2019-2020学年广西壮族自治区梧州市第四中学高二数学文联考试卷含解析

2019-2020学年广西壮族自治区梧州市第四中学高二数
学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）（2014?郑州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】：双曲线的简单性质．
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：根据双曲线的定义，以及正弦定理，即可得到结论．
解：∵在双曲线﹣=1，
∴a=4，b=3，c=5，
即A，C是双曲线的两个焦点，
∵顶点B在双曲线﹣=1，
∴|BA﹣BC|=2a=8，AC=10，
则由正弦定理得=，
故选：C．
【点评】：本题主要考查双曲线的定义的应用，利用正弦定理将条件转化是解决本题的关键．
2. 已知函数（且）的图象恒过定点P,则点P的坐标是（）
A （1，5）
B （1，4）
C （0，4）
D （4，0）
参考答案：
A
略
3. 下列求导运算正确的是（）
A．（x）′=1B．（x2cosx）′=﹣2xsinx
C．（3x）′=3x log3e D．（log2x）′=
参考答案：
D
【考点】导数的运算．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可．
【解答】解：A．（x+）′=1﹣，∴A错误．
B．（x2cosx）′=﹣2xsinx﹣x2sinx，∴B错误．
C．（3x）′=3x ln3，∴C错误．
D．（log2x）′=，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．
4. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＝-(≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边的项是( )
A．1 B．1＋ C．1＋＋ D．1＋＋+
参考答案：
C
5. 若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是( )
A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5
参考答案：
D
【考点】圆的标准方程．
【专题】直线与圆．
【分析】先看圆心，排除A、C，在B、D中选一个验证直线x+2y=0相切即可．
【解答】解：因为圆O位于y轴左侧，显然A、C不符，（﹣5，0）到直线x+2y=0的距离为．
故选D．
【点评】本题采用回代验证方，法解答灵活．还可以数形结合估计法，直接推得结果．6. 已知集合，，若,则实数的所有可能取值的集合
为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
7. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排在前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有
A．36种 B．42种 C．48
种 D．54种
参考答案：
B
8. 已知向量和向量垂直，则（）
A. B. C.
D.
参考答案：
D
9. 在同一坐标系中，方程与（）的曲线大致是
参考答案：
D
略
10. 设，，，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则此直线的斜率是______________.
参考答案：
2
略
12. 过点（，0）引直线l与曲线y= 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率
﹣1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值．
【解答】解：由，得
x2+y2=1（y≥0）
∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合
则﹣1＜k＜0
∴直线l的方程为：
即
则圆心O到直线l的距离
直线l被半圆所截得的弦长为
|AB|=
∴
=
=
=
令
则
当
S△AOB有最大值为
此时，
∴
又∵﹣1＜k＜0
∴
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．
13. 过两点（-3，0），（0，4）的直线方程为_______________.
参考答案：
略
14. 已知实数满足，若在处取得最小值，则此时
__________。

参考答案：
（－1，0）
15. 已知函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是______．
参考答案：
18
【分析】
求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.
【详解】由题意可得，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是，
故答案为：18
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查运算能力，属于基础题.
16. 已知函数则▲。

参考答案：
17. 观察下列等式:
…
照此规律, 第n个等式可为.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前n项和S n=9-6n．
（1）求数列的通项公式．
（2）设，求数列的前n项和．
（3），求数列的通项公式
参考答案：
（1）时，∴
时，∴
∴通项公式
（2）当时，∴
时，∴
∴
(=1时也符合)
（3）∵,
两边同时乘以2n,得即
∴数列{+4}是以6为首项，4为公比的等比数列，+4 = 6×4n-1，∴（n≥2）
又C1=1, 满足上式∴通项公式
略
19. 已知椭圆C：的离心率，焦距为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知椭圆C与直线x﹣y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆
x2+y2=1内，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）利用离心率与焦距，求出a2=2，b2=1，即可得到椭圆的方程．
（2）联立方程，消去y，利用判别式求出m的范围，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理求出MN中点坐标，通过MN的中点不在圆x2+y2内，得到不等式，求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，2c=2，又a2﹣b2=c2，解得，c=1，∴a2=2，b2=1
故椭圆的方程为…（2分）
（2）联立方程，消去y可得3x2+4mx+2m2﹣2=0
则…
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
∴MN中点坐标为…（8分）
因为MN的中点不在圆x2+y2内，
所以或…（10分）
综上，可知或…（12分）
注：用点差法酌情给分
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，在下雨椭圆的位置关系的综合应用，圆的方程的综合应用，考查计算能力．
20. 某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输
费 100元．食堂每天需用大米l吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．
（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？
（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原
价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．
参考答案：
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n
（n+1）．即可得到平均每天费用y1=，利用基本不等式即可得出最小值．
（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用
y2=．利用导数研究其单调性，即可得出其最小值．
【解答】解：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n﹣1）
+…+2+1]=n（n+1）．
则平均每天费用y1=n=．
当且仅当n=10时取等号．
∴该食堂隔10天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少．
（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），
则平均每天费用y2=
=（m∈[20，+∞））．
令f（m）=．
则＞0，
故当m∈[20，+∞）时，函数f（m）单调递增，
故当m=20时，（y2）min=1451＜1521．
∴食堂可接受此优惠条件．
【点评】正确审请题意，利用等差数列的前n项和公式得出表达式，熟练掌握基本不等式求最值和利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．
21. (本小题满分13分) 若数列的前项和为，,.（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
参考答案：
（1）∵①∴②………2分
由①-②得，，∴，……………6分
又∵当时，，
∵，∴数列以为首项，为公比的等比数列.……6分
（2）由（1）得，∴，……………………7分
∵，∴，……………………8分
∴
……………………9分
.…………………………13分
22. 我国古代数学家张邱建编《张邱建算经》中记有有趣的数学问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”你能用程序解决这个问题吗？
参考答案：
设鸡翁、母、雏各x、y、z只，则
由②，得z=100－x－
y，③
③代入①，得5x+3y+=100，
7x+4y=100. ④求方程④的解，可由程序解之.
程序：x=1
y=1
WHILE x＜=14
WHILE y＜=25
IF 7*x+4*y=100 THEN
z=100－x－y
PRINT “鸡翁、母、雏的个数别为：”；x，y，z
END IF
y=y+1
WEND
x=x+1
y=1
WEND
END
(法二）实际上，该题可以不对方程组进行化简，通过设置多重循环的方式得以实现.由①、②可得x最大值为20，y最大值为33，z最大值为100，且z为3的倍数.程序如下：
x=1
y=1
z=3
WHILE x＜=20
WHILE y＜=33
WHILE z＜=100
IF 5*x+3*y+z3=100 AND
x+y+z=100 THEN
PRINT “鸡翁、母、雏的个数分别为：”；x、y、z
END IF
z=z+3
WEND
y=y+1
z=3 WEND
x=x+1
y=1 WEND
END。