人教版九年级数学上册思维特训(六) 抛物线与二次函数系数a,b,c的关系

人教版九年级数学上册思维特训(六) 抛物线与二次函数系数a，b，c的关系
思维特训(六)抛物线与二次函数系数a，
b，c的关系
方法点津·
1．抛物线的开口方向决定a的符号，对称轴的位置决定a，b的符号异同，抛物线与y轴的交点位置决定c的符号；抛物线与x轴的交点个数取决于b2－4ac的符号；对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，当x＝±1时，y＝a±b＋c，当x＝±2时，y＝4a±2b＋c，x＝±3时，y＝9a±3b＋c.
2．对于与二次函数系数相关的代数式的符号判断，通常根据抛物线直接得到系数的正负性，在此基础上，再通过代入或加减进行变换，得到代数式的符号．
3．同一平面直角坐标系中两个函数图象共存问题，通常是由一个函数图象得到系数的正负
2)和(0，3)之间(包括端点)．有下列结论： ①当x ＝3时，y ＝0；②3a ＋b ＞0；
③－1≤a ≤－23；④83
≤n ≤4. 其中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．2019·玉林已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过A(－1，1)，B(2，4)两点，顶点坐标为(m ，n)，有下列结论：
①b ＜1；②c ＜2；③0＜m ＜12
；④n ≤1. 则所有正确结论的序号是________．
5．如图6－2，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括端点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论：
①abc ＞0；②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac －b 2＜
8a；④1
3＜a＜2
3；⑤b＞c.
其中所有正确结论的序号是________．
图6－2
类型二函数图象共存问题
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax＋b与二次函数y＝bx2＋a的图象可能是()
图6－3
7．两个二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c的图象只可能是图6－4中的()
图6－4
8．如图6－5，已知抛物线y1＝－x2＋1，直线y2＝－x＋1，当x任取一个值时，x对应的函数值分别为y1，y2.若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2.例如：当x ＝2时，y1＝－3，y2＝－1，y1＜y2，此时M＝－3.下列结论中：
①当x＜0时，M＝y1；
②当x＞0时，M随x的增大而增大；
③使得M大于1的x值不存在；
④使得M＝1
2的x值是－
2
2或
1
2.
其中正确的个数是()
图6－5
A．1 B．2 C．3 D．4
典题讲评与答案详析
1．C[解析] ∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＞0，∴4ac－b2＜0，故①正确；
∵－b
2a＝－1，∴b＝2a.
∵当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，
∴1
2b＋b＋c＜0，3b＋2c＜0，
故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，当x＝0，y>0，∴当x＝－2时，y＞0，
∴4a－2b＋c＞0，∴4a＋c＞2b，故③错误；
∵由图象可知x＝－1时该二次函数取得最大值，∴a－b＋c＞am2＋bm＋c(m≠－1)．
∴m(am＋b)＜a－b，即m(am＋b)＋b<a.故④正确．
∴正确的结论是①②④，共三个．
2．A[解析] ∵函数图象与x轴交于点A(－1，0)，且对称轴为直线x＝1，
则函数图象与x轴的另一个交点为(3，0)．
又∵函数图象与y轴的交点在(0，2)和(0，3)之间(不包括端点)，
∴当x＞3时，y＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝－b
2a＝1，
∴b＝－2a.
∵顶点坐标为(1，n)，
∴n＝a＋b＋c＝a－2a＋c，即n＝c－a，故②正确；
易知抛物线的开口向下，∴a＜0.
∵b＝－2a，
∴3a＋b＝3a－2a＝a＜0，故③错误；
∵函数图象过点(－1，0)，即x＝－1时，y ＝0，
∴a－b＋c＝0.
∵b＝－2a，
∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a.
∵抛物线与y轴的交点在(0，2)和(0，3)之间(不包括端点)，
∴2＜c＜3，即2＜－3a＜3，
解得－1＜a＜－2
3，故④正确．
3．C[解析] 由抛物线的对称性可知：抛物线与x轴的另一交点横坐标为1×2－(－1)＝3，
∴当x＝3时，y＝0，故①正确；
∵抛物线与x轴交于点(－1，0)，(3，0)，且与y轴的交点在(0，2)和(0，3)之间(包含端点)，∴抛物线开口向下，∴a＜0.
∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－b
2a＝1，
∴b＝－2a，∴3a＋b＝a＜0，故②不正确；
∵抛物线与y轴的交点在(0，2)和(0，3)之间(包含端点)，
∴2≤c≤3.
令x＝－1，则a－b＋c＝0.
又∵b＝－2a，∴c＝－3a，即2≤－3a≤3，
解得－1≤a≤－2
3，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为(－b
2a，
4ac－b2
4a)，
∴n＝4ac－b2
4a＝c－
b2
4a.
∵b＝－2a，∴n＝c－a.
又∵2≤c≤3，－1≤a≤－2
3，
∴8
3≤n≤4，故④正确．
综上可知，正确的结论为①③④.
4．①②④ [解析] ∵抛物线过点A (－1，1)，B (2，4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝4，
∴b ＝－a ＋1，c ＝－2a ＋2.
∵a ＞0，∴b ＜1，c ＜2，∴结论①②正确； ∵抛物线的顶点坐标为(m ，n )，
∴m ＝－b 2a ＝－－a ＋12a ＝12－12a
， ∴m ＜12
，∴结论③不正确； ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过A (－1，
1)，顶点坐标为(m ，n )，
∴n ≤1，∴结论④正确．
综上所述，正确的结论是①②④.
5．①③④⑤ [解析] ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，与y 轴的交点在(0，－2)和
(0，－1)之间，∴a ＞0，－b 2a
＝1，－2＜c ＜－1，
∴b＝－2a＜0，∴abc＞0，故结论①正确；
∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴另一交点的坐标为(3，0)，
∴当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，故结论②错误；
∵a＞0，b＜0，c＜0，∴4ac＜0，－b2＜0，∴4ac－b2＜0＜8a，故结论③正确；
∵当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，∴a－b＝－c.
∵b＝－2a，∴3a＝－c.又∵－2＜c＜－1，
∴1
3＜a＜
2
3，故结论④正确；
∵当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，a＞0，∴－b＋c＜0，
∴b＞c，故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论是①③④⑤.
6．C[解析] 选项A，C，D，由抛物线开
口向上可知，b>0.又∵抛物线与y轴交于负半轴，∴a＜0，∴直线y＝ax＋b应经过第一、二、四象限，故选项A，D错误，选项C正确；选项B，由抛物线开口向下可知b<0.又∵抛物线与y轴交于正半轴，∴a>0，∴直线y＝ax＋b应经过第一、三、四象限，故本选项错误，故选C.
7．D[解析] 抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝bx2＋ax＋c与y轴的交点坐标都为(0，c)，所以排除选项 C.又因为两条抛物线的对称轴为直线
x＝－b
2a和直线x＝－
a
2b，所以对称轴在y轴的同
侧，所以排除选项A，B，故选D.
8．C[解析] ∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2.若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2.
∴①当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M ＝y1；故此项正确．
②当0<x<1时，y1＞y2，故M＝y2.在直线y2＝－x＋1中，y随x的增大而减小；当x>1时，y1<y2，故M＝y1.在抛物线y＝－x2＋1中，当x>1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，y1＝y2，
故M ＝y 1＝y 2＝1，故M 随x 的增大而减小，此项错误．
③由图象可得出：M 的最大值为1，故使得M 大于1的x 值不存在，故此项正确．
④当－1＜x ＜0，M ＝12
时，即y 1＝－x 2＋1＝12
， 解得x 1＝－22，x 2＝22
(不合题意，舍去)； 当0＜x ＜1，M ＝12时，即y 2＝－x ＋1＝12
， 解得x ＝12，故使得M ＝12的x 值是－22或12
，故此项正确．故正确的结论有3个．。