安图县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

安图县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
P ABC -A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
2． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
12172123x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（
）
A
B
D 3． 直角梯形中,,直线截该梯形所得位于左边图OABC ,1,2AB OC AB OC BC ===A :l x t =形面积为，则函数的图像大致为（
）
()S f t =
4． 如图所示，阴影部分表示的集合是（
）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ）5． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（
）
A ．（﹣3，﹣2）
B ．（﹣2，﹣1）
C ．（﹣1，0）
D ．（0，1）
6． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（
）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞2
7． 已知F 1、F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的
直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，）
B ．（
，+∞）C ．（
，2）
D ．（2，+∞）
8． 已知
，则方程的根的个数是（ ）
22(0)()|log |(0)
x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩[()]2f f x = A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
9． 已知f （x ）为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f （x+6）=f （x ）+f （3），x 1，x 2∈[0，3]，x 1≠x 2
时，有
成立，下列结论中错误的是（
）
A ．f （3）=0
B ．直线x=﹣6是函数y=f （x ）的图象的一条对称轴
C ．函数y=f （x ）在[﹣9，9]上有四个零点
D ．函数y=f （x ）在[﹣9，﹣6]上为增函数
10．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为（
）
A．1B．C．D．
11．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（）
①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M
③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．
A．①②B．①②③C．③④D．②③④
12．设函数f（x）在x0处可导，则等于（）
A．f′（x0）B．f′（﹣x0）C．﹣f′（x0）D．﹣f（﹣x0）
二、填空题
13．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log8x）＞0的解集是 ．
14．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最
小值为 ．
15．已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
16．如图，函数f（x）的图象为折线AC B，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 ．
17．若直线x﹣y=1与直线（m+3）x+my﹣8=0平行，则m= ．
18．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2
的概率是 ．
三、解答题
19．设数列的前项和为，且满足，数列满足，且
（1）求数列和的通项公式
（2）设，数列的前项和为,求证:
（3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围。

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f （x）•g（x）的最大值．
21．已知函数f（x）=log a（x2+2），若f（5）=3；
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
22．已知函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设向量，求满足不等式的α的取值范围．
23．已知椭圆Γ：（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点M
．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
24．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O
为AD的中点，且CD⊥A1O
（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．　
安图县第三高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：三棱锥中，则与、与、与都是异面直线，所以共有三对，故选P ABC -PA BC PC AB PB AC B ．
考点：异面直线的判定．2． 【答案】C 【
解
析
】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()2122k k ππϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+=
⎪⎝⎭．3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当时，，当时，01t <≤()21
22
f t t t t =
⋅⋅=12t <≤，所以，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象.
4．【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，∴对应的集合表示为A∩∁U B．
故选：A．
5．【答案】C
【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，
又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=30+0=1＞0，
∴f（﹣1）f（0）＜0，
可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
6．【答案】C
【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，
有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．
若f（x）有极大值和极小值，
则△=4a2﹣12（a+6）＞0，
从而有a＞6或a＜﹣3，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
7．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），
与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，
∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，
∴b2＞3a2，
∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ．则e=＞2．
∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．　
8． 【答案】C
【解析】由，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则，则A=4或A=，作出f （x ）的图像，由[()]2f f x =2log 2x =1
4
数型结合，当A=时3个根，A=4时有两个交点，所以的根的个数是5个。

1
4
[()]2f f x =9． 【答案】D
【解析】解：对于A ：∵y=f （x ）为R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，均有f （x+6）=f （x ）+f （3），∴令x=﹣3得：f （6﹣3）=f （﹣3）+f （3）=2f （3），∴f （3）=0，故A 正确；
对于B ：∵函数y=f （x ）是以6为周期的偶函数，∴f （﹣6+x ）=f （x ），f （﹣6﹣x ）=f （x ），∴f （﹣6+x ）=f （﹣6﹣x ），
∴y=f （x ）图象关于x=﹣6对称，即B 正确；
对于C ：∵y=f （x ）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f （3）=f （﹣3）=0，∴方程f （x ）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f （x ）是以6为周期的函数，∴方程f （x ）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），∴方程f （x ）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C 正确；对于D ：∵当x 1，x 2∈[0，3]且x 1≠x 2时，有
，
∴y=f （x ）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f （x ）是偶函数，
∴y=f （x ）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f （x ）是以6为周期的函数，∴y=f （x ）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D 错误．综上所述，命题中正确的有A 、B 、C ．故选：D ．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．
10．【答案】 C
【解析】解：第一次循环 第二次循环得到的结果 第三次循环得到的结果
第四次循环得到的结果…
所以S 是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S ∵2011=502×4+3所以输出的S 是故选C
11．【答案】A
【解析】解：①∵A 1B ∥平面DCC 1D 1，∴线段A 1B 上的点M 到平面DCC 1D 1的距离都为1，又△DCC 1的面积
为定值，因此三棱锥M ﹣DCC 1的体积V=
=为定值，故①正确．
②∵A 1D 1⊥DC 1，A 1B ⊥DC 1，∴DC 1⊥面A 1BCD 1，D 1P ⊂面A 1BCD 1，∴DC 1⊥D 1P ，故②正确．③当0＜A 1P ＜
时，在△AD 1M 中，利用余弦定理可得∠APD 1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA 1B 与面A 1BCD 1沿A 1B 展成平面图形，线段AD 1即为AP+PD 1的最小值，
在△D 1A 1A 中，∠D 1A 1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD 1==
＜
2，故④不正确．因此只有①②正确．故选：A ．
12．【答案】C 【解析】解： =﹣=﹣f ′（x 0），
故选C ．
二、填空题
13．【答案】　（0，）∪（64，+∞）　．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），
又f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，
∴x＞64或0＜x＜．
即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}
故答案为：（0，）∪（64，+∞）
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．
14．【答案】　4+　．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O的半径为3，球O1的半径为1，
则，
在Rt△OMO1中，OO1=4，，
∴=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
15．【答案】　2　．
【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，
∴定义域关于原点对称，
即﹣2a+3a﹣1=0，
∴a=1，
∵函数为奇函数，
∴f（﹣x）==﹣，
即b•2x﹣1=﹣b+2x，
∴b=1．
即a+b=2，
故答案为：2．
16．【答案】　（﹣1，1]　．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．
故答案为：（﹣1，1]
17．【答案】 ．
【解析】解：直线x﹣y=1的斜率为1，（m+3）x+my﹣8=0斜率为
两直线平行，则=1解得m=﹣．
故应填﹣．
18．【答案】 ．
【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外
区域D：表示正方形OABC，（如图）
其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．
因此在区域D内随机取一个点P，
则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，
且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分
∵S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π
∴所求概率为P==
故答案为：
【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
解：∵S n＝2－a n，即a n＋S n＝2，∴a n＋1＋S n＋1＝2.
两式相减：a n＋1－a n＋S n＋1－S n＝0.
即a n＋1－a n＋a n＋1＝0，故有2a n＋1＝a n，∵a n≠0，
，
∵b n＋1＝b n＋a n（n＝1,2,3，…），
得b2－b1＝1，，，，．将这n－1个等式相加，得
又∵b1＝1，．
（2）证明：.
而
①－②得
＝8－（n＝1,2,3，…）．
∴T n＜8.
（3）由（1）知
由数列是递增数列，∴对恒成立，
即
恒成立，
即恒成立，
当为奇数时，即恒成立，∴，
当为偶数时，即恒成立，∴，
综上实数的取值范围为
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…
∴sin∠POQ=，得P点坐标为（，1），∴A=1，=4（2﹣），∴ω=．…
由f（）=sin（+φ）=1 可得φ=，∴y=f（x）的解析式为f（x）=sin（x+）．…
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin x，…
h（x）=f（x）g（x）=sin（x+）sin x=+sin xcos x
=+sin=sin（﹣）+．…
当x∈[0，2]时，∈[﹣，]，
∴当，
即x=1时，h max（x）=．…
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（5）=3，
∴，
即log a27=3
解锝：a=3…
（2）由（1）得函数，
则=…
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即为
化简不等式得…
∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且的定义域为R．
∴x2+2＜x2+4x+6…
即4x＞﹣4，
解得x＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
22．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数
∴x=≤1
∴m≤2
∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]；
（2）由（1）知，函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调增函数
∵，
∵
∴2﹣cos2α＞cos2α+3
∴cos2α＜
∴
∴α的取值范围为．
【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式转化为具体不等式．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，
所以所求的椭圆方程为；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，
因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2，
由消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，
所以M（0，﹣2）或M（，），
（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，
则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，
所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；
（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r==
=，
所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，
所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时k AF=，所以直线l的方程为y=﹣+2，即x+2y﹣4=0，
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．
【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．
24．【答案】
【解析】满分（13分）．
（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，
∴A1O==，…（2分）
∴+AD2=AA12，
∴A1O⊥AD．…（3分）
又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，
∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），
则A（0，﹣1，0），A1（0，0，），…（6分）
设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），
∵=，=（1，m+1，0），
且
取z=1，得=．…（8分）
又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1
∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面A1ADD1．
不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）．…（10分）
由题意得==，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．。