人教课标版高中数学必修3《用样本估计总体(第1课时)》教学设计

2.2 用样本估计总体（第一课时）
一、教学目标
1.核心素养
通过用样本数据分布特征的表示形式，初步培养学生运用统计思想表述、思考和解决现实世界中的问题的能力.
2.学习目标
（1）频率分布表的作图.
（2）频率分布直方图的认识与理解.
（3）了解频率分布折线图和总体密度曲线.
（4）认识茎叶图.
3.学习重点
会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图、体会它们各自的特点.
4.学习难点
对总体分布概念的理解，统计思维的建立.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1
阅读教材P65-P69，思考如何根据样本数据作出频率分布表和频率分布直方图以及两种图形是如何反映样本分布的；了解频率分布折线图和总体密度曲线的由来？
任务2
阅读教材P70—71. 了解茎叶图的识图与作图.
2.预习自测
1.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直
方图所示.
()1直方图中x的值为；
()2在这些用户中，用电量落在区间[)
100,250内的户数为.
解：0.0044；40
2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（）
A.46，45，56
B.46，45，53
C.47，45，56
D.45，47，53
解：A
（二）课堂设计
1.知识回顾(回顾与本堂课相关的知识)
（1）必然事件：有些事件我们事先能肯定其一定会发生；
（2）不可能事件：有些事件我们事先能肯定其一定不会发生；
（3）随机事件：有些事件我们事先无法肯定其会不会发生；
（4）举出现实生活中随机事件，必然事件，不可能事件的案例.
2.问题探究
问题探究一频率分布表（★）
【问题】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费. 通过抽样调查，获得100位居民2007年的月均用水量如下表（单位：t）：
3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1.6
3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0.4
3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.8 3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6
4.1 3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3 3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.0 2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.3 2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.4 2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.4 2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.2
●活动一 上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的变化范围是什么？
分析：样本数据中的最大值和最小值的差称为极差.
●活动二 如果将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？各组数据的取值范围可以如何设定？
分析：以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，[0，0.5)，[0.5，1)，[1，1.5)，…，[4，4.5].
●活动三 如何统计上述100个数据在各组中的频数？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？
4频率分 1.00
100
合计
0.022[4，4.5] 0.044[3.5，4) 0.066[3，3.5) 0.1414[2.5，3) 0.2525[2，2.5) 0.2222[1.5，2) 0.1515[1，1.5) 0.088[0.5，1) 0.04[0，0.5)频数
频数组
分析：上表称为样本数据的频率分布表，由此可以推测该市全体居民月均用水量分布的大致情况，给市政府确定居民月用水量标准提供参考依据，这里体现了用样本的频率分布估计总体分布统计思想.
●活动四 如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超过标准，根据上述频率分布表，你对制定居民月用水量标准（即a 的取值）有何建议？ 分析：88%的居民月用水量在3t 以下，可建议取a=3.
●活动五 在实际中，取a=3t 一定能保证85%以上的居民用水不超标吗？哪些环节可能会导致结论出现偏差？对样本数据进行分组，其组数是由哪些因素确定的？
分析：分组时，组距的大小可能会导致结论出现偏差，实践中，对统计结论是需要进行评价的. 对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数越多.
问题探究二频率分布直方图.（★▲）
●活动一认识频率分布直方图
为了直观反映样本数据在各组中的分布情况，我们将上述频率分布表中的有关信息用下面的图形表示：
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
O
频率分布直方图中
小长方形的高
小长方形的面积表示什么？
所有小长方形的面积和等于多少？
分析：频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布情况，使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的数据模式，但原始数据不能在图中表示出来.
●活动二频率分布直返图反应样本数据的分布
你能根据上述频率分布直方图指出居民月均用水量的一些数据特点吗？
(1)居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的；
(2)大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少；
(3)居民月均用水量的分布有一定的对称性等.
●活动三频率分布直方图的作图步骤
样本数据的频率分布直方图是根据频率分布表画出来的，一般地，频率分布直方图的作图步骤如何？
第一步，画平面直角坐标系.
第二步，在横轴上均匀标出各组分点，在纵轴上标出单位长度.
第三步，以组距为宽，各组的频率与组距的商为高，分别画出各组对应的小长方形.
例1 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中x 的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________. 【知识点：频率分布直方图；数学思想：统计分布】
详解：(1)根据频率和为1，得(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x ＝0.004 4；
(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.
点拨：在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于这一组的频率，所有小矩形的面积之和为1.
问题探究三 频率分布折线图和总体密度曲线.（▲） ●活动一 认识频率分布折线图
在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图.你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗？
频率0.5组距0.40.30.20.1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 O
月均用水量/t
●活动二 总体密度曲线
当总体中的个体数很多时（如抽样调查全国城市居民月均用水量），随着样本容量的增加，作图时所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗？ 在上述背景下，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，
统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.那么图中阴影部分的面积有何实际意义？
●活动三 总体密度曲线的分析
当总体中的个体数比较少或样本数据不密集时，是否存在总体密度曲线？为什么？对于一个总体，能否通过样本数据准确地画出总体密度曲线？ 问题探究四 茎叶图.（▲）
●活动一 认识茎叶图
频率分布表、频率分布直方图和折线图的主要作用是表示样本数据的分布情况，此外，我们还可以用茎叶图来表示样本数据的分布情况.
【问题】某赛季甲、乙两名篮球运动员每场 比赛的得分情况如下： 甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16， 33，14，28，39； 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.
4 6 3 2
5甲
乙
83 6 83 8 9 10123
4
5
54
1 6 1 67 949
你能理解这个图是如何记录这些数据的吗？你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？
分析：在统计中，上图叫做茎叶图，它也是表示样本数据分布情况的一种方法，其中“茎”指的是哪些数，“叶”指的是哪些数？
例2 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( )
甲组 乙组 9 0 9 x 2 1 5 y 8 7
4 2
4
A.2,5
B.5,5
C.5,8
D.8,8
【知识点：茎叶图；数学思想：统计分布】
详解：由于甲组的中位数是15，可得x ＝5，由于乙组数据的平均数为16.8，得y ＝8. 点拨：茎和叶一起组成了样本数据中的原始数据. ●活动二 画茎叶图
对于样本数据：3.1，2.5，2.0，0.8，1.5，1.0，4.3，2.7，3.1，3.5，用茎叶图如何表示？
分析：茎叶图作图步骤
第一步，将每个数据分为“茎”和“叶”两部分；
第二步，茎按大小次序排成一列，写在左（右）侧；
第三步，叶按次序写在茎右（左）侧.
●活动三用茎叶图表示数据的分布情况是一种好方法，你认为茎叶图有哪些优点？
优点：（1）保留了样本原始数据；
（2）可以随时删减、增添样本数据.
缺点：不适合样本容量很大或茎、叶不分明的样本数据.
3.课堂总结(对课堂重点、难点知识进行梳理和归纳)
【知识梳理】
1.频率分布直方图
(1)作频率分布直方图的步骤
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图.
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图.
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
2.茎叶图
用茎叶图表示数据有两个突出的优点：
一是统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；
二是茎叶图可以随时记录，方便记录与表示.
【重难点突破】
1.易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为频率组距
.
2.在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.
4.随堂检测
1.(2013·福建高考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()
A.588
B.480
C.450
D.120
【知识点：频率分布直方图】
答案：B
2.下图是根据《山东统计年鉴2014》中的资料做成的2004年至2013年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到2004年至2013年我省城镇居民百户家庭人口的平均数为()
291158
302 6
310247
A.304.6
B.303.6
C.302.6
D.301.6
【知识点：茎叶图】
解：B
3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人.则n的值为________.
【知识点：频率分布直方图】.
解：100
4.一次数学测验后，从甲、乙两班各抽取9名同学的成绩进行统计分析，绘成茎叶图如图所示.据此估计两个班成绩的中位数的差的绝对值为()
甲乙
86372 5
7728139
329568
7109
A.8
B.5
C.4
D.2
【知识点：茎叶图】
解：D
（三）课后作业
基础型自主突破
1.下列说法不正确的是()
A.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率
B.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1
C.频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大
D.频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上端中点得到的
【知识点：频率分布直方图；数学思想：统计分布】
解：A
2.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是()
A.组距越大，频率分布折线图越接近于它
B.样本容量越小，频率分布折线图越接近于它
C.阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比
D.阴影部分的平均高度代表总体在(a，b)内取值的百分比
【知识点：频率分布直方图；数学思想：统计分布】
解：C
3.重庆市2013年各月的平均气温（o C）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）
A.19
B.20
C.21.5
D.23
【知识点：茎叶图】
解：B
4.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别(0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数12 13 24 15 16 13 7
A.0.13
B.0.39
C.0.52
D.0.64
【知识点：频数分布表】
解：C
5.100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下图所示，则时速在[60,70)的汽车大约有()
A.30辆
B.40辆
C.60辆
D.80辆
【知识点：频率分布直方图】
解：B
能力型师生共研
6.从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125,120, 122 ,105,130,114,116,95,120,134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
【知识点：频率的概念】
解：C
7.某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图).根据此图推测，这3000名同学
在该次数学考试中成绩小于60分的学生数为________名.
【知识点：频率分布直方图】
解：600 成绩小于60分的学生的频率为0.02＋0.06＋0.12＝0.20，可以推测3000名学生中成绩小于60分的人数为0.20×3000＝600(名).
8.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()
A.甲运动员的成绩好于乙运动员
B.乙运动员的成绩好于甲运动员
C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D.甲运动员的最低得分为0分
【知识点：茎叶图】
解：A从这个茎叶图可以看出甲运动员的得分大致对称，平均得分及中位数都是30多分；乙运动员的得分除一个52外，也大致对称，平均得分及中位数都是20多分.因此，甲运动员发挥比较稳定，总体得分.
情况比乙好.
探究型多维突破
10.某市2010年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103，
95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
分组频数频率
[41,51) 2 2 30
[51,61) 1 1 30
[61,71) 4 4 30
[71,81) 6 6 30
[81,91) 10 10 30
[91,101) 5 5 30
[101,111] 2 2 30
（1）完成频率分布表.
（2）作出频率分布直方图.
（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；
在51～100之间时为良；在101～150之间时，为轻微污染；
在151～200之间时，为轻度污染.
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
【知识点：频率分布直方图】
答案：（1）频率分布表：
（2）频率分布直方图如图所示.
（3）答对下述两条中的一条即可：
①该市有一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的1
15；有26天处于良的水平，
占当月天数的13
15；处于优或良的天数为28，占当月天数的
14
15.说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的1
15；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数15，加上处于
轻微污染的天数2，占当月天数的17
30，超过50%；说明该市空气质量有待进一步改善.
自助餐
1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数
分别为()
A.200,20
B.100,20
C.200,10
D.100,10 【知识点：样本数据分布】 解：A
2.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为
A.18
B.36
C.54
D.72 【知识点：频率分布直方图】 解：B
3.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
A.167
B.137
C.123
D.93 【知识点：扇形图】
解：B 该校女老师的人数是()11070%150160%137⨯+⨯-=.
4.某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是
0.04组距
频率0.05组距频率0.04组距频率0.04组距
频率0人数0.01
0.020.0351015202530354000.01
0.020.030.04510152025303540人数
0人数
0.01
0.020.0310
20
30
4000.01
0.020.0310203040人数
(B)(A)(C)(D)
【知识点：茎叶图，直方图】 解：A
5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.200,20
B.100,20
C.200,10
D.100,10
【知识点：条形图】
解：A 该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.
6.将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一 组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于 . 【知识点：频率分布直方图】 解：60
7.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .
【知识点：茎叶图】
解：4
8.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a＝.若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为.
【知识点：频率分布直方图】
解：0.030；3.
9.如图所示是总体的一样本频率分布直方图,且在[15,18)内的频数为8.
（1）求样本容量.
（2）在该直方图中,[12,15)内小矩形面积为0.06,求样本在[12,15)内的频数.
（3）在（2）条件下,求样本在[18,33]内的频率.
【知识点：频率分布直方图】
答案：（1）由题图可知,[15,18)对应纵轴数字为,且组距为3,又已知[15,18)内频数为8,故样本容量n=50.
（2）[12,15)内小矩形面积为0.06,即[12,15)内频率为0.06,且样本容量为50,故样本在[12,15)内的
频数为50×0.06=3.
（3）由(1)(2)知样本在[12,15)内的频数为3,在[15,18)内的频数为8,样本容量为50.
所以在[18,33]内的频数为50-3-8=39,在[18,33]内的频率为=0.78.
10.在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：
10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17.
在某报纸的一篇文章中，每个句子的字数如下：
27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22.
（1）将这两组数据用茎叶图表示；（2）将这两组数据进行比较分析，你会得到什么结论？
【知识点：茎叶图】
解：（1）
（2）电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间；而报纸上每个句子的字数集中在20～40
之间.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少.说明电脑
杂志作为科普读物需要通俗易懂、简明.
11.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
分组频数频率
[25,30]30.12
(30,35]50.20
(35,40]80.32
(40,45]n1f1
(45,50]n2f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，
至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.
【知识点：频率分布表，频率分布直方图】
解：（1）由所给数据知，落在区间(40,45]内的有7个，
落在(45,50]内的有2个，故n1＝7，n2＝2，
所以f1＝n1
25＝7
25＝0.28，f2＝
n2
25＝
2
25＝0.08.
（2）样本频率分布直方图如图.
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间
(30,35]的概率为0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间
(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.509 4，所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.590 4.。