贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)

2017—2018 学年度第一学期期末考试
高二数学(文科）
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。

每小题只．有．一．个．选项符合题意）
1。

设集合
，
,若 ,则 的取值范围是
A.
B.
C。

D。

【答案】A
【解析】由题意，集合 A=｛x||x-2|＜1}=｛x｜1＜x＜3｝，∵集合 B=｛x|x＜m}，A⊆ B
∴m≥3，∴m 的取值范围是{m｜m≥3｝
故选 A．
2. 下列双曲线中，焦点在 轴上且渐近线方程为
的是
A.
B.
C。

D。

【答案】B
【解析】由题意得双曲线方程为
3。

已知
，则 =
A。

B。

C.
D。

【答案】D
,所以选 B(此时 ）
【解析】∵
，
，∴
，则
，故选 C.
4。

下列说法正确的是
A。

，则
的充分条件是
B。

若
，则
的充要条件是
C。

对任意 ， 的否定是存在 ，


D. 是一条直线， ， 是两个不同的平面，若 ， ，则
【答案】D
【解析】对于 A，当 a＜0 时，由 b2-4ac≤0 不能得到 f（x）≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分
条件是“b2-4ac≤0"错误．
对于 B，若 m，k，n∈R，由 mk2＞nk2 的一定能推出 m＞n,但是，当 k=0 时,由 m＞n 不能推出
mk2＞nk2，故 B 错误，
对于 C，命题“对任意 x∈R，有 x2≥0”的否定是“存在 x0∈R，有 x02＜0”,故 C 错误,
对于 D,因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故 D 正确,
故选 D.
5. 体积为 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为
A。

B。

C。

D。

【答案】C
【解析】该球直径为正方体对角线长，即
，选 C.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化
为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点
构成的三条线段
两两互相垂直,且
，一般把有
关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用
求解．
6。

设 为抛物线
的焦点，曲线
与 交于点 ， 轴，则
A.
B。

C.
D.
【答案】D
【解析】试题分析:由抛物线的性质可得
，故选 D。

考点:1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.


视频
7。

圆
A。

B。

【答案】A
的圆心到直线
C。

D.
的距离为 ,则。

。

.。

...。

.。

...。

..。

【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关 系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系，以此来确定 参数的值或取值范围．
视频
8。

已知 为等差数列 的前 项和，若
，则 =
A.
B。

C。

D。

【答案】C
【解析】∵3a1+4a9=a17，∴4a1+4a9=a1+a17，即 4（a1+a9）=2a9，即 4a5=a9，则
故选 C. 9。

若执行右侧的程序框图，当输入的 的值为 时，输出的 的值为


，则空白判断框中的条件可能为( ）
A。

B.
C。

D.
【答案】B
【解析】由题意得 时判断框中的条件应为不满足，所以选 B.
10. 如图,网格纸上小正方形的边长为 ,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多
面体的体积为
A。

B.
C.
D。

【答案】B
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示:


故其体积 V
，
故选 A.
11。

设函数
,则 是
A。

奇函数，且在 上是增函数
B. 奇函数，且在 上是减函数
C。

偶函数,且在 上是增函数
D. 偶函数，且在 上是减函数
【答案】A
【解析】函数 f(x）=ln（1+x）-ln（1—x）,函数的定义域为（—1，1）,函数 f（-x)=ln
（1-x）—ln（1+x）=—［ln(1+x）—ln(1-x）]=-f（x）,所以函数是奇函数．排除 C,D，正
确结果在 A,B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项,x=0 时，f（0）=0;x=
时,
，显然 f(0)＜f ，函数是增函数，所以 B 错误，A 正确．
故选 A．
12. 过抛物线
的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 轴上方）， 为 的准线，
点 在 上且 ,则 到直线 的距离为
A。

B.
C。

D.
【答案】C
【解析】由题意得
与抛物线方程
联立解得
，因此
，所以 M 到直线 NF 的距离为
，选 C。

二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13. 已知向量
.若向量 与 垂直,则 =_______________
【答案】
【解析】向量
，
,
，则
，解得 m=7,故填 7。

14。

若 满足约束条件
，则
的最小值为 ______
【答案】
【解析】
由约束条件
作出可行域如图，联立
，解得 ,化目标函数
为
，由图可知，当直线
过 时，直线在 轴上的截距最大， 有最小值为
,故答案为 .
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数
最值的一般步骤是“一画、二移、三求":（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚
线）;(2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过
或最后通过的顶点就是最优解)；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15。

函数
的最大值为___________________
【答案】


【解析】∵ ，∴当
时， 有最大值为 4，故答案为 4。

16. 平面直角坐标系 中，双曲线
的渐近线与抛物线
.若 的垂心为 的焦点,则 的离心率为_________________
【答案】
【解析】设 所在的直线方程为 ，则 所在的直线方程为
,
解方程组
得：
，所以点 的坐标为
,
抛物线的焦点 的坐标为: 。

因为 是 的垂心,所以
，
所以,
.
交于点
所以，
.
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.
视频 三、解答题（本题 6 小题，第 17 小题 10 分，第 18-22 小题,每小题 12 分, 共 70 分。

解．答． 应．写．出．文．字．说．明．、．证．明．过．程．或．演．算．步．骤．)
17。

已知 分别是 内角 的对边，
.
（I）若 ，求 ;
（II）若
，且 ， 求 的面积.
【答案】(1） (2）1
【解析】试题分析：（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再根据余弦定理解得


;（2）根据勾股定理解得 试题解析：（I）
，。

再根据直角三角形面积公式求面积 ，由正弦定理得： ；
由余弦定理得:
(II)由（I）可得： ，
，解得
.。

18. 为数列 的前项 和，已知 ，
.
（I）求 的通项公式；
(II）设
，求数列 的前项 和。

【答案】(1)
（2)
【解析】试题分析：(1)通过
与
作差可得
，进而可
知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，即可求解数列的通项公式;(2）通过（1）可知
,裂项可得
，并项即可求解数列的和．
试题解析：（1）由
，可知
，
可得
，即
，
由于 ，可得
．
又
,解得 （舍去）， ．
所以 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为
（2)由
可知，


． 设数列 的前 项和为 ，则
考点:等差数列的通项公式；数列的求和． 19. 某大学艺术专业 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从 中随机抽取了 名学生，记录他们的分数，将数据分成 组： ， ,…， ，并整 理得到如下频率分布直方图:
（I)从总体的 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 的概率； （II)已知样本中分数小于 的学生有 人，试估计总体中分数在区间 内的人数； （III）已知样本中有一半男生的分数不小于 ，且样本中分数不小于 的男女生人数相等.试 估计总体中男生和女生人数的比例. 【答案】（1）0.4（2） 20（3） 【解析】试题分析：（Ⅰ)根据频率=组距×高,可得分数小于 70 的概率为:1﹣（0。

04+0。

02）×10；(Ⅱ）先计算样本中分数小于 40 的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频 率，可估计总体中分数在区间［40，50）内的人数;


（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相
等．进而得到答案．
试题解析:
(1)由频率分布直方图知，
分数在 的频率为
，
分数在 的频率为
,
则分数小于 70 的频率为
，
故从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率为 。

(2)由频率分布直方图知，
样本中分数在区间 的人数为
（人),
已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人,
所以样本中分数在区间 内的人数为
（人）,
设总体中分数在区间 内的人数为 ，
则
，得 ，
所以总体中分数在区间 内的人数为 20 人。

(3）由频率分布直方图知,
分数不小于 70 的人数为
(人)，
已知分数不小于 70 的男女生人数相等,
故分数不小于 70 分的男生人数为 30 人，
又因为样本中有一半男生的分数不小于 70,
故男生的频率为： ，
即女生的频率为： ，
即总体中男生和女生人数的比例约为： .


点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频
率分布直方图中：
(1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;
（3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘
以小长方形底边中点的横坐标之和．
20。

如图所示,正三棱柱
的高为 ， 是 的中点， 是 的中点
（I)证明：
；
（II)若三棱锥
的体积为 ,求该正三棱柱的底面边长.
【答案】(1)见解析(2）2 【解析】试题分析：（1）由三角形中位线性质得 DE//AC1，再根据线面平行判定定理得结果 (2）根据平行性质得 D 到平面 BCC1B1 的距离是 A 到平面 BCC1B1 的距离的一半，再根据锥体体积 公式列方程解得底面边长 试题解析：（Ⅰ)证明：如图，连接 AB1，AC1，
易知 D 是 AB1 的中点,
又 E 是 B1C1 的中点,
所以在
中,DE//AC1，


又 DE 平面 ACC1A1,AC1 平面 ACC1A1， 所以 DE//平面 ACC1A1。

（Ⅱ）解：
,
D 是 AB1 的中点， D 到平面 BCC1B1 的距离是 A 到平面 BCC1B1 的距离的一半， 如图，作 AF BC 交 BC 于 F，由正三棱柱的性质，易证 AF 平面 BCC1B1, 设底面正三角形边长为 ,则三棱锥 D− EBC 的高 h= AF= ,
,所以
，
解得 。

所以该正三棱柱的底面边长为 2．
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1）证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行。

(2）证明线面垂直,需转化为证明线线垂直。

(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
21. 中心在原点的双曲线 的右焦点为
，渐近线方程为。

（I）求双曲线 的方程；
（II)直线
与双曲线 交于 两点,试探究，是否存在以线段 为直径的圆过原点。

若
存在，求出 的值，若不存在,请说明理由.
【答案】（1）
(2） 存在，


试题解析：
（Ⅰ）设双曲线的方程为
，则有
得 （Ⅱ)由
，所以双曲线方程为 得
． ，
依题意有
解得
且
,①
且
，
，
设
，
，
依题意有
，所以
,
又
，
所以
，化简得 ，
符合①，所以存在这样的圆.
22。

已知函数
;
（I)当
时,求函数
的最值；
(II）如果对任意的
，不等式
恒成立,求实数 的取值范围.


【答案】(1）
，
；（2）
【解析】试题分析：（I）化简函数
，判断函数的单调
性，然后求解函数的最值;
（II）由
，得
利用换元法令
，所以
对
恒成立.利用分类讨论①当
时, ;②当
时，分离得
，求右侧函数的最小值即得实数 的取值范围。

试题解析：
（Ⅰ）
又 在上 单调递减，
,
；
（Ⅱ）由
，得
令
所以
对
恒成立.
①当 时， ；
②当
时，
，令
由于 在 递减，在 递增.
所以
，则 ；
综上知
.
点睛：本题考查不等式恒成立，分类讨论以及转化思想的应用，利用对数的运算性质对函数
进行化简，采用换元法，把函数化繁为简，进行变量分离解决恒成立问题是解题的关键.
尊敬的读者：


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