2008-2012黑龙江省高考数学(理科)试卷

1 3
D． −
1 2
12．已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆 心距等于（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2
2008 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ) 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 13．设向量 a = (1，， 2) b = (2， 3) ，若向量 λ a + b 与向量 c = (−4， − 7) 共线，则 λ = ．
n *
104
．
D1 A1 B1
C1
E C B
（Ⅰ）设 bn = S n − 3 ，求数列 {bn } 的通项公式；
n
A
（Ⅱ）若 an +1 ≥ an ， n ∈ N ，求 a 的取值范围．
*
21． （本小题满分 12 分） 设椭圆中心在坐标原点， A(2，， 0) B(0， 1) 是它的两个顶点，直线 y = kx(k > 0) 与 AB 相交于点 D，与椭圆 相交于 E、F 两点．
4
10 000ξ + 50 000 ，
η = 10 000a − (10 000ξ + 50 000) ，
Eη = 10 000a − 10 000 Eξ − 50 000 ， ······················································ 9 分
−3 −3
参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 球的表面积公式
P ( A + B) = P( A) + P( B)
如果事件 A，B 相互独立，那么
S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径
P ( A B) = P( A) P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么
球的体积公式
V=
4 3 πR 3
-1-
2008 年普通高等学校招生全国统一考试（黑龙江） 理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 10 页．考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案标号．不能答在试题卷上． 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k Pk (k ) = Cn p (1 − p) n − k (k = 0， 1， 2， L，n)
其中 R 表示球的半径
一、选择题 1．设集合 M = {m ∈ Z | −3 < m < 2} ， N = {n ∈ Z | −1≤ n ≤ 3}，则M I N = （ A． {0， 1} B． {−1， 0， 1} C． {0， 1， 2}
3．函数 f ( x) =
1) a = ln x，b = 2 ln x，c = ln x ，则（ 4．若 x ∈ (e ，，
3
−1
） D． b < c < a
A． a < b < c
B． c < a < b
C． b < a < c
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⎧ y ≥ x， ⎪ 5．设变量 x，y 满足约束条件： ⎨ x + 2 y ≤ 2， ，则 z = x − 3 y 的最小值（ ⎪ x ≥ −2． ⎩
．
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的 一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： ； 充要条件① 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． （本小题满分 10 分） 在 △ ABC 中， cos B = − （Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）设 △ ABC 的面积 S△ ABC =
10 ) 知， Eξ = 10 000 ×10 ， 由 ξ ~ B (10 ， Eη = 104 a − 104 Eξ − 5 × 104
= 104 a − 104 ×104 × 10−3 − 5 × 104 ．
Eη ≥ 0 ⇔ 104 a − 104 × 10 − 5 × 104 ≥ 0
⇔ a − 10 − 5 ≥ 0
3．C 9．B
4．C 10．C
5．D 11．A
6．D 12．C
5． 3 + 2 2
16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解： （Ⅰ）由 cos B = −
5 12 ，得 sin B = ， 13 13 4 3 由 cos C = ，得 sin C = ． 5 5 33 ． ··············································· 5 分 65
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-6-
． ⇔ a ≥15 （元） 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元．·········································································· 12 分 19．解法一： 依题设知 AB = 2 ， CE = 1 ． （Ⅰ）连结 AC 交 BD 于点 F ，则 BD ⊥ AC ． 由三垂线定理知， BD ⊥ A1C ． ····························································································· 3 分 在平面 A1CA 内，连结 EF 交 A1C 于点 G ， 由于
P ( A) = 1 − P ( A)
= 1 − P(ξ = 0)
= 1 − (1 − p )10 ，
又 P ( A) = 1 − 0.999
104
4
，
故 p = 0.001 ．·························································································································· 5 分 （Ⅱ）该险种总收入为 10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 盈利 盈利的期望为
）
A． −2 B． −4 C． − 6 D． −8 6．从 20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的 概率为（ ） A．
9 29
B．
10 29
C．
19 29
D．
20 29
）
7． (1 − A． −4
x )6 (1 + x ) 4 的展开式中 x 的系数是（
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14．设曲线 y = e 在点 (0， 1) 处的切线与直线 x + 2 y + 1 = 0 垂直，则 a =
ax
2
．
15．已知 F 是抛物线 C：y = 4 x 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A，B 两点．设 FA > FB ，则
FA 与 FB 的比值等于
5 4 ， cos C = ． 13 5 33 ，求 BC 的长． 2
18． （本小题满分 12 分） 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可 以获得 10 000 元的赔偿金． 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险， 且各投保人是否出险相互独立． 已 知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 − 0.999 （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率 p ； （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位 投保人应交纳的最低保费（单位：元） ． 19． （本小题满分 12 分） 如图，正四棱柱 ABCD − A1 B1C1 D1 中， AA1 = 2 AB = 4 ，点 E 在 CC1 上且 C1 E = 3EC ． （Ⅰ）证明： A1C ⊥ 平面 BED ； （Ⅱ）求二面角 A1 − DE − B 的大小． 20． （本小题满分 12 分） 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ．已知 a1 = a ， an +1 = S n + 3 ， n ∈ N ． D
18．解： 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ，记投保的 10 000 人中出险的人数为 ξ ， 则 ξ ~ B (10 ，p ) ．
4
（Ⅰ）记 A 表示事件：保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金，则 A 发生当且仅当 ξ = 0 ， ···················································································································································· 2 分
所以 sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C = （Ⅱ）由 S△ ABC =
33 得 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 33 ， × AB × AC × sin A = 2 2
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由（Ⅰ）知 sin A = 故 又 故 所以
33 ， 65 AB × AC = 65 ， ···································································································· 8 分 AB × sin B 20 AC = = AB ， sin C 13 20 13 AB 2 = 65 ， AB = ． 13 2 AB × sin A 11 BC = = ．····················································································· 10 分 sin C 2
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（Ⅰ）若 ED = 6 DF ，求 k 的值； （Ⅱ）求四边形 AEBF 面积的最大值． 22． （本小题满分 12 分） 设函数 f ( x) =
uuu r
uuur
sin x ． 2 + cos x
（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间； （Ⅱ）如果对任何 x ≥ 0 ，都有 f ( x) ≤ ax ，求 a 的取值范围．
B． − 3 C．3 D．4
8．若动直线 x = a 与函数 f ( x) = sin x 和 g ( x) = cos x 的图像分别交于 M ，N 两点，则 MN 的最大值为 （ A．1 ） B． 2 C． 3 D．2 ）
x2 y2 9．设 a > 1 ，则双曲线 2 − = 1 的离心率 e 的取值范围是（ a (a + 1) 2
A． ( 2， 2) B． ( 2，5) C． (2， 5) D． (2，5)
10．已知正四棱锥 S − ABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成的角的余弦 值为（ ） A．
1 3
B．
2 3
C．
3 3
D．
2 3
11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x + y − 2 = 0 与 x − 7 y − 4 = 0 ，原点在等腰三角形的底边上， 则底边所在直线的斜率为（ A．3 B．2 ） C． −
2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修 + 选修Ⅱ）参考答案和评分参考
评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分 的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 1．B 2．A 7．B 8．B 二、填空题 13．2 14．2
3
）
D． {−1， 0， 1， 2} ）
2 2
2．设 a，b ∈ R 且 b ≠ 0 ，若复数 ( a + bi ) 是实数，则（ A． b = 3a
2 2
B． a = 3b
2
2
C． b = 9 a
2
2
D． a = 9b
1 ） − x 的图像关于（ x B． 直线 y = − x 对称 A． y 轴对称 C． 坐标原点对称 D． 直线 y = x 对称