2011届浦东新区二模数学理

浦东新区2011年高考预测
数学试卷（理科） 2011．4
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．若集合{}{}|(1)0,
|1P x x x Q x x =->=<，则= ▲ ．
2．函数的反函数为 ▲ ． 3．若复数满足（为虚数单位），则 ▲ ．
4．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则 ▲ ． 5．设为等差数列,若, 则的值为 ▲ ．
6．三阶行列式的第3行第2列元素的代数余子式的值为 ▲ ． 7．设是关于x 的方程（）的一个虚根，
89
1011121314条件为 ▲ ．
二、选择题(本大题共有4题，满分16分) 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相
应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15．方程 的解集为 （ ▲ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
16．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活
动小组的概率为 （ ▲ ）
（A ）4284612C C C （B ）33
84
6
12
C C C （C ）6
12
612C P （D ）42846
12
P P P 17．已知、为两个非零向量，集合，集合， 则是的 （ ▲ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 18．对于给定的自然数，如果数列满足：的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数
列原来顺序排列而得到，则称是“的覆盖数列”. 如1, 2, 1 是“2的覆盖数列”；1, 2, 2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2, 1，则以下四组数列中是“3的覆盖数列”为
（ ▲ ）
（A ）1, 2, 3, 3, 1, 2, 3 （B ）1, 2, 3, 2, 1, 3, 1 （C ）1, 2, 3, 1, 2, 1, 3 （D ）1, 2, 3, 2, 2, 1, 3
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域
内写出必要的步骤. 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知正方体，，为棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）； （2）求四面体的体积.
20．（本题满分14分，第（1）小题8分，第（2）小题6分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若恒成立，求的取值范围.
21．( 本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分)
某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度
1
（毫克/升）满足，其中()
()
()⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
-
≤
<
+
=
4
2
6
4
2
4
x
x
x
x
x
f，当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克
/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.
（1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?
（2）如果投放的药剂质量为，为了使在7天（从投放药剂算起包括第7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的值.
22．(本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分)已知动直线交圆于坐标原点和点，交直线于点，若动点满足，动点的轨迹C的方程为.
（1）试用k表示点、点的坐标；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由.（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）
①对称性；（2分）
②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；（2分）
③图形范围；（2分）
④渐近线；（3分）
⑤对方程，当时，函数的单调性.（3分）
23．（本题满分20分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题8分）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期. 例如当时是周期为1的周期数列，当时是周期为的周期数列.
（1）设数列满足（），（不同时为0），求证：数列是周期为的周期数列，并求数列的前2012项的和；
S，且.
（2）设数列的前项和为
n
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
S，试问是否存在、，使对任意的都有成立，若（3）设数列满足（），，，数列的前项和为
n
存在，求出、的取值范围；不存在，说明理由.
浦东新区2011年高考预测
数学试卷
2011．4
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚.
2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，
每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．若集合，则= ．
2．函数的反函数为（）．
3．若复数满足（为虚数单位），则．
4．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则= 4 ．
5．（理）设为等差数列,若,则的值为．
（文）设为等差数列,若,则的值为．
6．三阶行列式的第3行第2列元素的代数余子式的值为．
7．设是关于的方程（）的一个虚根，若表示数列的前项和，则的值是10 ．8．（理）在极坐标系中，曲线关于极轴的对称曲线的极坐标方程为．（文）已知变量x、y满足条件，则的最大值是7 ．
9．如图所示，对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次, 依次得到8个数据：
对上述数据按算法流程图执行，输出的S的值是____24____．
10．若，
则的值为．
11．一平面截一球得到面积为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的一半，则该球的表面积是．
12．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为．
13．设、为不同的两点，直线：，,以下命题中正确的序号为（1）（2）（3）(4) ．（1）不论为何值，点都不在直线上；
（2）若，则过的直线与直线平行；
（
3）若，则直线经过的中点；
（4）若，则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交.
14．（理）函数的图像关于任意直线对称后的图像依然为某函数图像，则实数
应满足的充要条件为．
（文）函数的图像关于任意直线对称后的图像依然为某函数图像，则值域为．
二、选择题(本大题共有4题，满分16分) 每题有且只有一个正确答案，考生
应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.
第9题
15．方程的解集为 （ C ）
16．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组,则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为 （ A ）
17.（理）已知，为两个非零向量，集合，集合，则是的 （ B ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件 （文）空间中一条线段在三视图中的长度分别为，则该线段的长度为 （ B ）
18．对于给定的自然数，如果数列满足：的任意一个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到，则称是“的覆盖数列”.如1,2,1 是“2的覆盖数列”；1,2,2则不是“2的覆盖数列”，因为删去任何数都无法得到排列2,1，则以下四组数列中是 “3的覆盖数列” 为 （ C ）
（A ）1,2,3,3,1,2,3 （B ）1,2,3,2,1,3,1 （C ）1,2,3,1,2,1,3 （D ）1,2,3,2,2,1,3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域
内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知正方体，，为棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）； （2）求四面体的体积. 解：（1）由知,
就是异面直线与所成角.……………………………………………………2分
连接，在中，， 所以.
即异面直线与所成的角为；…………………………………………6分 （利用空间向量同样给分）
（2）算出的面积.…………………………………………………………………8分
到平面的距离就是三棱锥的高，.…………………………………10分 该四面体的体积.…………………………………………12分 20．（本题满分14分，第（1）小题8分，第（2）小题6分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 解：（1）.……………………………………………………………2分
∴函数最小正周期是.……………………………………………………5分 当，即,
函数单调递增区间为.……………………………8分 （2）由恒成立，得恒成立.………………………9分
∵.…………………………………………………………………12分 ∴. 所以t 的取值范围为.……………………………14分
21．( 本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分)
1
某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度(毫克/升) 满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于(毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.
（1）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?
（2）如果投放的药剂质量为，为了使在7天之内（从投放药剂算起包括7天）的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的值.
解：（1）因为，所以,…………………………………………4分
当时显然符合题意.………………………………………………5分
当时，……………………………………………………6分
综上.……………………………………………………………………………7分
所以自来水达到有效净化一共可持续8天 (8)
分
（2）由=,…………………………………………10分
知在区间上单调递增，即，
在区间上单调递减，即，
综上，…………………………………………………………………14分
为使恒成立，只要且即可，即.
所以为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量应该为.……16分22．(理)(本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分)已知动直线交圆于坐标原点和点，交直线于点，若动点满足，动点的轨迹的方程为. （1）试用表示点、点的坐标；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）以下给出曲线的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）.
①对称性；（2分）
②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；（2分）
③图形范围；（2分）
④渐近线；（3分）
⑤对方程，当时，函数的单调性.（3分）
解：（1），得或，即点.
，得，即点.………………………………………4分
（2），则点的参数方程为（为参数）,
消去参数，得.………………………………………………8分
（3）①关于轴对称；
将方程中的换成，方程的形式不变，则曲线C关于轴对称.
②曲线C的顶点为（0，0）；
在方程中，令，得.则曲线C的顶点坐标为（0，0）.
③图像范围：；
，得.
④直线是曲线C的渐近线；
，，当时，. 则直线是曲线C的渐近线.
⑤当时函数在上单调递增；
. 设，则
.
则，即，所以当时函数在上单调递增.
22．(文)(本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分) 已知点在圆上运动，点在直线上运动，异于点的动点满足，.动点的轨迹的方程为. （1）试用点的坐标表示；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）以下给出曲线的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）.
①对称性；（2分）
②顶点坐标；（2分）
（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）
③图形范围；（2分）
④渐近线；（3分）
⑤对方程，当时，函数的单调性.（3分）
解：（1），，
因为，所以当时，；当时，.
因为，所以，则当时，；当时，.
综上可知，当时，；当时，，.……4分
（2）由点在圆上，则.
当时，，整理得，或（舍）
当时，点满足方程.
故，所求动点的轨迹的方程为. …………8分
（3）①关于轴对称；
将方程中的换成，方程的形式不变，则曲线C关于轴对称.
②曲线C的顶点为（0，0）；
在方程中，令，得.则曲线C的顶点坐标为（0，0）.
③图像范围：；
，得.
④直线是曲线C的渐近线；
，，当时，. 则直线是曲线C的渐近线.
⑤当时函数在上单调递增；
. 设，则
.
则，即，所以当时函数在上单调递增.
23（理）（本题满分20分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题8分）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.
（1）设数列满足（），（不同时为0），求证：数列是周期为的周期数列，并求数列的前2012项的和；
（2）设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足（），，，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.
（1）证明：又，
所以是周期为6的周期数列，…………………………………………………………2分.
所以.………………………4分
解：（2）当时，，又得.…………………………………6分
当时，，
即或.………………………………………………8分
①由有，则为等差数列，即，
由于对任意的都有，所以不是周期数列.………………………10分
②由有，数列为等比数列，即，
存在使得对任意都成立，
即当时是周期为2的周期数列.……………………………………12分（3）假设存在，满足题设.
于是又即，
所以是周期为6的周期数列，的前6项分别为，………14分
则（），………………………………………16分
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，……………………………………………………………18分
为使恒成立，只要，即可，
综上，假设存在，满足题设，，.………………………………20分
23（文）（本题满分20分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题8分）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.
（1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；
（2）设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足（），，，，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.
解：（1）由数列是周期为的周期数列，
且，即，………4分
（2）当时，，又得.……………………………………6分
当时，，
即或.…………………………………………………8分
①由有，则为等差数列，即，
由于对任意的都有，所以不是周期数列.……………………………10分
②由有，数列为等比数列，即，
即对任意都成立，
即当时是周期为2的周期数列.………………………………………12分（3）假设存在，满足题设.
于是又则.
所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为，……………14分
则，………………………………………………16分
当时，;
当时，;
当时，.
综上.…………………………………………………………………………18分为使恒成立，只要，即可，
综上，假设存在，满足题设，，.…………………………………20分。