呼玛县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

呼玛县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）
A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}
2．已知集合M={1，4，7}，M∪N=M，则集合N不可能是（）
A．∅B．{1，4} C．M D．{2，7}
3．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）
A．B．C．D．
4．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）
A．6 B．5 C．3 D．4
5．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）
A．B．C．D．6
6．sin570°的值是（）
A．B．﹣C．D．﹣
7．函数f（x）=的定义域为（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（1，2）
8．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（）
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
9． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）
A ．（0，）
B ．（，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
10．下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
11．若命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，＜x ，则下列说法正确的是（ ） A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧（￢q ）是真命题
C ．命题p ∧q 是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
12．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =
A 、22
B 、23
C 、24
D 、25
二、填空题
13．若实数x ，y 满足x 2
+y 2
﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ．
14．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2+3x 在x ∈[1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围 ．
15．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．
16．已知点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），求向量
在方向上的投影．
17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数
()()2220f x x a x =+>和()()3220g x x a x =+>均相切（其中a 为常数），切点分别为()11,A x y 和
()22,B x y ，则12x x +的值为__________．
18．给出下列命题：
（1）命题p ：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q ：菱形的对角线相等；则p ∨q 是假命题
（2）命题“若x 2
﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题 （3）“1＜x ＜3”是“x 2
﹣4x+3＜0”的必要不充分条件
（4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2
+4x+5≠0，则¬p ：
．
其中叙述正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
三、解答题
19．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数
()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4，且满足()01f =.
（1）求实数b 和c 的值；
（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由； （3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.
20．已知曲线C 的极坐标方程为4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系； （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P （x ，y ）是曲线C 上的一个动点，求3x+4y 的最大值．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．
（I）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？
（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．
22．求曲线y=x3的过（1，1）的切线方程．
23．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证：+≥m．
24．十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）
（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
呼玛县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，
所以（C U A）∩（C U B）={7，9}
故选B
2．【答案】D
【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，
∴集合N不可能是{2，7}，
故选：D
【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．
3．【答案】A
【解析】解：
=1×
故选A．
4．【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，
∴a4•a5=2×5=10，
∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4
=4lg（a4•a5）=4lg10=4
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．
5．【答案】B
【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，
设底面边长为a，则，∴a=6，
故三棱柱体积．
故选B
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
6．【答案】B
【解析】解：原式=sin（720°﹣150°）=﹣sin150°=﹣．
故选B
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
7．【答案】D
【解析】解：由题意得：，
解得：1＜x＜2，
故选：D．
8．【答案】
【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.
法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54，
a＝2 016，b＝54，r＝18，
a＝54，b＝18，r＝0.
∴输出a＝18，故选D.
9．【答案】C
【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，
∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
10．【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交． 故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
11．【答案】 B
【解析】解：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，即不等式x ﹣2＞0有解，∴命题p 是真命题； x ＜0时，＜x 无解，∴命题q 是假命题；
∴p ∨q 为真命题，p ∧q 是假命题，￢q 是真命题，p ∨（￢q ）是真命题，p ∧（￢q ）是真命题；
故选：B ．
【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p ∨q ，p ∧q ，￢q 的真假和p ，q 真假的关系．
12．【答案】A
【解析】1237k a a a a a =++++176
72
a d ⨯=+
121(221)d a d ==+-， ∴22k =．
二、填空题
13．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x ﹣2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线z=x ﹣2y 过图形上的点A 的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x 2+y 2﹣2x+4y=0可化为（x ﹣1）2+（y+2）2
=5， 即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，最大值为：10．
故答案为：10．
14．【答案】（﹣∞，3]．
【解析】解：f′（x）=3x2﹣2ax+3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2﹣2ax+3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=﹣2a+6≥0，
∴a≤3；
实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
15．【答案】4+．
【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，
∵底面边长为6，∴BC=，
球O的半径为3，球O1的半径为1，
则，
在Rt△OMO1中，OO1=4，，
∴=，
∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．
故答案为：4+．
【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．16．【答案】
【解析】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），
∴向量=（1+1，2﹣1）=（2，1），
=（3+2，4+1）=（5，5）；
∴向量在方向上的投影是
==．
17．【答案】56 27
【解析】
18．【答案】 （4）
【解析】解：（1）命题p ：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q ：菱形的对角线相等为假命题；则p ∨q 是真命题，故（1）错误，
（2）命题“若x 2
﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，
（3）由x 2﹣4x+3＜0得1＜x ＜3，则“1＜x ＜3”是“x 2
﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，
（4）若命题p ：∀x ∈R ，x 2
+4x+5≠0，则￢p ：
．正确，
故答案为：（4）
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】（1）1
,14
b c =
=；（2）答案见解析；（3）当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于实数b,c的方程组，求解方程组可得1,1
4
b c
==；
（3）函数()
g x的导函数()()
2
1
3244
4
g x x a x a
⎛⎫
=+--+
⎪
⎝⎭
'，结合导函数的性质可得当1
a<-或0
a>时，()
g x在()
0,4有两个零点；当10
a
-≤≤时，()
g x在()
0,4有一个零点.
试题解析：
（1）由题意
()
()
01
{
440
f c
f b c
=+
=-+=
，解得
1
{4
1
b
c
=
=
；
（2）由（1）可知()()
32
4
f x x a x
=+--
1
41
4
a x
⎛⎫
++
⎪
⎝⎭
，
∴()()
2
1
3244
4
f x x a x a
⎛⎫
=+--+
⎪
⎝⎭
'；
假设存在
x满足题意，则()()
2
000
1
3244
4
f x x a x a
⎛⎫
=+--+
⎪
⎝⎭
'是一个与a无关的定值，
即()2
000
1
2438
4
x a x x
-+--是一个与a无关的定值，
则
240
x-=，即
2
x=，平行直线的斜率为()17
2
4
k f
==-
'；
（3）()()()
32
4
g x f x a x a x
=+=+-
1
41
4
a x a
⎛⎫
-+++
⎪
⎝⎭
，
∴()()
2
1
3244
4
g x x a x a
⎛⎫
=+--+
⎪
⎝⎭
'，
其中()21
44124
4
a a
⎛⎫
∆=-++=
⎪
⎝⎭
()2
2
4166742510
a a a
++=++>，
设()0
g x'=两根为
1
x和()
212
x x x
<，考察()
g x在R上的单调性，如下表
1°当0a >时，()010g a =+>，()40g a =>，而()15
2302
g a =--
<， ∴()g x 在()0,2和()2,4上各有一个零点，即()g x 在()0,4有两个零点； 2°当0a =时，()010g =>，()40g a ==，而()15
202
g =-
<， ∴()g x 仅在()0,2上有一个零点，即()g x 在()0,4有一个零点；
3°当0a <时，()40g a =<，且13024g a ⎛⎫=->
⎪
⎝⎭
， ①当1a <-时，()010g a =+<，则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上各有一个零点，
即()g x 在()0,4有两个零点；
②当10a -≤<时，()010g a =+≥，则()g x 仅在1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上有一个零点， 即()g x 在()0,4有一个零点；
综上：当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点； 当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36得4x 2+9y 2
=36，
化为
；
（Ⅱ）设P （3cos θ，2sin θ），
则3x+4y=
，
∵θ∈R ，∴当sin （θ+φ）=1时，3x+4y 的最大值为
．
【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】（I ）证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，平面PAB ∩平面ABCD=AB ，
∴AD ⊥平面PAB ．又PB ⊂平面PAB ，
∴AD ⊥PB ．
（II ）解：由（I ）可知，AD ⊥平面PAB ，又E 为PA 的中点，
当M为PD的中点时，EM∥AD，
∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PAB．
此时，．
（III）设CD的中点为F，连接BF，FM
由（II）可知，M为PD的中点．
∴FM∥PC．
∵AB∥FD，FD=AB，
∴ABFD为平行四边形．
∴AD∥BF，又∵EM∥AD，
∴EM∥BF．
∴B，E，M，F四点共面．
∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM，
∴PC∥平面BEM．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．22．【答案】
【解析】解：y=x3的导数y′=3x2，
①若（1，1）为切点，k=3•12=3，
∴切线l：y﹣1=3（x﹣1）即3x﹣y﹣2=0；
②若（1，1）不是切点，
设切点P（m，m3），k=3m2=，
即2m2﹣m﹣1=0，则m=1（舍）或﹣
∴切线l：y﹣1=（x﹣1）即3x﹣4y+1=0．
故切线方程为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．
【点评】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点处的切线方程等基础知识，注意在某点处和过某点的切线，考查运算求解能力．属于中档题和易错题．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分）
当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）
∴m=2．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵（+）[]≥（）2=3，
∴（+）×≥（）2，
∴+≥2．…（7分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
24．【答案】
【解析】（1）解：赞成率为，
被调查者的平均年龄为20×0.12+30×0.2+40×0.24+50×0.24+60×0.1+70×0.1=43
（2）解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
∴ξ的分布列为：
0 1 3
∴．
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．。