黄石港区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

黄石港区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
一、选择题
1． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25
，则=（ ） A ．3﹣4i
B ．3+4i
C ．﹣3﹣4i
D ．﹣3+4i
2． 集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A ∩B ，则集合S 的子集有（ ）
A ．2个
B ．3 个
C ．4 个
D ．8个
3． ()()
2
2f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）
A ．0a > B
．0a <<
C ．02a <<
D ．以上都不对
4． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）
A
． B
． C
．1: D
(1 5． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
6． 数列中，若
，，则这个数列的第10项（ ） A ．19
B ．21
C ．
D ．
7． 已知抛物线2
8y x =与双曲线22
21x y a
-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5MF =，则该双曲
线的渐近线方程为
A 、530x y ±=
B 、350x y ±=
C 、450x y ±=
D 、540x y ±=
8． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A
．
= B
．
∥ C
． D
．
10
．双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
11．若方程C ：x 2
+
=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆
B ．∀a ∈R ﹣，方程
C 表示双曲线
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆
D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线
12．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量=（m ，n ），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．
14．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ． 15．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
16．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________．
【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
17．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．
18．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .
【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.
三、解答题
19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x （个） 2 3 4 5 加工的时间y （小时）
2.5
3
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
参考公式：回归直线=bx+a ，其中b==，a=﹣b ．
20．已知函数f （x ）=x 3+2bx 2+cx ﹣2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y=5x ﹣10． （1）求函数f （x ）的解析式；
（2）设函数g （x ）=f （x ）+mx ，若g （x ）的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g （x ）取得极值时对应的自变量x 的值．
21．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC 的面积．
22．（本题满分15分）
设点P 是椭圆14
:2
21=+y x C 上任意一点，
过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ，B 两点．
（1）求证：PB PA =；
（2）OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
23．已知复数z 的共轭复数是，且复数z 满足：|z ﹣1|=1，z ≠0，且z 在复平面上对应的点在直线y=x 上．
求z 及z 的值．
24． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线⊥AF 平面ABCD ，AB EF //，
12,2====EF AF AB AD ，点P 在棱DF 上.
（1）求证：BF AD ⊥；
（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （3）若FD FP 3
1
=
，求二面角C AP D --的余弦值.
25．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．
26．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC∩BD=N，PD⊥平面ABCD，
PD=AD=2EC，EC∥PD．
（Ⅰ）求异面直线BD与AE所成角：
（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅲ）判断平面PAD与平面PAE是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．
黄石港区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
解析：∵（3+4i ）z=25，z===3﹣4i ．
∴=3+4i ． 故选：B ．
2． 【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}， ∴集合S=A ∩B={1，3}，
则集合S 的子集有22
=4个，
故选：C ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()
2
2f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则
(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用. 4． 【答案】D 【解析】
考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的简单性质.
【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.
5．【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，
故选A．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．
6．【答案】C
【解析】
因为，所以，所以数列构成以为首项，2为公差的等差数列，通项公式为，所以，所以，故选C
答案：C
7．【答案】Ａ
【解析】：依题意，不妨设点M在第一象限，且Mx0，y0，
由抛物线定义，|MF|＝x0＋p
2
，得5＝x0＋2.
∴x0＝3，则y20＝24，所以M3，26，又点M在双曲线上，
∴32
a2－24＝1，则a 2＝9
25
，a＝3
5
，
因此渐近线方程为5x±3y＝0. 8．【答案】A
【解析】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，
则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；
而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，
显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数．
由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0””的充分不必要条件．
故选：A．
9．【答案】D
【解析】解：由图可知，，但不共线，故，
故选D．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
10．【答案】D
【解析】解：双曲线：的a=1，b=2，c==
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==
故选D
11．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确
∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
12．【答案】A
【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有36种可能，
而使⊥的m，n满足m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；
由古典概型公式可得⊥的概率是：；
故选：A．
【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t ）·（－1） ＝4－t ＝2，∴t ＝2. 答案：2
14．【答案】 35 ．
【解析】解：∵2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1）， ∴数列{a n }为等差数列，
又a 2+a 8=6，∴2a 5=6，解得：a 5=3， 又a 4a 6=（a 5﹣d ）（a 5+d ）=9﹣d 2=8， ∴d 2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴a n =a 5+（n ﹣5）×1=3+（n ﹣5）=n ﹣2． ∴a 1=﹣1， ∴S 10=10a 1+=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{a n }为等差数列，并求得a n =2n ﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
15．【答案】 3 ．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，
∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
16．【答案】(1,2)-，(,5)-∞.
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，2
2
(1)(2)5x y m -++=-，∴圆心坐标(1,2)-， 而505m m ->⇒<，∴m 的范围是(,5)-∞，故填：(1,2)-，(,5)-∞.
17．【答案】 [] ．
【解析】解：由题设知C 41p （1﹣p ）3≤C 42p 2（1﹣p ）2
，
解得p ，
∵0≤p ≤1，
∴
，
故答案为：[
]．
18．【答案】222x y +=
【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线2x y +=的距离，所以
r d ==
=，故圆的方程为222x y +=. 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）作出散点图如下：
…（3分）
（2）=（2+3+4+5）=3.5， =（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）
=54，
x i y i =52.5
∴b=
=0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05， ∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分） （3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f （2）=0， 即4b+c+3=0．①
f ′（x ）=3x 2+4bx+c ，由已知，f ′（2）=12+8b+c=5． 得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f （x ）=x 3﹣2x 2
+x ﹣2．
（2）g （x ）=x 3﹣2x 2
+x ﹣2+mx ，
g ′（x ）=3x 2﹣4x+1+，令g ′（x ）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x 2
﹣4x+1+=0有实根，
由△=4（1﹣m ）≥0，得m ≤1．
①当m=1时，g ′（x ）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g ′（x ）＞0，故函数g （x ）无极值． ②当m ＜1时，g ′（x ）=0有两个实根，
x 1=（2﹣
），x 2=（2+
），
x g ′x g x
当x=（2﹣）时g （x ）有极大值；
当x=（2+
）时g （x ）有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
21．【答案】
【解析】解：（I ）∵sin 2
B=2sinAsinC ，
由正弦定理可得：
＞0，
代入可得（bk ）2
=2ak •ck ， ∴b 2
=2ac ，
∵a=b ，∴a=2c ，
由余弦定理可得：cosB=
==．
（II ）由（I ）可得：b 2
=2ac ，
∵B=90°，且a=，
∴a 2
+c 2=b 2
=2ac ，解得a=c=
．
∴S △ABC =
=1．
22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分
（2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，
故122
-=∆t S OAB ，…………9分
若直线AB 斜率存在，由（1）可得
148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，1
41141222212
+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分
点O 到直线AB 的距离2
22
1141k
k k
m d ++=
+=，…………13分
∴122
1
2-=⋅=
∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 23．【答案】
【解析】解：∵z 在复平面上对应的点在直线y=x 上且z ≠0，
∴设z=a+ai ，（a ≠0），
∵|z ﹣1|=1， ∴|a ﹣1+ai|=1，
即
=1， 则2a 2
﹣2a+1=1，
即a 2
﹣a=0，解得a=0（舍）或a=1， 即z=1+i
， =1﹣i ， 则
z =（1+i ）（1﹣i ）=2．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义利用待定系数法是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.
（3）因为⊥AB 平面ADF ，所以平面ADF 的一个法向量)0,0,1(1=n .由3
1
=知P 为FD 的三等分点且此时)32,32,
0(P .在平面APC 中，)3
2
,32,0(=，)0,2,1(=AC .所以平面APC 的一个法向量)1,1,2(2--=n .……………………10分
所以3
6
|
||||,cos |212121=
=
><n n n n ，又因为二面角C AP D --的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为3
6
.……………………………………………………………………12分 25．【答案】
【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x 2+（y+7）2
=25，
所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…
因为直线l 被圆所截得的弦长是，
所以，弦心距为
，
即圆心到所求直线l 的距离为
．…
因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．
所以圆心到直线l的距离为，…
因此，
解得b=﹣2，或b=﹣12．…
所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．
即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…
【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．
26．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）PD⊥平面ABCD，EC∥PD，
∴EC⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，
∴EC⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，
∴AC⊥BD，
又∵AC∩EC=C，AC，EC⊂平面AEC，
∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥AE，
∴异面直线BD与AE所成角的为90°．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，
∴BC∥AD，
∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵EC∥PD，EC⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EC∥平面PAD，
∵EC∩BC=C，EC⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，∴
∴平面BCE∥平面PAD，
∵BE⊂平面BCE，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，
∵PD⊥平面ABCD，AD CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD，
∵PD=AD，F是PA的中点，
∴DF⊥PA，
∴∠PDF=45°，
∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF⊂平面PAD，
∴DF⊥平面PAE，
∴DF⊥PE，
∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD．
又DF⊂平面PAD，
∴DF⊥CD，
∵PD=2EC，EC∥PD，
∴PE与CD相交，
∴DF⊥平面PDCE，
∴DF⊥PD，
这与∠PDF=45°矛盾，
∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．
【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．。