高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》全集汇编及答案

【最新】数学《平面向量》专题解析
一、选择题
1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu r =2，则△ABC 的面积为（ ）
A ．2
B ．32
C ．22
D ．42
【答案】C
【解析】 【分析】
利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积．
【详解】 在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ， 可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 223=， BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，
∴△ABC 的面积为：
1122622acsinB =⨯⨯=22． 故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力． 2．如图，在ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u v u u u v ，1AD =u u u v ，则AC AD ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．3
B 3
C 3
D 3【答案】D
【解析】 ∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ，∴
(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，
又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r ，
∴
33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，
故选D ．
3．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v
（） A ．4
B ．6
C ．23
D ．43 【答案】B
【解析】
【分析】 根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=，
∴23BD =30BDC ∠=︒，
∴|||3 302|3262
BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯
=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.． 4．已知6a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r r r r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．2
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】 根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r 方向上的投影a b b ⋅r r r . 【详解】
()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ，
即2220b a a b -+=r r r r g .
2,8a b a b ==∴=r r r r Q g ，
所以a r 在b r 方向上的投影为4a b b
⋅=r r r . 故选：D .
【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题.
5．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r 方向上的投影为( )
A ．165-
B ．165
C ．1613-
D ．1613
【答案】C
【解析】
【分析】 先计算出16a b r r ⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r r 可得 【详解】 ()4,3a =r Q ，()5,12b =-r ，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r ， 则向量a r 在b r 方向上的投影为1613a b b
⋅-=r r r ， 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r 的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r r
6．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r ，P 为BD 上一点，若14
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值（ ）
A ．34
B ．320
C ．316
D ．38
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可得出144λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定理，即可求出λ.
【详解】
解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ， 所以144
λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ， 由于B ，P ，D 三点共线，
所以1414λ+
=， ∴316
λ=． 故选：C.
【点睛】 本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.
7．若向量a b r r ，的夹角为3
π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．12- B ．12 C 3D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，
可得20t a a b ⋅+⋅=r r r ，即可得出答案.
【详解】
由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .
即22b a b =⋅r r r ，也即22cos 3
b a b π=r r r ，所以b a =r r .
又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ⋅+=r r r ，即20t a a b ⋅+⋅=r r r .
所以2
2211
22b
a b t a b ⋅=-=-=-r r r r r
故选：A
【点睛】
本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.
8．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v 方向上的投影为
A ．13
B ．2
2 C ．1 D ．65
【答案】C 【解析】
【分析】 根据a v 在b v 方向上的投影定义求解.
【详解】
a v 在
b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)38
1(3,4)5a b b ⋅⋅--+===-r r r ，
选C.
【点睛】
本题考查a v 在b v 方向上的投影定义，考查基本求解能力.
9．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r （
）
A ．2136a b -r
r
B ．1133a b +r r
C ．1124a b +r r
D ．1133a b -r r
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】
1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r 2136a b =-r r
.
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
10．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r ，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.
【详解】 解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r ，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C.
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题. 11．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【解析】
【分析】
由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用数量积的分配律即得解. 【详解】
AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，
()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：C
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r ，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ）
A ．1005
B ．1006
C ．2010
D ．2012 【答案】A
【解析】
【分析】 根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.
【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ；
∴{a n }为等差数列； 由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线；
∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，
∴S 2010()
12010201020101100522
a a +⨯===. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
13．已知向量m =r (1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-r ，且m r ⊥n r
，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）
A ．12
B ．2
C ．
D ．﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据m r ⊥n r 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ
+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.
【详解】 因为向量m =r (1，cosθ)，n =r (sinθ，﹣2)， 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r 因为m r ⊥n r ，
所以sin 2cos 0θθ-=，即tanθ=2，
所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141
sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选：B.
【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.
14．已知椭圆C ：2
212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v ，则AF u u u v ＝( )
A
B ．2
C
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v ，得043x =，013
y n =，根据点
B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得
AF =u u u v 【详解】
根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212
x y += ，知22a =，21b =，21c =， 即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v ，得()()001,31,n x y =-．
所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=， 得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=
故选A
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键. 15．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB BC
=u u u v u u u v （ ） A ．1 B ．22 C ．32 D ．62【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v
可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．
【详解】
由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v
（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠， 又因为2BC CA CA AB ⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v 即
2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C
BC A BC A BC ⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuv uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）
所以AB BC =uu u v uu u v 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算． 16．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为 A ．12 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】 因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r
，所以||1a b -===r r ，故选B. 点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
17．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ）
A ．4
B
． C ．2 D
【答案】A
【解析】
【分析】
画出图像，设
222
112
112 ,,,,, 444
y
y y
A y
B y
C y
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12
y y
>，由90
ACB
∠=︒可求
22
12
16
y y
-=，结合
22
12
44
y y
CD=-即可求解
【详解】
如图：设
222
112
112
,,,,,
444
y y y
A y
B y
C y
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12
y y
>，由90
ACB
∠=︒可得0
CA CB
⋅=
u u u r u u u r
，
2222
1212
1212
,,,
44
y y y y
CA y y CB y y
⎛⎫⎛⎫
--
=-=--
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r
，
()
2
22
22
12
12
00
4
y y
CA CB y y
⎛⎫
-
⋅=⇔--=
⎪
⎝⎭
u u u r u u u r
，即
()()
2
22
1222
12
16
y y
y y
-
--=
解得22
12
16
y y
-=（0舍去），所以
2222
12124
444
y y y y
CD
-
=-==
故选：A
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题18．已知向量OA
u u u r
与OB
uuu r
的夹角为θ，2
OA=
u u u r
，1
OB=
uu u r
，=
u u u r u u u r
OP tOA，
()
1
OQ t OB
=-
u u u r u u u r
，PQ
u u u r
在t t
=
时取得最小值，则当
1
5
t<<时，夹角θ的取值范围为
（）
A．0,
3
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．,
32
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．
2
,
23
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭
D．
2
0,
3
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，
()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出
012cos 54cos t θθ
+=
+，再由01
05t <<，可求得夹角θ的取值范围.
【详解】
因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r
，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22
254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ
+=+，又0105t <<，则
12cos 1054cos 5
θθ+<
<+，得1
cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，
所以223ππθ<<，
故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.
19．已知向量(sin ,cos )a αα=r ，(1,2)b =r
，则以下说法不正确的是（ ）
A ．若//a b r r ，则1tan 2α=
B ．若a b ⊥r r ，则1tan 2
α=
C ．若()f a b α=⋅r r 取得最大值，则1
tan 2
α= D ．||a b -r r 1
【答案】B 【解析】 【分析】
A 选项利用向量平行的坐标表示来判断正确性.
B 选项利用向量垂直的坐标表示来判断正确性.
C 选项求得()f
α的表达式，结合三角函数最值的求法，判断C 选项的正确性.D 选项利
用向量模的运算来判断正确性. 【详解】
A 选项，若//a b r r ，则2sin cos αα=，即1
tan 2
α=，A 正确.
B 选项，若a b ⊥r r
，则sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=-，B 不正确.
C 选项，si (n )2cos in()f a b ααααϕ+==⋅=+r r
，其中tan 2ϕ=.取得最大值时，
22
k π
αϕπ+=+
，22
k π
ϕπα=+
-，
tan 2tan 2k πϕπα=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭1tan 22tan παα
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭-，则1tan 2α=，则C 正确.
D 选项，由向量减法、模的几何意义可知||a b -r r 1，此时a =r
，,a b r r
反向.故选项D 正确.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查向量平行、垂直的坐标表示，考查向量数量积的运算，考查向量减法的模的几何意义，属于中档题.
20．在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r
|=|BC uuu r |,则这个四边形是( )
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．菱形 【答案】C 【解析】 由12DC AB =u u u r u u u r 知DC ∥AB ,且|DC|=12
|AB|,因此四边形ABCD 是梯形.又因为|AD u u u r |=|BC uuu r |,
所以四边形ABCD 是等腰梯形. 选C。