人教A版数学必修第一册跟踪训练：4.4.3 不同函数增长的差异 Word版含解析

一、复习巩固
1．下列函数中随x 的增大而增大，且速度最快的是( ) A.1
10e x B ．y ＝10ln x 3 C ．y ＝x 10
D ．y ＝10·2x
解析：∵e>2，∴1
10e x 比10·2x 增大速度快，故选A.
答案：A
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )
A ．一次函数
B ．二次函数
C ．指数型函数
D ．对数型函数
解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢，只有对数函数的增长符合．故选D.
答案：D
3．今有一组数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v
1.5
4.40
7.5
12
18.01
A ．v ＝log 2t
B ．v ＝log 12
t
C ．v ＝t 2－1
2
D ．v ＝2t －2
解析：将t 的值代入四个函数，找出最接近v 的那个函数模型． 答案：C
4．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2＜x ＜4时，有( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 3＞y 2
D ．y 2＞y 3＞y 1
解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2＞y 1＞y 3.
答案：B
5．某同学最近5年内的学习费用y (千元)与时间x (年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A ．y ＝ax ＋b
B ．y ＝ax 2＋bx ＋c
C ．y ＝a ·e x ＋b
D ．y ＝a ln x ＋b
解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y ＝ax 2＋bx ＋c . 答案：B
6．某商品价格前两年递增20%，后两年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比较，变化情况是( )
A ．减少7.84%
B ．增加7.84%
C ．减少9.5%
D ．不增不减
解析：由题意，设商品原价格为a 元，则四年后的价格为a (1＋20%)2(1－20%)2＝a (1－0.04)2
＝0.921 6a .∴a －0.921 6a a
＝7.84%.故选A.
答案：A
7．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A ．分段函数
B ．二次函数
C ．指数函数
D ．对数函数
解析：由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数． 答案：A
8.某工厂10年来生产某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，下列四种说法：①前五年中产量增长的速度越来越快；②前五年中产量增长的速度为定值；③第五年后，这种产品停止生产；④第五年后这种产品的产量保持不变，其中说法正确的是________．
答案：②③
9．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
解析：将x ＝3分别代入y ＝x 2＋1及y ＝3x －1，得y ＝32＋1＝10，y ＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
答案：甲
10．进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大日利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．
解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为每个(10＋x )元，日销售量为(100－10x )个，则日利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x ≤10)
∴当x ＝4，即当日销售价定为每个14元时，日利润最大． 答案：14 二、综合应用
11.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设P 点运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )
解析：由题意：P 点在BC 上时，0≤x ＜4，S ＝4x
2＝2x ；
P 点在CD 上时，4≤x ≤8，S ＝4×4
2＝8；
P 点在DA 上时，8＜x ≤12，S ＝24－2x . 故选D. 答案：D
12．1994年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x %，设2015年底世界人口数为y (亿)，那么y 与x 的函数解析式为( )
A ．y ＝54.8(1＋x %)19
B ．y ＝54.8(1＋x %)21
C ．y ＝54.8(x %)19
D ．y ＝54.8(x %)20
解析：由题意：1995年底人口为54.8(1＋x %)， 1996年底人口为54.8(1＋x %)2， 1997年底人口为54.8(1＋x %)3， ……
∴2015年底人口为54.8(1＋x %)21，故选B. 答案：B
13．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．
解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M ，则M (1＋x )11＝a ·M ，∴x ＝11a －
1.
答案：
11a －1
14．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数；t 表示时间，单位：小时，y 表示细菌个数)，则k ＝________，经过5小时，1个细菌能繁殖________个．
解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴.
∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2.
当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 答案：2ln 2 1 024
15．某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R (x )＝5x －x 2
2(0≤x ≤5)万元，其中x 是
产品售出的数量(单位：百件)．
(1)把利润表示为年产量的函数f (x )；
(2)年产量为多少时，当年公司所得利润最大？ 解析：(1)设年产量为x (百件)，
当0≤x ≤5时，f (x )＝5x －x 2
2
－(0.5＋0.25x )；
当x >5时，销售收入为252万元，此时f (x )＝25
2
－(0.5＋0.25x )＝12－0.25x ，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
2＋194x －12，0≤x ≤5，
12－0.25x ，x >5.
(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－1
2(x －4.75)2＋10.781 25；
当x >5时，函数f (x )为单调递减函数． ∴当年产量为475件时，公司所得利润最大．
16．电信局为了满足客户的不同需要，设有A ，B 两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN ∥CD )试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠． 解析：由图可知M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD .
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )，则
f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 98(0≤x ≤60)，310x ＋80(x >60)，
f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
168(0≤x ≤500)，310x ＋18(x >500).
(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元． (2)因为f B (x ＋1)－f B (x ) ＝310(x ＋1)＋18－3
10x －18 ＝
3
10
＝0.3(元)(x >500)， 所以，方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图知，当0≤x ≤60时， 有f A (x )<f B (x )．
当x >500时，f A (x )>f B (x )，
当60＜x ≤500时，由f A (x )>f B (x )，得x >880
3
，
即当通话时间在(880
3
，＋∞)时，方案B 较方案A 优惠．。