长宁初三数学

2010学年第一学期初三数学质量监控试卷
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在等腰直角三角形中，一个锐角的正切值是（ ▼ ） A.
2
2
B.1
C.3
D.
3
3
2.下列计算中错误的是（ ▼ ）
A. ︒=︒-︒30sin 30sin 60sin
B. 145cos 45sin 2
2
=︒+︒ C. ︒︒=
︒30sin 60sin 60tan D. ︒
︒
=︒60cos 30cos 30cot
3.抛物线1223
1+-=x x y 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（▼） A.向上 直线3=x （3，-8） B. 向下 直线3-=x （-3，-8）
C.向上 直线3=x （3，-2）
D. 向下 直线3-=x （-3，-2）
，最短0≠m ）
;
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.在等边三角形中，边长与高的比值是▼。

8.化简：()
b a b a 42)2(3+-+= ▼ 。

9.已知两个相似三角形的相似比为1:3，若较小的三角形面积为6，
则较大的三角形面积是▼ 。

10.如图，在直角坐标系中，α∠的顶点与坐标原点O 重合，一边在x 轴正半轴上，另
一边是射线OM ，已知cot α=3，若OM 上一点P 的横坐标是3，则点P 的纵坐标是 ▼ 。

11.已知二次函数432
+-=x y 的图像沿y 轴向下平移4个单位后，得到的函数图象的解析式为 ▼ 。

12.如图，四边形ADEF 是菱形，如果AC=30，AB=20，则EF= ▼。

13.如图，某建筑物门口有一无障碍通道，通道的斜坡长为a 米，通道的最高点距水平地面b 米，若a : b =1:37，该通道的坡比是▼ 。

14.在直角坐标系中，一条抛物线的开口向下，且对称轴在y 轴左侧，如果点A(11
y ，)和B(22y ，)在该抛物线上，则1y ▼ 2y 。

（填“>,<或=”）
15.已知⊙O 的直径是4，⊙O 上两点B 、C 分⊙O 所得劣弧与优弧之比为1:3，则弦BC
的长为 ▼ 。

16.如果一个正六边形的边心距等于6 cm ，则它的周长是 ▼ cm 。

17.已知半径均为1cm 的两圆外切，那么半径为2cm 且与这两个圆都相切的圆有 ▼ 个。

18.如图，点G 是等边△ABC 的重心，过点G 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 于点D 、E ，在BC 边上确定一点M ．使△BDM ～△CEM （但不全等），则S △BDM ︰S △CEM ＝▼
.
第18题图
第13题图
第12题图
F
E
D B
C
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）
已知平行四边形ABCD ，设m BC =，n BA =，点P 、Q 分别是对角线AC 、BD 上的点，且AO AP 21=，OD OQ 2
1=。

试用、分别表示向量、OQ 、PQ 。

D B
A
20. （本题满分10分）
已知：如图，AD是△ABC的边BC上的高，且AD是BD与DC的比例中项。

求证：△ABC是直角三角形。

21. （本题满分10分）
已知⊙O的半径是是5 cm，弦AB = 8 cm。

（1）求圆心到AB的距离；
（2）弦AB两端在圆上滑动，且保持AB=8 cm，AB的中点在运动过程中构成什么图形，请说明理由。

22. （本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA
(1)分别过点A、B作x轴的垂线，垂足是
(2)求B点的坐标；
(3)设过A、B、O
23.（本题满分12分）
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的三个顶点都在格点上。

（1） 在网格中确定一点D ，使得=-（只要画出向量，不必写作法）； （2） 若E 为BC 中点，则ta n ∠CAE= ▼ ；
（3） 在△ACD 中，求∠CAD 的正弦值。

24.（本题满分12分）
某海域一哨所A 周围是半径为15海里的暗礁区，哨所值班人员发现一艘轮船在哨所正西方向45海里B 处向哨所方向驶来，值班人员立即向轮船发出危险警告信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了15海里到达C 处才收到哨所第二次发出的危险警告信号。

（1）若轮船第一次能收到危险信号，为避免触礁，轮船航向应该改变角度至少为北偏东α度，求cos α的值；
（2）当轮船只收到第二次危险警告信号时，为避免触礁，轮船航向改变角度至少为南偏东多少度？
25.（本题满分14分）。