北京理工大学2011-2012学年第二学期数学物理方程与特殊函数期末试题(A卷)

课程编号： 07000125 北京理工大学2011-2012学年第二学期
2010级数学物理方程与特殊函数期末试题（A 卷）
班级_______________学号_______________姓名______________成绩_____________
一、简答下列各题（直接写出结果，无需推导求解，每题5分，共计15分）
1.设正方形薄板上下两面绝热，板的两边(0x =,x a =)始终保持零度,另外
两边(0y =,y a =)的温度分别为()f x 和()g x ,请写出板内稳恒状态下的温度分布所满足的定解问题。

2. 长为1的均匀细杆侧表面绝热，0x =端有恒定热流q 进入，1x =端绝热，
杆的初始温度为()f x , 试写出杆内温度分布的定解问题。

3．长度为2的均匀细弦两端固定，作自由振动，初位移如图所示，初速度
为零，请写出该振动的定解问题。

h
x
1 2
二、（15分）用分离变量法求解如下定解问题：
220101, 01, 0,0, 1,
.x x t u u
x t t x u u u x ===⎧∂∂=-<<>⎪∂∂⎪⎪
==⎨⎪
=⎪⎪⎩
三、（15分）用特征线法解下列定解问题：
0020, , 0,
|sin , |0.
tt xt xx t t t u u u x t u x u ==+-=-∞<<+∞>⎧⎨
==⎩
四、（15分）用积分变换法求解如下定解问题：
00
1,0,0,|1,| 1.xy x y u x y u y u ===>>⎧⎪
=+⎨⎪=⎩
附：常用的拉普拉斯变换
五、（15分）求拉普拉斯方程第一边值问题在半空间1y >-内的格林函数，并求解定解问题：
01,
(1)().xx yy zz u u u y u x z f x z x z ++=>-⎧⎨
-=-∞<<+∞⎩，，
，，， ，
六、（15分） 设(1,2,)i i α= 是一阶贝塞尔函数1()J x 的正零点，将函数
3()(01)f x x x =≤≤ 展开成贝塞尔函数1()i J x α的级数。

七、（10分） 一半径为a 的半圆形平板，其圆周边界上的温度保持
(,)(),u a θθπθ=- 而直径边界上温度保持零度，板的侧面绝缘，试求稳恒状态
下的温度分布规律(,).u ρθ。