多维全排列错误问题解析

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于是最后我们得到结果：
n j k ! n n j Card Ai 1 Cnj n j i 1 j 0 k !
其中， n 表示元素的组数， k 表示每一组中元素的个数。以上便是对应的多维全错位排 列问题的解。

B =Card B +Card B Card B

Card B +Card B
Card B Card U Card B




B

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多维全错位排列问题
n
A1
A2
A3 ... An ，即
Ai
i 1
n Card 于是，所有可能放置方法数 Ai 。 i 1
由引理三可知： Card

n Ai Card U Card Ai 。 i 1 i 1
n
由引理二易知： Card U 由引理一得到：
i j m n
Aj
i j m
Card A
i
Aj
Am

Card Ai
Aj
Am
n n 1 An ...... 1 Card Ai i 1
引理二，重复排列计数。
假设有 n 组元素，同一组内的元素无差异，任意两组包含的元素互不相同。第 i 组包含的元 素个数为 ki 。 把这 n 组元素 （一共
结合题目，原问题可以转化为：有 n 组元素，分别计为第 1 组，第 2 组，……，第 n 组。 同一组内的元素无差异， 任意两组包含的元素互不相同。 每一组包含的元素个数为 k 。 把这 n 组元素（一共 nk 个元素）放到 n 个带有编号的盒子中。求出第 j 组的元素不出现在 第 j 个盒子中的所有可能的放置方法（ j 1, 2,3,..., n ） 。 解：令 Ai 表示第 i 组中的元素全部被放到了第 i 个盒子中，那么 Ai 表示第 i 组中的元素 没有一个在第 i 个盒子中。 任意一组元素都不在其所对应的盒子中这一事件集合可以表示为：
nk ! 。 n k !
Aj
n n Card Ai Card Ai Card Ai i j i 1 i 1
n
i j m
Card A
i
Aj
Am
i j m n
k
i 1
n
i
个元素） 全部排列在一起， 所有可能的排列总数是：
n ki ! i 1 n ki !
引理三，集合的一些基本性质。
对于集合 Ai ，用 Ai 表示 Ai 的补集。如下一些等式恒成立： （1） A U A ，其中 U 为全集。 （2） Ai
Aj Ai

1 n
Card Ai
Aj
Am
n n 1 An ...... 1 Card Ai i 1
其中，
Card A C
i 1 i

n 1 k !
k !
n 1
Card A
i j
i
2 A j Cn
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引理一，集合计数。
令 Ai 表示集合 i ，我们用 Card Ai 表示集合 i 中元素的个数。那么对于集合 们有：
n
Ai 而言，我
i 1
n n Card Ai Card Ai Card Ai i j i 1 i 1
n 2 k !
k !
n2以此类推， A Card i i j m... s
Aj
Am
q个集合
n q k ! q ... As =Cn nq k !
，
n Card Ai 1 。 i 1

n
n
Aj ，或更一般地
Ai
n
Ai 。
i 1
i 1
（3） Card
n n Ai Card Ai Card U Card Ai 。 i 1 i 1 i 1
（3）式证明：
Card U =Card B