求导法则1

24
备用题 1.设
求 解：
25
例2. 求下列导数: (
x x
)
(ch x )
x e e e e x ch x 解: ( sh x ) ( ) 2 2
类似可得
(ch x )
26
( ) 0 1. 常数和基本初等函数 的导数 (P92) 1 a a 1 1 ( x ) ( ) ax (ln x)
解:
y ( x )( x 3 4cos x sin1) x ( x 3 4cos x sin1 )
1 ( x3 2 4cos x sin1) x ( 3 x 4sin x ) 2 x
y
x1

1 (1 4cos1 sin1) ( 3 4sin1) 2
18
3.设
y f ( f ( f ( x )))
其中
f ( x ) 可导, 求 y.
解:
y f ( f ( f ( x ))) f ( f ( x ) ) f ( x )
19
例8. 求下列导数:
x
(
)
(
)
x ln x ) 解: (1) ( x ) ( e x ln x (xln x) e
sin 2 x sec2 x cos x 2 cos x (cot x ) csc2 x sec2 x (tan x )
2
[u( x )]v ( x ) u( x )[v ( x )] [ v ( x )]2 sin x (sin x )cos x sin x ( cos x ) [ cos x ] cos 2 x
7 7 sin1 2cos1 2 2
4
例3. 设
a a 其中 ( x ) 在 x a 处连续, 在求 f (a ) 时, a
因 f (a ) ( a ) ( a a ) ( a ) x x x x
下列做法是否正确? 故
f (a ) (a )
xa ( x a ) ( x ) lim x a xa lim ( x ) (a )
初等函数的求导问题
x
2 x
(
) a ln a
x
(
(sin x) cos x (tan x ) sec2 x (csc x)
e (cos x) sin x
csc2 x (cot x ) (sec x ) sec x tan x
)
x
x
1 2 1 x 1 2 1 x
存在 , 求 f(
x
) 的导数
解:
2.设 解:
( sin(e x )) e x f (lncos(e )) x cos(e ) x x (lncos(e x )) e tan(e ) f y f (cos8 ln x )的导数 可导 ,求 1 8 7 f (cos ln x ) 8cos ln x ( sinln x ) x
2 2
y 1
1
2x 1
x
a x
a
21
例10. y e 解:
sin x 2
arctan x 2 1 , 求
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
y e
sin x 2
cos x 2x arctan x 1 1 1 sin x 2 2x e 2 1 x 1 2 x 2 1
[ u3 ( x )] 3 u2 ( x ) [u( x )]
9
[ ua ( x )] a ua 1 ( x ) [u( x )]
3
9 sin 8 x cos x ( sin x) (cos10 x) 10 cos9 x ( sin x )
y x ( x 3 4cos x sin1) , 例2.
[u( x ) v ( x ) ] [u( x )][v ( x )]
例1 (cos x ln x x )
(cos x) (ln x ) ( x ) 1 1 sin x x 2 x
2
2. 若函数 u( x ), v ( x ) 都可导, [ u( x ) v ( x )] [u( x )]v ( x ) u( x ) [v ( x )] 则 [ u2 ( x )] 2 u( x ) [u( x )] 推论: 1)
x 0
x0
2008!
6
3. 若函数 u( x ), v ( x )
u( x ) 则 [v ( x ) ]
(tan x )

C [v ( x )] ( C为常数 ) [ C ] 推论: v ( x ) 2 [v ( x )] cos x ( sin x ) 1 (csc x) ( ) 2 2 sin x sin x sin x (sec x ) sec x tan x .
1 2 1 x 1 2 1 x
27
2. 有限次四则运算的求导法则
二、反函数的求导法则
设 y f ( x ) 为 x f 1 ( y ) 的反函数， 定理2.
且 [ f 1 ( y ) ] f 1 ( y ) 单调可导, dy 1 或 d1 ( x ) f x 1 dx [ f ( y )]
dy
0
证: y f ( x x ) f ( x ) 由 单调性知 若 x 0, 则 y 0, 由 连续性知 x 0 必有y 0, 因此
)
重要公式3 (ln x) 例如
( ( ( ( ( )
时
) ) ) )
( )
14
例如
15
重要公式4
(e
( ( ( (
x
)
)
e (x)
x
例如
) ) ) ( )
(
)
16
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如
y
u v
d y d y d u dv d x d u dv d x
x a
正确解法: f ( x ) f (a ) f (a ) lim

x a
5
例4 设
f ( x ) x ( x 1)( x 2) ( x 2008),
求 f (0) f ( x )
解法1 利用乘法求导公式. f ( x ) ( x) ( x 1) ( x 2) ( x 2008) x ( x 1) ( x 2) ( x 2008) f (0) ( 1) ( 2) ( 2008) 2008! 解法2 利用导数定义. f (0) lim f ( x ) f (0) lim f ( x ) x 0 x0 x 0 x lim ( x 1) ( x 2) ( x 2008)
( sin 2 x) 2sin x cos x 2) [C u( x )] C u( x )
( C为常数 )
10 ( 8cos x) 8sin x ( 10 x ) 100 x 9 1 1 ( log a x ) ( ln x ) ln a x ln a 3) ( uvw ) u v w u v w u v w
y (0 , ) ,
类似可求得
10
三、复合函数求导法则 连锁法则
定理3. 若 则 可导, 可导, 且 可导
dy [f ( u)][g( x ) ] dx
[ f ( x ) ] f ( x ) ( x) [ [ g( x ) ] f [ g( x )] g( x )] 证: y f (u) 可导, 故 [ (sin x )] f y x )sin xx ( cos ) (sin y 时 lim f ( u) f ( u), （当 u 0 u [ (cos x )] f u x )(cos sin x (cos x ) ) ( y f x( u)u x u x [ (e )] f (e )(e ) u u x )( x 0) dy y lim lim[ 故有 [ x 0)] (ln0xf ((u) x) f (ln ] d x (ln x x f x ) ln x x x 11 f ( u) g( x )
y 1 1 lim lim f ( x ) x 0 y 0 1 x x [ f ( y )] y
9
例6. 求反三角函数 的导数. 解: 设 则 cos y 0 , 则
y (

2
,

2
),
1 1 (sin y) cos y 1 sin 2 y 1 1 cos y) sin y ( 1 cos 2 y
重要公式1 例
a x (x) a [ f ( x ) ]a1[ f ( x ) ] [ f ( x )] a
( )
( x )
a
a 1
(
例
)
5
( x )
1
2 x
( (
) )
12
重要公式2
( sin x) cos
x (x)
例如
( ) ( ( ) ( )
13
都可导,v( x ) 0



7
x2 3 例5. f ( x ) 5 x 5
和
解:
1 2 3 ( ) ( x ) 5 5 x 1 2x 2 5 (5 x ) 3 2x 2 (5 x ) 5 1 4 17 3 , 3 5 15 25
8
3 (5 x )

ln( 1 2x 1) ln( 1 x 1) 2 x(2 x ) 1 x
2 2
23
1
例12 求下列函数的导数
(1)解: y b 或
(2)解
或
a x a y ( ) ln x b b b x b x b y ( ) ( ) ln a a a
2
sin x
2
2x cos x e
arctan x 1
2
e
sin x 2
2
x x 1
22
1 1 1 x 2 1求 y . 设 例11. y arctan 1 x 2 ln 4 2 1 x 2 1 1 1 x 解: y 2 2 1 1 x 1 x 2 1 x 1 1 x ( ) 2 4 2 2 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x2 1 x 1 1 ( 2) 2 1 x2 2 x2 x
x ( ln x 1)
x
(
)
(
)
( )
20
例9. y 解: y
x 1 x 1 x 1 x 1
2
x 1 x 1 x 1 x 1
求
y
2x 2 x 1
2
x x 1
2
x 1 2 x 1 a x a (a 0), 求 y . 设 y xa ax a a 例7 x a a a ) (a x ) (aa ) 解: y ( x a x a a 1 x a ln a a x ln a a a 1 ln a a x a
f ( u) (v ) ( x )
求
关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导. x 例7. 设 解:
1 x x x ( sin( e )) e cos(e )
e tan
x
17
复习
(
g( x ) ) f [ g( x )] g( x )] [
练习 1.若
第三节 函数的求导法则
一、导数的四则运算 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 连锁法则 四、隐函数的求导法 对数求导法
五、由参数方程 所确定的函数的导数
1
一、四则运算求导法则
1. 若函数 u( x ), v ( x )
都可导,
则 [u( x ) v ( x )] [u( x ) ][v ( x )]