05测量误差的基本知识

• 系统误差 • 偶然误差
2019/12/13
第五章测量误差的基本知识
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1．系统误差
系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
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一、中误差
式（5-3）定义的标准差是衡量精度的一种指标，是理论 上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实 际应用中，以有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为 中误差m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为：
mˆ[]
n
(56)
33
2
0.101
16
0.074
11
0.051
4
0.018
1
0.005
0
0
217 1.000
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从表5-1中可以看出，
该组误差的分布表现出如下规律： 小误差出现的个数比大误差多； 绝对值相等的正、负误差出现的个数和
频率大致相等； 最大误差不超过27″。
系统误差消减方法
1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
例：前后视距相等——水准测量中i角误差对h的影响、
球气差对h的影响及调焦所产生的影响。
盘左盘右取均值——经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂
直于VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。
水准测量往返观测取均值——仪器和尺垫下沉对h的影响。
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有斜线的矩形面积：
为误差出现在+6 +9 之间的频率(0.069)
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3、误差概率分布曲线----正态分布曲线
当直方图中： n →∞，d△各区间的频率也就趋于一 个完
全确定的数值——概率.
若d△ → 0时，则直方图成为误差概率曲线——正态分布
研究误差理论所解决的问题：
（1）在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值； （2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的 限度等； （3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确 定测量方法）。
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5.1.2、 测量误差的分类
测量误差按其性质可分为
例:对A边三次丈量值为56.882, 56.885, 56.884 后对 A边丈量了三次 为56.882, 56.883, 56.883，可以看出：
前者离散度大,精度低;后者离散度小，精度高。但为 了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。
评定精度的指标: 中误差、相对误差、极限误差和容许误差
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表5-1 三角形内角和真误差统计表
误差区间
正误差
负误差
合计
d△
0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 15″～18″ 18″～21″ 21″～24″ 24″～27″ 27″以上
合计
个数 k
30 21 15 14 12 8 5 2 1 0
108
频率 k/n
个 数k
0.138
系统误差的特点： 具有累积性，对测量结果影响较大，应 尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
例：水准测量中LL//CC产生 的i角误差对尺读数的影响：
即 = a´ – a = S tgi
随着S 的增长而加大----系统误差
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系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大， 必须消除
i
在数理统计中，(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零，用公式
表示：2019E/12(/1△3 )=0.
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4) 不同精度的误差分布曲线：
如图5-3：曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的两组误差 分布曲线。 曲线I 较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小， 因而观测精度较高。 曲线II较为平 缓，即离散度较 大，因而观测精 度较低。
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观测误差来源：来源于以下三个方面：
观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；仪器、 工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。
观测条件
观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变 化这三个方面综合起来称为～ 。
观测条件与观测成果精度的关系： 若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高； 若观测条件不好，则测量误差大，精度就低； 若观测条件相同，则可认为观测精度相同。
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2、直方图法
横坐标—以偶然误差为横坐标，
纵坐标—以频率 d△(频率/组距)为纵坐标，
在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，
各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率(K n )
所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1所示 统计表和直方图是偶然误差的实际分布。
2、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。
例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。
3、仔细检校仪器。
2例019/：12/1经3 纬仪的LL不垂第直五章于测量V误V差对的基测本知角识的影响
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2．偶然误差
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系 列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即 从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称 为 ～。
(53)
2) 误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布(见图5-2)
误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1
图5-2 的误差分 布曲线是对应
着某一观测条
件的，当观测
条件不同，其
相应的误差分
布曲线的形状
也随之改变。
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3) 偶然误差的四个特性
特性一 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不 会超过一定的限值；
的内角，每一个三角形内角和的真误差为三内角 观测值的和减去180°，
即：Δ=α+β+γ-180°。
• 将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区 间d△（如表5-1中的3″）；
• 统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率，
频率 = 个数k/总数n（n=217），得出统计表。
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误差理论研究的主要对象
在测量的成果中: 错误可以发现并剔除，
系统误差能够加以改正，
而偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占 主导地位，所以测量误差理论主要是处理偶然误 差的影响。
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5.1.3偶然误差的特性
偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机 误差
等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测 不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测
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研究误差理论的目的
由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论 不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生 和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一些实 际问题。
2
§5-1 测量误差概述
5.1.1 测量误差及其来源
误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差fh。 测量误差：观测值与相应真值之差。
观测值: 测量所获得的数值。
真误差(△)关系式
真误差 =观测值L –真值X ，
即 = L – X
例： =（L1+L2+L3）- 180°
或 = X – L （亦可）
产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感觉器官能 力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中 不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所 造成。
偶然误差的规律：偶然误差在测量过程中是不可避免的， 从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大 量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏 着统计规律。
29
0.097
20
0.069
18
0.065
16
0.055
10
0.037
8
0.023
6
0.009
2
0.005
0
0
0
0.498 109
频率 k/n
0.134 0.092 0.083 0.073 0.046 0.037 0.028 0.009
0 0
0.502
个 数k 频 率k/n
59
0.272
41
0.189
由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等
于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出 现的概率必然要小。
曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离 散度较小，因而观测精度较高。
曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而 观测精度较低。
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误差理论研究的主要对象——偶然误差
曲线。它服从于正态分布。
1) 正态分布曲线的方程式为：
f ()
1
2
e22
2
(52)
式中：△为偶然误差；
σ（>0）称为标准差，是与观测条件有关的一个参数。它 的大小可以 反映观测精度的高低。
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标准差σ定义为：
lim[]
n n
偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定
的201统9/12计/13规律，是服从于第五正章态测量分误差布的基的本随知识机变量。
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错误
测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现 错误（有时也称之为粗差）。
错误产生的原因：较多
可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、 读数被记录员记错、照错了目标等；
也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；
还有可能是容许误差取值过小造成的。
错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不 允许有错误存在。
发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测
条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各
种测量规范进行作业等。
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特性二 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出 现的概率大；
特性三 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相 同；
特性四 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平
均值趋近于零。即:

lim 0 n n
n
( 5 5 ) （ 1 2 n i ）
测量学 第五章
测量误差的基本知识
本章要点
1、测量误差概念（重点） 2、评定精度的标准（重点） 3、误差传播定律（重点） 4、等精度直接观测平差（难点）
目
录

第
第
第
第
四
三
二
一
接节
节
节
节
观 等 定 误的 评 概 测
测 精 律 差指 定 述 量
平度
传标 精
误
差直
播
度
差
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第五章测量误差的基本知识
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如图5-3中，曲线Ⅰ、Ⅱ对应着不同观测条件得出的 两组误差分布曲线。
当△=0 时，
f1()

1
1
2
f2()

2
1
2
上式是两误差分布曲线的峰值。
第Ⅰ其组中观曲测线的Ⅰ小的误峰差值出较现曲的线概Ⅱ率的较高第，Ⅱ即组σ1的<σ大2 ， 。故
偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具 有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变 量。
偶然误差分布的表示方法
表格法 直方图法 误差概率分布曲线----正态分布曲线
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1、 表格法
图5-J1
例如：
• 在相同观测条件下观测了217个三角形（见图5-J1）
在测量的成果中： 错误可以发现并剔除， 系统误差能够加以改正， 偶然误差是不可避免的，它在测量成
果中占主导地位， 测量误差理论主要是处理偶然误差的
影响。
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§5-2 评定精度的指标
精度——是指一组观测值的密集与离散程度，也 可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。
注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误 差出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同 的，因为中误差反映观测的精度：
只要观测条件相同，则中误差不变。
中误差代表的是一组观测值的误差分布。
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【例5-1】
有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为： 甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″； 乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。 试分析两组的观测精度。