云南省昆明三中、滇池中学2012—2013学年高二上学期期中考试数学(文理)试题

昆明滇池中学2012----2013学年高二上学期期中考
数学试卷（文/理科） 第Ⅰ卷(共36分,答在答题卡上)
一.选择题(本大题共12题,每小题3分,共36分) 1. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①.某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )
A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法
B. ①用分层抽样法，②用随机抽样法
C. ①用系统抽样法，②用分层抽样法
D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2. 命题 “320,10x R x x ∃∈-+>”的否定是（ ）
A ．32,10x R x x ∀∈-+≤，
B ．0x R ∃∈，3
2
10x x -+< C ．0x R ∃∈，3
2
10x x -+≤ D ．不存在32,10x R x x ∈-+> 3. 两条直线mx+y-1=0和2x+y+2=0互相平行的条件是( ) A.m=-2 B. m=1 C. m= -1 D. m=2
4.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球， 若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想获得中奖机会最大， 应选择的游戏盘是（ ）
5.如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（ ） A ．10 B ．22 C ．46 D ．94
6. 已知2z x y =-，式中变量x,y 满足约束条件13y x
x y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为（ ）
A. 3
B.5
C.6
D.8
7. 经过圆22
20x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A.10x y ++= B.10x y +-= C.10x y -+= D.10x y --=
8. 从一批产品中取出三件产品，设A= “三件产品全不是次品”，B= “三件产品全是次品”，C= “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A.A 与C 互斥
B.B 与C 互斥
C.任何两个事件均互斥
D.任何两个事件均不互斥 9. 已知直线l 的倾斜角为3
4π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 1与直线l 垂直，
直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )
A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
10. 对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10）得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ ）
（图1） （图2）
A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 11. 甲、乙两名同学在五次《数学基本能力》测试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙，则下列结论正确的是 ( )
A ．X 甲＞X 乙，甲比乙成绩稳定
B ．X 甲＞X 乙，乙比甲成绩稳定
C ．X 甲＜X 乙，甲比乙成绩稳定
D ．X 甲＜X 乙，乙比甲成绩稳定
12.已知函数：c bx x x f ++=2
)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：
(2)12
(2)4
f f ≤⎧⎨
-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为（ ） A ．
14 B ． 58 C ． 12
D ． 38
昆明滇池中学2012----2013学年高二上学期期中考
数学试卷（文/理科） 第Ⅱ卷(共64分,答在试卷上)
二.填空题(本大题共4题,每小题3分,共12分)
13．要从165个人中抽取15人进行身体检查，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这165人中老年人的人数为22人，则老年人中被抽到参加健康检查的人数是_________.
14．直线10x +=的倾斜角为__________.
15．设圆22450x y x +--=的弦的中点为P(3,1)则直线AB 的方程是__________ 16．已知直线:40l x y -+=与圆()()2
2
:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最大值为____。

三.解答题(本大题共6题,共52分)
17．（本题满分8分）求过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程。

18. （本题满分8分）求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线23y x =-上的圆的方程。

19．（本题满分8分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均
频率 组距
40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100后，画出如下部为整数）分成六段[)[)[)[)[)[]
分频率分布直方图。

观察图形，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图;
（2）若80分以上为优秀，估计这次考试的优秀率。

（3）估计这次考试的平均分。

20.（本题满分8分）央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3.5分钟，广告时间为0.5分钟，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？
21.（本题满分10分）（理科）设有关x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(文科)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.
（I）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（II）在（I）的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A考官进行面试，①请列举出抽取2名学生的所有可能；②请列举出第4组至少有一名学生被考官A面试的所有可能；③并求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.
22．（本题满分10分）已知圆C ：222430x y x y ++-+=
(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)从圆C 外一点P(x ，y)向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P 的轨迹方程．
昆明滇池中学2011----2012学年高二上学期期中考
数学试卷（文/理科）答案
一. 选择题
1.B
2.A
3.D
4.A
5.C
6.D
7.C
8.C
9.B 10.C 11. A 12.C 二. 填空题
13．2人 14. 56
π
15. x+y-2=0 16. 三. 解答题
17．（本题满分8分）求过点(2,4)A 向圆2
2
4x y +=所引的切线方程。

解：显然2x =(2分)为所求切线之一；另设4(2),420y k x kx y k -=--+-=（2分）
3
2,,341004k x y ==-+=
2x ∴=或34100x y -+=为所求。

（4分）
18. （本题满分8分）求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线23y x =-上的圆的方程。

解：设圆心为(,)x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上，（2分）
即4
23
x y x =⎧⎨
=-⎩得圆心为(4,5)（2分）
，r =（2分）22(4)(5)10x y ∴-+-=
（2分） 19．（本题满分8分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100后，画出如下部分频率分布直方图。

观察图形，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图;
（2）若80分以上为优秀，估计这次考试的优秀率。

（3）估计这次考试的平均分。

解：
（1）因为各组的频率和为1，所以第四组的频率
41(0.0250.015*20.010.005)*100.3f =-+++=---------(3分，其中图1分）
（2）依题意，60分及以上的分数所在的第五，六组的频率和为0.3
所以抽样学生的考试及格率为30%。

-----------------------------------2分 （3）平均分为
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=------- 3分
20. （本题满分8分）
央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为0.5分钟，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？
解：设电视台每周应播映片甲x 次， 片乙y 次，总收视观众为z 万人．
频率
组距
分数
42160.5 3.5,x y x y x y N +≤⎧⎪
+≥⎨⎪∈⎩
6020z x y =+ (4分) 由图解法可得：当x =3， y =2时，z max =220．（4分） 答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．
21. （本题满分10分）
（理科）设有关x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.
(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解析： 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．（2分）
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为
P(A)＝912＝3
4
. （2分）
(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，
构成事件A 的区域为{(a ，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，（3分）
所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×2
2
3×2＝2
3
. （3分）
(文科)某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.
（I ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （II ）在（I ）的前提下，学校决定在这6名学生中，随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，①请列举出抽取2名学生的所有可能；②请列举出第4组至少有一名学生被考官A 面试的所有可能；③并求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率.
解： （I ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:
第3组: 30
63
60⨯=人, …………1分 第4组: 20
6260⨯=人, ………… 1分 第5组: 10
6160⨯=人, …………1分
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人
（II ）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C , 则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:
121311121123212221313231121121(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)
A A A A A
B A B A
C A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C ………………………2分
其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有:
111221223132121121(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B B B B C B C 9种可能, …………2分
所以其中第4组的2位同学为12
,B B 至少有一位同学入选的概率为
93
155=…………3分
22．（本题满分10分）已知圆C ：x2＋y2＋2x －4y ＋3＝0.
(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)从圆C 外一点P(x ，y)向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P 的轨迹方程．
解：(1)由圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，得圆心坐标为 C(－1,2)，半径r ＝2， ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， ∴设直线l 的方程为x ＋y ＝a(a≠0)． ∵直线l 与圆C 相切， ∴|－1＋2－a|2
＝2，
∴a＝－1，或a＝3.
所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. （6分）(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，
又∵|PM|2＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，
∴2x－4y＋3＝0.
即所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0. （4分）。