福建省晨曦、冷曦、崎滨、正曦四校高一数学下学期期末考试试卷(含解析)

2015-2016学年度福建省晨曦冷曦崎滨正曦四校第二学期期末考试
高一数学
第I 卷 （选择题, 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，第小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
（1）若6log log 22=+b a ，则b a +的最小值为
A.62
B.6
C.28
D.16 【答案】D
【解析】主要考查对数函数的运算以及基本不等式.因为=,所以
,,所以故选D.
（2）不等式a ax x x +>-242
对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是
A.（1，4）
B.)1,4(--
C.(,4)(1,)-∞-⋃-+∞
D.(,1)(4,)-∞⋃+∞
【答案】B
【解析】主要考查一元二次不等式的解法，同时也考查了函数的性质与应用问题.
不等式
变形为
该不等式对一切实数恒成立，所以即
化简得
解得
所以实数的取值范围是故选B.
（3）设n S 为等差数列}{n a 的前n 项的和，20161-=a ,
22005
20072005
2007=-S S ，则2016S 的值为
A.2015-
B.2016-
C.2015
D.2016
【答案】B
【解析】主要考查等差数列的求和，分析得到
因为数列为等差数列，设其公差为则其前
项的和所以，所以为公差是的等差
数列，所以因为为等差数列，
==故选B.
（4）下列函数在),0(+∞上为增函数的是
（A ）1y x =-
（B ）x
y e -=
（C ）ln(1)y x =+
（D ）
)2(+-=x x y
【答案】C
【解析】主要考查函数的单调性问题，同时也考查了对数函数，指数函数的性质.
对于A:在上单调递减，在上单调递增，
对于B:在上单调递减；
对于C:在上单调递增，所以在上为增函数；
对于D:在上单调递减.
故选C.
（5）设定义在R 上的奇函数()f x 满足)0(4)(2
>-=x x x f ，则()0f x >的解集为
（A ）(2,2)- （B ）(4,4)- （C ）(0,2)(4,)+∞U （
D ）
(2,0)(2,)-+∞U
【答案】D
【解析】主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键，主要要进行分类讨论.当时，则
此时
==
,
是奇
函数，
,
即
,
当时，由得
当时，由得
综上或即不等式的解集为
故选D.
（6）双曲线
22
1412
x y -=的焦点到渐近线的距离为
（A ）23
（B ）2
（C ）3
（D ）1
【答案】A
【解析】本题考查了双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式,新课程标准降低了对双曲线知识的考查要求,但对于双曲线的一些基本性质(尤其是渐近线)还是高考客观题的重要考点.显然本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 双曲线-=1的一条渐近线
为y=x,
c==4,其一焦点坐标为(4,0),
由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为=2,答案为A.
A
C
B
P
（7）将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移
8
π
个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为
（A ）4
π-
（B ）0
（C ）4
π （D ）
4
3π 【答案】C
【解析】主要考查的图象变化规律，正弦函数、余弦函数的图象的
对称性.将函数的图象向左平移个单位，可得到的函数
=的图象，再根据所得函数的图象关于轴对称，可得
即则的一个可能取值为故选C.
（8）变量x 、y 满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则1z x y =++的最大值为
（A ）2-
（B ）0
（C ）1
（D ）2
【答案】D
【解析】主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出不等式组表示的可行域.
图形略，由条件可知，表示与直线平行的直线当中在y 轴上截距的最大值，故当直线过点
时，取最大值，即
故选D.
（9）如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，
P 为线段OC 的中点，则=⋅
（A ）8
1-
（B ）4
1-
B
D
C
P
A
（C ）2
1-
（D ）1-
【答案】A
【解析】主要考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方.由题意可得
,
，
，
，
则===故选A.
（10）如图，四棱锥ABCD P -中，ο
90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆和PAD
∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为
（A ）30o
（B ）ο
45 （C ）ο60 （D ）ο
90
【答案】 D
【解析】主要考查了异面直线所成的角，首先要将空间角转化为平面角，然后通过解三角形求之.
设，则,过作,则,过作，则如图过
作连接则四边形是梯形，其中,
，过G 作则在∆GHA ，
,,所以故选D.
（11）已知抛物线C ：x y 82
=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C
的一个交点，若QF PF 3=，则QF =
（A ）
2
5 （B ）
3
8 （C ）3 （D ）6
【答案】B
【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程及其性质、向量的共线，考查了学生的推理能力和计算能力.设与x 轴的交点为
过向准线作垂线，垂足为N ,因为
所以
又所以因为所以.故选B.
（12）设x x f lg )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a 的
取值范围是
（A ）1(0,)e
（B ）lg 2lg (
,)2e
e
（C ）lg 2
(
,)2
e （D ）lg 2(0,
)2
【答案】B
【解析】本题主要考查了函数的零点,函数f (x )=|lg x |的图象如图示:当a ≤0时,显然,不合乎题意,当a ＞0时,如图示,当x ∈(0,1]时,存在一个零点,当x ＞1时,f (x )=lg x ,可得
g (x )=lg x -a x ,(x ∈(1,4),g ’(x )=,若g ’(x )<0,解得,g (x )为减函数,若g ’(x )>0,解
得,g (x )为增函数,此时g (x )必须在(1,4)上有两个交点,所以,解得
,故选B
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） (13)3
5cos
π
的值为____________. 【答案】
【解析】主要考查任意角的三角函数值.因为故答案为
(14)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若()()a b c a b c ab +-++=，则角
C 的大小为_________.
【答案】
【解析】主要考查余弦定理的应用，解题的关键是对题中所给等式的变形.
因为，化简可得：所以
,故=.故答案为.
（15）已知椭圆C ：22
11612
x y +
=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ．
【答案】
【解析】主要考查了椭圆定义的运用，三角形中位线的性质等，本题涉及的动点较多，解题的突破口是作出图形，根据图形的几何特征，寻找两个三角形的中位线，关键是利用椭圆的定义，抓住变化中确定的数量关系.
设椭圆的长轴长为,则由可知设分别是椭圆C 的左、右焦
点，K 为线段MN 的中点，如图所示，由已知条件，易得分别是线段MB ,MA 的中点，则
在∆NBM 和∆NAM 中，有
,又由椭圆定义，得
故
=
=
故答案为16.
（16）定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足
a
b a f b f x f --=
)
()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个
均值点，例如2
x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数
mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】主要在新定义下考查方程根的问题.在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答.
函数是上的平均值函数，故有在(-1,1)内有
实数根，由⟹解得或
又所以的解为：必为均值点,即
<⟹. <⟹所以所求实数m 的取
值范围是故答案为
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分12分）
设ABC ∆是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且
)3
sin(
)3
sin(
)sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-π
π
.
（Ⅰ）求角A 的值；
（Ⅱ）若12=⋅AC AB ，72=a ，求b ，c （其中c b <）．
【答案】(1)
，，．
(2)，，
又，，
，，．
【解析】主要考查余弦定理的应用，三角函数的化简求值.
(1)利用已知条件化简表达式，求出的正弦函数值，然后求角的值；
(2)利用求出bc 的值，利用余弦定理得到关系式，然后求b ,c .
（18）（本小题满分12分）
已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令1
1
-=n n a b . （Ⅰ）证明：数列}{n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．
A
H I
C D
B E
【答案】(1)，
，即，是等差数列．
(2)，，
，．
【解析】主要考查等差数列的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差数列的性质.
(1)利用等差数列的定义，结合.即可证明数列是等差数列；
(1)利用，以及数列是等差数列，可求数列的通项公式.
（19）（本小题满分12分）
ABC
∆为等腰直角三角形，4
=
=BC
AC，
ο
90
=
∠ACB，D、E分别是边AC和AB的中点，现
将ADE
∆沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H是边
AD的中
点，平面BCH与AE交于点I．
（Ⅰ）求证：IH//BC ；
（Ⅱ）求三棱锥HIC
A-的体积.
【答案】(1)因为、分别是边和的中点，所以，
O
A
C
B
D
y
x
因为平面，平面，所以平面.
因为平面，平面，平面平面.所以.
又因为，所以.
(2) ,高,.
【解析】主要考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，直线与直线平面的证明，直线与平面平行的判定定理的应用.
(1)证明平面，，然后利用平行公理证明
(2)求出棱锥的底面面积以及高，即可求解体积.
（20）（本小题满分12分）
如图，抛物线1C ：px y 22
=与椭圆2C ：
112
162
2=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为3
6
8.
（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；
（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，
求OCD ∆面积的最小值．
【答案】(1)因为的面积为,所以，
代入椭圆方程得，抛物线的方程是：.
(2) 直线斜率不存在时，；
直线斜率存在时，设直线方程为，代入抛物线，
得.
，
综上最小值为.
【解析】主要考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力.
(1)通过的面积为求出然后求出抛物线的方程；
(2)直线斜率不存在时，求出三角形的面积；直线斜率存在时，设直线
方程为
,与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出
最小值.
（21）（本小题满分12分）
设函数)1(ln )(2
-+=x b x ax x f )0(>x ，曲线)(x f y =过点)1,(2
+-e e e ，且在点
)0,1(处的切线方程为0=y .
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）证明：当1≥x 时，2
)1()(-≥x x f ；
（Ⅲ）若当1≥x 时，2
)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)，
，
，．
(2)，
设，，.
，在上单调递增，
，在上单调递增，．
．
(3)设，
，
(2) 中知，，
，
①当即时，，在单调递增，，成立．
②当即时，，
，令，得，
当时，单调递减，
在上单调递增，不成立．综上，．
【解析】主要考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断参数的范围的求法，考查了学生分析问题解决问题的能力.
(1)求出通过,求出a ,b 的值；
(2)求出的解析式，
，，求出导数，二次求导，判断g
的单调性，然后证明
．
(3)设，求出利用(2)中知
≥=，推出，分时和
时，求解的范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，
4
1
=PB PA ，2
1
=PC PD . （Ⅰ）求
BC
AD
的值； （Ⅱ）若BD 为⊙O 的直径，且1=PA ，求BC 的长．
【答案】(1)由
，，得与相似，
P
A
B
D
O ⋅
设则有，所以.
(2)，.
【解析】主要考查三角形相似的判定，考查相交线定理.
(1)证明与相似，即可求的值；
(2)求出利用勾股定理求的长.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==242222
t y t x （t 是参数）， 以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
)4
cos(2π
θρ+=.
（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；
（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．
【答案】(1)直线的普通方程为.
曲线的直角坐标系下的方程为.
圆心到直线的距离为.
所以直线与曲线的位置关系为相离.
(2)设，
则.
【解析】主要考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，由点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用.
(1)由直线的参数方程消去得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径关系得到直线与圆的位置关系；
(1)设出曲线上的点的参数方程，由
利用两角和的正弦化简后可得
的取值范围.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；
（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)① 当时，，所以.
② 当时，，所以为.
③ 当时，，所以.
综合①②③不等式的解集为
.
(2)即.由绝对值的几何意义，只需.
【解析】主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想.
(1)化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集；
(1)不等式即有解，根据绝对值的意义，只需。