灵丘县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

灵丘县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，
.若
,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[]B[]
C[]
D[
]
2． 已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则弦长
M )1,0(M y x 22
x M ||PQ 等于（ ）
||PQ A ．2 B ．3
C ．4
D ．与点位置有关的值
【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，
难度较大.
3． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则
的值为（
）A ．B ．
C ．
D ．
　5． 如图
，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至
少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，
则|AB|=（
）
A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
7． 若等式（2x ﹣1）2014=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2014x 2014对于一切实数x 都成立，则a 0+1+
a 2+…+a 2014=（
）A ．B ．
C ．
D ．0
8． 函数f （x ）=tan （2x+
），则（
）
A ．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数
B ．函数最小正周期为
，且在（﹣
，）是减函数C ．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数D ．函数最小正周期为
，且在（
，
）是增函数
9． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（
）
A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1
B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1
C ．存在x 0＞0，使2≥1
D ．存在x 0≤0，使2
＜1
10．已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）在（0，2）内的值域是（1，a 2），则函数y=f （x ）的图象大致是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．若动点分别在直线： 和：上移动，则中点所),(),(2211y x B y x A 、011=-+y x 2l 01=-+y x AB M 在直线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
06=--y x 06=++y x 06=+-y x 06=-+y x 12．函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（
）
A ．a ≤0
B ．0＜a ＜
C ．＜a ＜1
D ．a ≤0或a ＞1
二、填空题
13．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围 ．14．已知是函数两个相邻的两个极值点，且在1,3x x ==()()()sin 0f x x ωϕω=+>()f x 32
x =
处的导数，则___________．302f ⎛⎫'<
⎪⎝⎭13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
15．函数在区间上递减，则实数的取值范围是
．2
()2(1)2f x x a x =+-+(,4]-∞16．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则
的值为 ．
17．（﹣）0+[（﹣2）3
] = ．
18．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．
三、解答题
19．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C ：
，以椭圆的左顶点为圆心作圆：
22221(0)x y a b a b +=>>C T T （），设圆与椭圆交于点、．[_]
222(2)x y r ++=0r >T C M N （1）求椭圆的方程；
C （2）求的最小值，并求此时圆的方程；
TM TN ⋅
T （3）设点是椭圆C 上异于、的任意一点，且直线，分别与轴交于点（为坐标P M N MP NP x R S 、O 原点），求证：为定值．
OR OS
⋅【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
20．已知是等差数列，是等比数列，为数列的前项和，，且，
{}n a {}n b n S {}n a 111a b ==3336b S =（）．
228b S =*n N ∈（1）求和；
n a n b （2）若，求数列的前项和．
1n n a a +<11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
n T 21．由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数．（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．
22．（本小题满分12分）设f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x （a ≠0）．（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）是否存在a ＞0，使f （x ）∈[e －1，e 2]对于x ∈[1，e]时恒成立，若存在求出a 的值，若不存在说明理由．
23．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．
（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断能否有的把握认为孩子的幸福感强与是否是留22⨯95%守儿童有关？
幸福感强
幸福感弱
总计
留守儿童非留守儿童总计
1111]
（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，
求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++附表：
20()P K k ≥0.0500.0100
k 3.841
6.635
24．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点（1，），抛物线C2：x2=2py（p＞0）
的焦点F与椭圆C1的一个焦点重合．
（Ⅰ）过F的直线与抛物线C2交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C2的切线l1，l2，求直线l1，l2的交点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）从圆O：x2+y2=5上任意一点P作椭圆C1的两条切线，切点为A，B，证明：∠APB为定值，并求出这个定值．
灵丘县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B 【解析】当x ≥0时，
f （x ）=，
由f （x ）=x ﹣3a 2，x ＞2a 2，得f （x ）＞﹣a 2；当a 2＜x ＜2a 2时，f （x ）=﹣a 2；
由f （x ）=﹣x ，0≤x ≤a 2，得f （x ）≥﹣a 2。

∴当x ＞0时，。

∵函数f （x ）为奇函数，
∴当x ＜0时，。

∵对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）≤f （x ），∴2a 2﹣（﹣4a 2）≤1，解得：。

故实数a 的取值范围是。

2． 【答案】A
【解析】过作垂直于轴于，设，则，在中，，为M MN x N ),(00y x M )0,(0x N MNQ Rt ∆0||y MN =MQ 圆的半径，为的一半，因此
NQ PQ 22222222
00000||4||4(||||)4[(1)]4(21)
PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+又点在抛物线上，∴，∴，∴.
M 02
02y x =2200||4(21)4PQ x y =-+=2||=PQ
3．【答案】B
【解析】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
4．【答案】C
【解析】解：F1，F2为椭圆=1的两个焦点，可得F1（﹣，0），F2（）．a=2，b=1．
点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2，
|PF2|==，由勾股定理可得：|PF1|==．
==．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
5．【答案】
D
【解析】
古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．
【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；
∴所求的概率为=
故选D．
【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．
6．【答案】B
【解析】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】解法一：∵，
∴（C为常数），
取x=1得，
再取x=0得，即得，
∴，
故选B．
解法二：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点评】本题考查二项式定理的应用，定积分的求法，考查转化思想的应用．
8．【答案】D
【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+），它的最小正周期为，
在（，）上，2x+∈（，），函数f（x）=tan（2x+）单调递增，
故选：D．
9．【答案】A
【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2＜1为特称命题，
∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2x≥1．
故选：A
10．【答案】B
【解析】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，a2），
则由于指数函数是单调函数，则有a＞1，
由底数大于1指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正确．
故选B．
11．【答案】D
【解析】
考点：直线方程
12．【答案】D
【解析】解：∵f（1）=lg1=0，
∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，
故﹣2x+a＞0或﹣2x+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立，
即a＞2x，或a＜2x在（﹣∞，0]上恒成立，
故a＞1或a≤0；
故选D．
【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】　（﹣∞，3]　．
【解析】解：f′（x）=3x2﹣2ax+3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0，
∴a≤3；
实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
14．【答案】12
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和，再结合极值点的导数等于零，ω可求出.在求的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用来验证.求出表达式后，ϕϕ302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
()f x 就可以求出.113f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
15．【答案】3
a ≤-【解析】
试题分析：函数图象开口向上，对称轴为，函数在区间上递减，所以
()f x 1x a =-(,4]-∞.
14,3a a -≥≤-考点：二次函数图象与性质．16．【答案】　
　．
【解析】解：已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，∴a 1+a 2 =1+9=10．数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴ =1×9，再由题意可得b 2=1×q 2＞0 （q 为等比数列的公比），
∴b 2=3，则=，
故答案为
．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．
17．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．　
18．【答案】　6　
【解析】解：集合A 为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．故答案为：6
【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．　
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）依题意，得2a =，c e a =
=
1,322=-==∴c a b c ；
故椭圆C 的方程为2
214
x y += ．　
（3分）
（3）设 由题意知：，.
),(00y x P 01x x ≠01y y ≠±直线的方程为MP ),(01
01
00x x x x y y y y ---=
-令 得,同理：，
0=y 101001y y y x y x x R --=1
01
001y y y x y x x S ++=.（10分）
∴2
1
2
02
1
202021y y y x y x x x S R --=
⋅又点在椭圆上，故
P M ,，
)1(4),1(42
1212
02
0y x y x -=-=，
∴4)(4)1(4)1(42
1
2
02
1202
1
2
02
1
202021=--=
----=
y y y y y y y y y y x x S R ，
4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅==即OR OS ⋅为定值４.　
（13分）
20．【答案】（1），或，；（2）.21n a n =-1
2n n b -=1(52)3n a n =
-16n n b -=21
n
n +【解析】
试题解析：（1）设的公差为，的公比为，
{}n a d {}n b 由题意得解得或2(33)36,(2)8,q d q d ⎧+=⎨+=⎩2,2,d q =⎧⎨=⎩2,
3
6.d q ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩∴，或，．
21n a n =-12n n b -=1(52)3
n a n =-1
6n n b -=（2）若，由（1）知，
+1n n a a <21n a n =-∴
，111111
((21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+∴．
111111(1)2335212121
n n
T n n n =-+-++-=-++…考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.21．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x ≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x 的值．【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况，即能被5整除的三位数共有6个；（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，取出的三个数字为1、2、9时，有A 33=6种情况，取出的三个数字为2、4、9时，有A 33=6种情况，则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况，当末位是2或4时，有A 21×A 21×A 21=8种情况，此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C 31×C 31×C 21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，故x=0不成立；
当x ≠0时，可以组成无重复三位数共有C 41×C 31×C 21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，则每个数字用了
=18次，
则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x 为0与否两种情况讨论．22．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x 的定义域为{x |x ＞0}，f ′（x ）＝－2x ＋a ＋a 2
x
＝.
－2（x ＋a
2
）（x －a ）
x
①当a ＜0时，由f ′（x ）＜0得x ＞－，
a 2
由f ′（x ）＞0得0＜x ＜－.
a 2
此时f （x ）在（0，－）上单调递增，
a 2
在（－，＋∞）上单调递减；
a
2
②当a ＞0时，由f ′（x ）＜0得x ＞a ，由f ′（x ）＞0得0＜x ＜a ，
此时f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，＋∞）上单调递减．（2）假设存在满足条件的实数a ，∵x ∈[1，e]时，f （x ）∈[e －1，e 2]，∴f （1）＝－1＋a ≥e －1，即a ≥e ，①由（1）知f （x ）在（0，a ）上单调递增，∴f （x ）在[1，e]上单调递增，
∴f （e ）＝－e 2＋a e ＋e 2≤e 2，即a ≤e ，②由①②可得a ＝e ，故存在a ＝e ，满足条件．
23．【答案】（1）有的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）.95%35
【解析】
试题解析：（1）列联表如下：
幸福感强
幸福感弱
总计留守儿童6
9
15非留守儿童18725总计
24
16
40
∴．2
2
40(67918)4 3.84115252416
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯∴有的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．
95%（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：，；幸福感强的孩子3人，记作：，，
1a 2a 1b 2b ．
3b “抽取2人”包含的基本事件有，，，，，，，，
12(,)a a 11(,)a b 12(,)a b 13(,)a b 21(,)a b 22(,)a b 23(,)a b 12(,)b b ，共10个．
13(,)b b 23(,)b b 事件：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有，，，，，A 11(,)a b 12(,)a b 13(,)a b 21(,)a b 22(,)a b 23(,)a b 共6个．故．63
()105
P A =
=
考点：1、茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式.
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则，即，则，
椭圆方程为，将点的坐标代入得c2=1，
故所求的椭圆方程为焦点坐标为（0，±1），
故抛物线方程为x2=4y…
设直线MN：y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程得x2﹣4kx﹣4=0，
则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由于，所以，故直线l1的斜率为，l1的方程为
，即，
同理l2的方程为，
令，即，显然x1≠x2，故，即点Q的横坐标是，
点Q的纵坐标是，即点Q（2k，﹣1），故点Q的轨迹方程是y=﹣1…
（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P在第一象限，
则此时P点横坐标为，代入圆的方程得P点的纵坐标为，
此时两条切线方程分别为，此时，
若∠APB的大小为定值，则这个定值只能是…
②当两条切线的斜率都存在时，即时，设P（x0，y0），切线的斜率为k，
则切线方程为y﹣y0=k（x﹣x0），
与椭圆方程联立消元得…
由于直线y﹣y0=k（x﹣x0）是椭圆的切线，
故，
整理得…
切线PA，PB的斜率k1，k2是上述方程的两个实根，故，…
点P在圆x2+y2=5上，故，所以k1k2=﹣1，所以．
综上可知：∠APB的大小为定值，得证…
【点评】本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆以及抛物线的方程的求法，考查转化是以及计算能力．　。