PQ交x轴于点Q．（1）tan∠ACB＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．【分析】（1）根据矩形的性质求出∠ABC＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，最后用锐角三角函数的定义即可得出结论；（2）设出PE＝a，利用锐角三角函数得出CE＝2a，得出BE＝2（4﹣2a），再判断出△BEP∽△PFQ，进而得出FQ，即可得出结论；（3）根据折叠的性质，判断出BQ⊥AC，AD＝PD＝AP，再用勾股定理求出AC，判断出△ABC∽△ADB，得出AD，进而求出AP，即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，其值为，理由：如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝4，设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝4﹣a，在Rt△CEP中，tan∠ACB＝＝，∴CE＝2PE＝2a，∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2a＝2（4﹣a），∵PQ⊥PB，∴∠BPE+∠FPQ＝90°，∵∠BPE+∠PBE＝90°，∴∠FPQ＝∠EBP，∵∠BEP＝∠PFQ＝90°，∴△BEP∽△PFQ，∴＝，∴，∴FQ＝a，∴＝＝；（3）如备用图，∵将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，∴BQ⊥AC，AD＝PD＝AP，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝8，根据勾股定理得，AC＝＝4，∵∠BAC＝∠DAB，∠ADB＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△ADB，∴，∴，∴AD＝，∴PC＝AC﹣AP＝AC﹣2AD＝4﹣2×＝，故答案为：．【点评】此题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，构造出相似三角形表示出BP和PQ是解本题的关键．22．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．（1）AE＝4﹣（用含有k的代数式表示）；（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE＝，从而得AE的长；（2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE＝EC＝2即可；（3）分三种情况讨论：①AD＝BD，②AD＝AB，③AB＝BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．【解答】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），∴AC＝4，OC＝3，∵点E在反比例函数y＝上，∴E（，3），∴CE＝，∴AE＝4﹣；故答案为：4﹣；（2）如图2，∵A（4，3），∴AC＝4，AB＝3，∴，∴点F在y＝上，∴F（4，），∴＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF＝∠ACB，∴EF∥BC，∴∠FED＝∠CDE，连接AD交EF于M点，∴△AEF≌△DEF，∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，∴CE＝DE＝AE＝AC＝2；（3）过D点作DN⊥AB，①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BN＝AB＝，∴∠DAN+∠ADN＝90°，∵∠DAN+∠AFM＝90°，∴∠ADN＝∠AFM，∴tan∠ADN＝tan∠AFM＝，∴，∵AN＝，∴DN＝，∴D（4﹣，），即D（，）；②当AB＝AD＝3时，如图4，在Rt△ADN中，tan∠ADN＝tan∠AFM＝，∴，∴AN＝AD＝＝，∴BN＝3﹣AN＝3﹣＝，∵DN＝AN＝＝，∴D（4﹣，），即D（，）；③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，∴DF＝AF，∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，∴DF+BF＝BD，此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，∴AB≠BD，综上所述，所求D点坐标为（，）或（，）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2020-2021深圳实验中学初中部九年级上册数学期中考试真题(修订版)
1 20-21深实验初中部九上期中一、选择题1．（3分）2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．D．﹣2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）去年由于中美贸易战的影响，华为受到美国政府的制裁，禁止美国高科技公司向华为供货，而华为在这种压力下迎难而上，华为总裁任正非宣布正在生产不含任何美国零件的5G基站，明年预计最少生产1500000个．将1500000用科学记数法可表示为（）A．15×105B．1.5×106C．150×104D．0.15×1074．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）2 B．a2+a4＝a6 C．a10÷a5＝a2D．a2•a3＝a55．（3分）不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：金额/元5102050100人数6171485则他们捐款金额的众数和中位数分别是（）A．100，10B．10，20C．17，10D．17，208．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．29°9．（3分）一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的部分图象在同一坐标系中可能为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD的距离为5m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（）m．A．5B．5C．5﹣5D．5﹣511．（3分）如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将直线沿x轴向左平移，当点B落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（）A．6B．5C．4D．312．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（）A．B．C．3.5D．5二、填空题（共4小题）.13．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．14．（3分）在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则a＝．15．（3分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BB1＝5，B1C1＝6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B1C1中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为．16．（3分）如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠APC＝120°，则AB：AD＝．三、解答题17．（1）计算：2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1+（2020﹣）0；（2）解方程：．18．先化简，再求值：，从﹣1，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．19．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的統计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是．（2）图1中，∠α的度数是，并把图2条形统计图补充完整．（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率．20．如图1，大桥桥型为低塔斜拉桥，图2是从图1抽象出的平面示意图．现测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离AC为4米，两拉索底端距离BD为20米，试求立柱AE的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．22．如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD．EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．（1）求证：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．1 20-21深实验初中部九上期中1．C．2．D．3．B．4．D．5．D．6．C．7．B．8．C．9．C．10．D．11．A．12.B12．设点D（m，），如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD，又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，∴△DHA≌△CGD（AAS），∴HA＝DG，DH＝CG，同理△ANB≌△DGC（AAS），∴AN＝DG＝1＝AH，则点G（m，﹣1），CG＝DH，AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，故点G（﹣2，﹣5），D（﹣2，﹣4），H（﹣2，1），则点E（﹣，﹣5），GE＝，CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣＝，13．x≥．14．8．15．10．16．：1．15.如图1，∵AB＝9，BB1＝5，B1C1＝6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B1C1中点F处有一米粒，∴BE＝6，BF＝5+3＝8，∴EF＝＝10；如图2，∵AB＝9，BB1＝5，B1C1＝6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B1C1中点F处有一米粒，∴BE＝6，EN＝9，FN＝5，∴EF＝＝．∵10＜，∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10．16.如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x，∵∠APC＝120°，PH⊥AC，∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°，∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，17．（1）1；（2）x＝﹣4，检验：把x＝﹣4代入（x﹣3）得，x﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7≠0，所以x＝﹣4是原方程的解．18．．∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝＝4．19.（1）21÷35%＝60（户），故答案为：60；（2）∠α＝360°×＝54°，60﹣9﹣21﹣9＝21（户），故答案为：54°，补全条形统计图如图所示：（3）1000×＝150（户），答：估计非常满意的人数约为150户；（4）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有20种等可能出现的结果，其中选中贫困户e的有8户，所以，P选中贫困户e＝＝．20．设DE＝x，∵∠CDE＝60°，∠E＝90°，∴CE＝DE•tan60°＝x，∴AE＝AC+CE＝4+x，∵∠B＝30°，∴BE＝AE＝4+3x，∴4+3x＝20+x，解得：x＝10﹣2，∴AE＝4+（10﹣2）＝10﹣2≈15.3答：AE的长度为15.3米21．（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，由题意，＝，解得x＝2000，经检验，x＝2000是分式方程的解．答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，由①得到y＝80﹣1.5x③，把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，解得，x≥40，∵y＞0，∴80﹣1.5x＞0，x＜53.3，∴40≤x＜53.3，∵x，y是正整数，∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，∵﹣250＜0，∴w随x的增大而减小，∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．答：最低费用为107000元．22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得或（舍去），∴AE＝．（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG为等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．23．（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则，解得，故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），△PAB面积S＝×PH×（x B﹣x A）＝（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）＝﹣x2﹣x，∵＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，联立上述两式并解得：，故点C（﹣1，﹣4）；设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，2）；联立②④并解得：s＝﹣3，t＝﹣4±，故点E（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）；②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，故点E（1，﹣3），综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4）或（﹣3，﹣4﹣）或（1，﹣3）．。
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第 15 题图 第 16 题图 16. 如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH .若 EH = 3 厘米，则边 AD 的长是_____________厘米.
0 1 17. | 2 − 2 | − − ( π - 2011) + 2 cos 45° 2 −2
18.解一元一次方程 （1） x 2 + 4 x − 9 （2） 2 ( x + 3) =x 2 − 9
2
19.如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1 ∶ 3 ， AC = 10 米，坡顶有一旗杆 BC ，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连， AB = 14 米.试求旗杆 BC 的高度.
5ab A. 2a + 5b =
B. a 6 ÷ a 2 = a3
C. a 2 · a 3 = a 6
9.如图，在 △ ABC 中， ∠C = 90° ， AC = 8cm ， AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D ，连 3 ，则 BC 的长是（ ） 结 BD .若 cos ∠BDC = 5 A. 10cm B. 8cm C. 6cm D. 4cm
点 A 的坐标为 −3 3,3 ， 22. （9 分） 已知： 等腰三角形 OAB 在直角坐标系中的位置如图， 点 B 的坐标为 ( −6, 0 ) . （1）若三角形 OAB 关于 y 轴的轴对称图形是三角形 OA′′ B ，请直接写出 A 、 B 的对称 、 B′ 的坐标； 点 A′ 此时点 A 恰好落在反比例函数 y = （2） 若将三角形 OAB 沿 x 轴向右平移 a 个单位， 的图像上，求 a 的值； （3）若三角形 OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转 α 度 ( 0 < α < 90 ) .
6 3 x
(
)
k 的图像上，求 k 的值； x 若能， 求出 α 的值； 若不能， ② 问点 A 、B 能否同时落在 ① 中的反比例函数的图像上， 请说明理由.
10.如图，点 A 和点 B 都在反比例函数 y = A.1 小时 B. 3 小时 C. 2 小时 D. 2 3 小时
第 11 题图 第 12 题图 12. 如图，已知正方形 ABCD 边长为 1 ， E 、 F 、 G 、 H 分别为各边上的点， 且 AE = BF = CG = DH .设小正方形 EFGH 的面积为 s ， AE 为 x ，则 s 关于 x 的函数图象大致 是（ ）
20.（7 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中， E , F 分别是 BC ， AB 上的点，且 EF = ED ， EF ⊥ ED . （1）求证： △BEF ≌△CDE ； （2）若 AB = 4 ， AD = 7 ，求 DF 的长.
21.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为 1000 米的管道，决定由甲、乙两个工程 队来完成这一工程.已知甲工程队每天能多铺设 20 米，且甲工程队铺设 350 米所用的天次为 乙工程队铺设 250 米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2） 如果要求两工程队同时开工且完成该工程的工期不超过 10 天， 那么为两工程队分 配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请帮助设计出来
2012-2013 学年度实验学校初中部第一学期期中考试 初中三年级 一、选择题 1.实数 4 的算术平方根是（ ）
B. ±2 C. 2 D. ± 2 A. 2 数据 56940 用科学记数法可以表示为 2.经统计 2012 年深圳市中考考生人数达 56940 人， （要求保留三位有效数字） A. 56.950 × 103 B. 5.6950 × 104 C. 5.70 × 104 D. 4 5.69 × 10 3.下列图形中，只是轴对称，不y = x 的图像交点个数是（ x A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 1 5.在同一个平面直角坐标系中，函数 y = 与函数 y = x 的图像交点个数是（ x
4.在同一个平面直角坐标系中，函数 y =
2
）
）
1 1 D. a 3 = a 6 3 9 6.某商场开展“迎大运，宣传大运”活动，顾客可以用 1 元换 2.5 元电子券消费，那么顾客 在此商场买商品相等于该商品打几折？（ ） B. 6 折 C. 4 折 D. 2.5 折 A. 7.5 折 7.下列命题中，真命题是（ ） A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 8. 在同一直角坐标系中，一次函数 = y ax + b 和二次函数 = y ax 2 + bx 的图象大致为（ ）
二、填空题（本部分共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） __________. 13.因式分解： a 2 + 2a 2 + a = 14.搭建如图 ① 的单顶帐篷需要 17 根钢管，这样的帐篷按图 ② ，图 ③ 的方式串起来搭 建，则串 7 顶这样的帐篷需要_______根钢管.
2 ( x > 0 ) 的图象上，有点 P1 ， P2 ， P3 ， P4 ，它们的横坐标 x 依次为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从
第 9 题图
第 10 题图
2 的图像上，且线段 AB 过原点，过点 A 作 x x 轴的垂线段，垂足为点 C ， P 是线段 OB 上的动点，连结 CP ，设 △ ACP 的面积为 S ，则下 列说法正确的是（ ） B. S > 2 C. 1 < S < 2 D. 1 ≤ S ≤ 2 A. S > 1 11.如图，一艘轮船以 40 海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到 A 处时，发现它的北 偏东 30° 方向有一灯塔 B .轮船继续向北航行 2 小时后到达 C 处，发现灯塔 B 在它北偏东 60° 方向.若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？