【百强校】2015-2016学年广东仲元中学高一下期中数学试卷(带解析)

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【百强校】2015-2016学年广东仲元中学高一下期中数学试卷
（带解析）
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：137分钟；命题人：xxx
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项．
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（题型注释）
1、已知是所在平面内一点，D 为AB 的中点，若，
且与的面积相等，则实数
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、要得到
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A ．向右平移个单位，再向上平移个单位
B ．向左平移个单位，再向下平移个单位
D．向左平移个单位，再向下平移个单位
3、若函数，则图象的一个对称中心的坐标为（）
A． B． C． D．
4、函数是（）
A．最小正周期为的偶函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的奇函数
5、在边长为的正方形中，点满足,,则的最大值（）
A． B． C． D．
6、向量，则（）
A．∥
B．⊥
C．与的夹角为60°
D．与的夹角为30°
7、已知，则（）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
9、已知角的终边经过点，则的值为（）
A． B． C． D．
10、在四边形中，，则下列结论一定正确的是（）A．一定是矩形
B．一定是菱形
C．一定是正方形
D．一定是平行四边形
11、已知一个扇形的周长是半径的倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A． B． C． D．
12、°的角所在象限是（）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
第II卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13、已知，是线段上一点，且,若
,则，．
14、已知向量与向量平行，则锐角等于．
15、计算sin 15°＋sin 75°＝________．
16、已知平面向量，则_________．
三、解答题（题型注释）
17、已知函数
（1）求的值；
（2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的最大值；
（3）若关于的方程在区间内有两个实数根，分别求实数与的取值范围．
18、已知，
（1）若，求的值；（2）若，求的单调递增区间．
19、已知向量
（1）若，求的值；
（2）若，求
的值．
20、已知某海滨浴场海浪的高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y ＝f （t ），下表是某日各时的浪高数据：
经长期观测，y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数
（1）根据以上数据，求函数
的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
21、已知向量且
（1）求实数
的值；
（2）求向量与的夹角．
22、已知函数
.
（1）利用“五点法”画出函数在闭区间上的简图（先在答题卡中所给
的表格中填上所需的数值，再画图）； （2）当
时，求函数
的最大值和最小值及相应的的值．
参考答案1、B
2、B
3、C
4、A
5、A
6、B
7、C
8、C
9、D
10、D
11、C
12、C
13、，
14、
15、
16、
17、（1）；（2）；（3）
18、（1）；（2）
19、（1）；（2）
20、（1）；（2）上午9∶00至下午3∶00．
21、（1）；（2）
22、（1）详见解析；（2）函数取得最大值时对应的的值为，取得最小值时对应的的值为．
【解析】
1、试题分析：∵为的中点，∴，又∵
，∴，∴，又∵与的面积相等，∴为的中点，即，故选：B．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
【思路点睛】本题考查平面向量的基本定理，通过为的中点可得，利用化简可得，通过与的面积相等可得为的中点，进而可得结论．
2、试题分析：函数，所以只需把函数的图象，向左平移个长度单位，再向下移动1各单位，即可得到函数
的图象．
考点：函数的图象变换．
【思路点睛】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意诱导公式的合理运用．先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原
则可确定函数到函数的图像，即可得到选项．
【方法点睛】三角函数图象变换：
（1）振幅变换
（2）周期变换
（3）相位变换
（4）复合变换
.
3、试题分析：令，所以，所以图象的一
个对称中心的坐标为.
考点：正弦函数的性质.
4、试题分析：，所以函数
是最小正周期为的偶函数.
考点：1.余弦的二倍角公式；2.三角函数的性质.
5、试题分析：
，，所以当时，的最大值为4.
考点：平面向量的数量积.
6、试题分析：.
考点：平面向量的数量积的坐标运算.
7、试题分析：
，故选C. 考点：1.同角的基本关系；2.正弦的二倍角公式.
8、试题分析：作出函数的图象，
∵，由图知，．又，所以，
可得的取值范围是.
考点：正弦函数的单调性．
9、试题分析：由任意角的三角函数公式可知，.
考点：任意角的三角函数.
10、试题分析：在四边形中，∵，，即，且，如图所示；
∴四边形是平行四边形．
考点：向量的加法及其几何意义．
11、试题分析：设该扇形的半径为，由弧度制的定义可知，该扇形的圆心角的弧度数
为.
考点：弧度制.
12、试题分析：由象限角得定义可知，°的角所在象限是第三象限角.
考点：象限角.
13、试题分析：∵；∴；∴；
∴又；∴，．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】本题主要考查平面向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由得到
，这即可得到，从而可以求出和的值．
14、试题分析：向量与向量平行，所以
，所以，
又为锐角，所以.
考点：1.平面向量平行的坐标运算公式；2.任意角的三角函数值.
【思路点睛】向量与向量平行，根据平面向量平行的坐标运算公式，可得，然后再根据三角函数值，所以
，又为锐角，即可求出结果.
15、试题分析：
. 考点：三角恒等变换.
16、试题分析：.
考点：向量的模.
17、试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入即
可．（2）根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定的范围．（3）把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定的范围，根据函数的对称，求
得的值，进而表示出的表达式，利用二次函数的性质确定其范围．
试题解析：解：（1）∵
∴
（2）由
得
∴在区间上是增函数
∴当时，在区间上是增函数
若函数在区间上是单调递增函数，则
∴，解得
∴的最大值是
（3）解法1：方程在区间内有两实数根等价于
直线与曲线（）有两个交点.
∵当时，由（2）知在上是增函数，在上
是减函数，
…9分
且
∴即实数的取值范围是
∵函数的图象关于对称∴．
∵，∴．∴.
∵函数在内递增
∴∴
所以的取值范围为．
解法2：设，则，
方程在区间内有两实数根等价于
直线与曲线，有两个交点.
在上是增函数，在上是减函数，
且
∴，即实数的取值范围是
考点：1.函数中的恒等变换应用；2.三角函数的单调性．
18、试题分析：（1），化简可得；然后再利用两角和的正切公式即可求出结果；（2）
然后再根据正弦函数的性质，即可求出结果.
试题解析：解：（1），
故；
所以
（2）
令
所以的单调递增区间是
考点：1.平行向量平行的坐标运算公式；2.三角函数的性质.
【方法点睛】三角函数的一般性质研究：1.周期性：根据公式
可求得；2.单调性：令，解出不等式，
即可求出函数的单调递增区间；令，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令或
，即可求出函数取最大或最小值时的取值集合.
19、试题分析：（1）由可知，，所以，然后再利用同角的基本关系，即可求出结果；（2）由可得，
，化简可得，①，又
，且②，可解得，再利用两角和公式即可求出结果.
试题解析：解：（1）由可知，，所以，所以
（2）由可得，
，
即，①
又，且②，
由①②可解得，
所以．
考点：1.同角的基本关系；2.两角和差的正弦公式.
20、试题分析：（1）设函数，从表格中找出同和是同一个周期内的最小值点和最大值点，由此算出函数的周期
并得到，算出和，最后根据时函数有最小值解出
，从而得到函数近似表达式；
（2）根据（1）的解析式，解不等式，可得，取，将得到的范围与对照，可得从点到点共小时的时间可供冲浪者进行运动．
试题解析：解：（1）由表中数据知周期T＝12，∴，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴．
（2）由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴cos t＋1＞1，
∴cos t＞0，∴2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.①
∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24．
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，
即上午9∶00至下午3∶00．
考点：三角函数的图像与性质．
21、试题分析：（1）由已知首先求出的坐标，然后利用向量垂直的数量积公式
关于的方程，解之，即可求出结果；（2）由（1）可知,然后利用数量积公式求夹角．
试题解析：解: （1）∵,
∴．
∵,
∴
解得．
（2）由（1）知,
∴,
,
∴．
∵，
∴．
考点：数量积表示两个向量的夹角．
22、试题分析：（1）利用“五点作图法”即可列出表格，作出图像；（2）
，
由图像可知，当，即时，函数取得最大值，当，
即时，函数取得最小值.
试题解析：解：（1）列表如下
（2）
由图像可知，当，即时，函数取得最大值，
当，即时，函数取得最小值，
函数取得最大值时对应的的值为，函数取得最小值时对应的的值为．
考点：1.五点法作函数的图象；2.正弦函数的图象．
【方法点睛】①函数的图象在上的五个关键点的坐标为：，
，，，；函数的图象在上的五个关键点的坐标为：，，，，．。