北京市第四中学高三数学总复习 导数函数的综合 知识讲

高考冲刺：导数与函数的综合
【高考展望】
1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；
2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则要熟记并应用， 5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；
6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；
7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；
8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;
9．分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。

【知识升华】
考点一、求切线方程的一般方法，可分两步： （1）求出函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。

要点诠释：
求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 【高清课堂：导数的应用（理）394572知识要点】
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当'()0f x >时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当'()0f x <时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有'()0f x =时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。

要点诠释：
①在区间(a,b)内，'()0f x >是f(x)在(a ，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：
32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而f(x)在R 上递增。

②学生易误认为只要有点使'()0f x =，则f(x)在(a ，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有'()0f x =，这个函数y=f(x)
在这个区间上才为常数函数。

③要关注导函数图象与原函数图象间关系。

（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1) 确定函数f(x)的定义域； (2) 求导数'()f x ；
(3) 在定义域内解不等式'()0'()0f x f x ><或； (4) 确定f(x)的单调区间。

考点三、求函数的极值与最值 （1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，
(1)如果对于x 0附近的所有点，都有：f(x)<f(x 0)，称f(x 0)为函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)；
(2)如果对于x 0附近的所有点，都有：f(x)>f(x 0)，称f(x 0)为函数f(x)的—个极小值，记作y 极小值=f(x 0)。

极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较。

②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。

由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

③极大值与极小值之间无确定的大小关系。

即一个函数的极大值未必大于极小值。

极小值不一定是整个定义区间上的最小值。

④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。

我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。

如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。

⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。

在函数取得极值处，
如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有'()0f x =。

但反过来不一定。

如函数y=x 3
，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。

（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域； ②求导数；
③求方程'()0f x =的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极
大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。

(最好通过列表法)
考点四、求函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。

连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a ，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。

（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。

（2）在区间[a ，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a ，b)内的导数 ②求函数y=f(x)在(a ，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a ，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

考点四、定积分计算、微积分基本定理 1.定积分的性质
（1）()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =⎰
⎰（k 为常数），
（2）
[]1212()()()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰，
（3）
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰（其中b c a <<），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()0b
b
f x dx -=⎰
；
若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则0
()2()b
b b
f x dx f x dx -=⎰
⎰.
2.微积分基本定理：
()()
()()b
b
a
a
f x dx F x F b F a ==-⎰
.
【高清课堂：函数的概念、图象和性质 368992知识要点】 【典型例题】
类型一：导数的几何意义和物理意义 举一反三：
例1．在曲线C ：3
2
66y x x x =--+上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C 关于该点对称。

【思路点拨】注意到P ，Q 的任意性，由此断定曲线C 关于点A 成中心对称。

【解析】（1）13)2(3112322--=--='x x x y ∴当2=x 时，y '取得最小值-13
又当2=x 时，126226223-=+-⋅-=y ∴斜率最小的切线对应的切点为A （2，-12）；
（2）证明：设),(00y x P 为曲线C 上任意一点，则点P 关于点A 的对称点Q 的坐标为
)24.4(00y x ---
且有6602
030
0+--=x x x y ① ∴将04x x =-代入6623+--=x x x y 的解析式得
32000(4)6(4)(4)6x x x -----+30602
030
-++-=x x x 24)66(02
030
-+---=x x x 024y --=，
∴点)24,4(00y x Q ---坐标为方程6623+--=x x x y 的解 ∴Q C ∈
举一反三：
【变式1】已知曲线)0(sin )()(≠==a ax x f y x f y 与，其中0)(>x f ，且均为可导函数， 求证：两曲线在公共点处相切。

【证明】注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合， 设上述两曲线的公共点为),(00y x M ，则有
)(00x f y =，000sin )(ax x f y =，∴000sin )()(ax x f x f = ，
∴1sin 0=ax ，∴)(2
20Z k k ax ∈+=π
π，
∴))(2
2(10Z k k a x ∈+=
π
π 于是，对于)(1x f y =有)(x f y '='； ①
对于ax x f y sin )(2=，有2
()sin ()cos y f x ax af x ax ''=+ ② ∴由①得)(010
x f y x x '='=，
由②得00002
cos )(sin )(0
ax x af ax x f y x x +'='=
)2
2cos()()2
2sin()(00π
ππ
π+
++'=k x af k x f
)(0x f '=
∴0
1
2
x x x x y y ==''=，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，
∴两曲线在公共点处的切线重合，∴两曲线在公共点处相切。

【变式2】求曲线3
2
()23f x x x x =++-的分别满足下列条件的切线： （1）在点11（，）的切线；（2）过点11（，）的切线； 【解析】2
()322f x x x '=++
（1）1x =时，在点11（，）
的切线的切线的斜率(1)7k f '==， ∴在点11（，）的切线为17(1)y x -=-，即760x y --=. （2）当切点为点11（，）时，切线为760x y --= 当切点不是点11（，）
时，设切点为00(,)P x y ，
则3200002
00000231()3221
y x x x y k f x x x x ⎧=++-⎪-⎨'==++=⎪-⎩
， 解得0015x y =-⎧⎨=-⎩或00
1
1x y =⎧⎨=⎩（舍去）
∴切点为(1,5)P --的切线为13(5)y x +=+，即3140x y -+=， 故过点11（，）的切线为760x y --=或3140x y -+=. 【变式3】运动曲线的方程为：2
2
1()2t S t t t
-=+，求t=3时的速度，加速度。

【解析】运动曲线的速度为：
2122
223
112()'()(
2)(2)4---''==+=-+=-++t v t S t t t t t t t t t
t=3时的速度：1226
(3)121192727v =-++=
运动曲线的加速度为：
23
2334
1226()'()(4)(24)4--''==-
++=-++=-+t v t t t t t t t t t α
t=3时的加速度：26
(3)442781
α==-+=
类型二：函数的单调区间
例2．是否存在这样的k 值，使函数2
1
232)(2342++--=x kx x x k x f 在区间（1，2）上递减，在（2，∞）上递增，若存在，求出这样的k 值；
【解析】2224)(232+--='kx x x k x f
由题意，当)2,1(∈x 时0)(<'x f ，当),2(∞∈x 时0)(>'x f ， ∴由函数)(x f '的连续性可知0)2(='f ，即0248322=+--k k 整理得，032162=--k k ，解得12
k =
或83-=k
验证： （Ⅰ）当2
1=
k 时，32
()22(1)(1)(2)f x x x x x x x '=--+=+-- ∴若21<<x ，则0)(<'x f ；若2>x ， 则0)(>'x f ， 符合题意；
（Ⅱ）当8
3
-=k 时，243
2169)(23++-=
'x x x x f )9
193
7)(2)(91937(169+----=x x x ，
显然不合题意。

综上可知，存在2
1
=
k 使)(x f 在（1，2）上递减，在（2，∞）上递增。

举一反三：
【变式1】当x>0时，证明不等式：2
1-
ln(1)2
x x x <+ 【证明】设22
2111--1()--ln(1)'()1---2111
x x f x x x x f x x x x x =+⇒===+++
0,10'()0()(0)x x f x f x >+>⇒<+∞Q ，则函数在，上单调减函数
()(0)0f x f ∴<=，
21
-ln(1)2
x x x ∴<+成立
例3．若x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间。

【解析】13)(2+='ax x f
若0>a ，则)(0)(R x x f ∈>'，此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞， 与题设矛盾；
若0=a ，则()1f x '=，此时)(x f 只有一个增区间),(+∞-∞，与题设矛盾； 若0<a ，则2
1()3()3()()333f x a x a x x a a a
'=+
=+--- 并且当a
x a
x 3131->
--<
或时，0)(<'x f ；
当
a
x a
3131-<
<--时，0)(>'x f
∴综合可知，当0<a 时，)(x f 恰有三个单调区间： 减区间),31(
),31,
(+∞----∞a a ；
增区间)31,
31(
a
a
---
举一反三：
【变式1】设3
1()3
f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。

【解析】2
'()1f x ax =+
①若0'()0a f x ≥⇒>恒成立，
此时f(x)在R 上为单调函数，只有一个单调区间为(-∞，+∞)，不合题意； ②若0a <
'()0'()0f x x f x x x >⇒<<<⇒<> 综上，a<0时有三个单调区间，
增区间为：⎛ ⎝
减区间为：-,⎛⎫∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭。

类型三：函数的极值
例4．已知函数f(x)=ax 3+bx 2
-3x 在x=±1处取得极值。

(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程。

【解析】(1) 2
'()323,f x ax bx =+-
依题意，'(1)'(1)0f f =-=， 即32-30
1,03-2-30a b a b a b +=⎧==⎨
=⎩
，解得
∴3
()3f x x x =-，2
'()333(1)(1),f x x x x =-=+- 令'()0f x =，得x=-1，x=1，
若x ∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，则'()0f x >，
故f(x)在(-∞，-1)上是增函数，f(x)在(1，+∞)上是增函数 若x ∈(-1,1)，则'()0f x <，故f(x)在(-1,1)上是减函数 所以，f(-1)=2是极大值；f(1)=-2是极小值；
(2)曲线方程为y=x 3
-3x ，点A(0,16)不在曲线上
设切点为M(x 0，y 0)，则点M 的坐标满足3
000y =x -3x ，
200'()31f x x =-因（），
故切线的方程为2
000y-y =3(x -1)(x-x )
注意到点A(0,16)在切线上，有3
2
000016-(x -3x )=3(x -1)(0-x )，
30x =-8化简得,解得x 0=-2
所以切点M(-2，-2)，切线方程为9x-y+16=0 举一反三：
【变式1】已知函数5
3
()1f x x ax bx =+++，当且仅当1,1=-=x x 时，)(x f 取得极值，并且极大值比极小值大4.
（1）求常数b a ,的值； （2）求)(x f 的极值。

【解析】（1）b ax x x f ++='2435)(，令0)(='x f 得方程03524=++b ax x ∵)(x f 在1,1=-=x x 处取得极值
∴1-=x 或1=x 为方程03524=++b ax x 的根，
故有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+-0
)1(3)1(50)1(3)1(52
42
4b a b a
∴035=++b a ，即53--=a b ①
∴5335)(24--+='a ax x x f )1(3)1(524-+-=x a x )535)(1)(1(2++-+=a x x x 又∵)(x f 仅当1±=x 时取得极值， ∴方程0)(='x f 的根只有1-=x 或1=x ， ∴方程05352=++a x 无实根，
∴0)53(5402<+⨯⨯-=∆a 即053>+a 而当3
5
->a 时，05352>++a x 恒成立，
∴)(x f '的正负情况只取决于)1)(1(-+x x 的取值情况 当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：
∴)(x f 在1-=x 处取得极大值)1(-f ，在1=x 处取得极小值)1(f 。

由题意得4)1()1(=--f f ,整理得3-=+b a ② 于是将①，②联立，解得2,1-=-=b a
（2）由（1）知，12)(35+--=x x x x f
1)1()(,3)1()(-===-=f x f f x f 极小值极大值
例5．已知函数3
2
()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与x ＝1时都取得极值 （1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间；
（2）若对x ∈[－1，2]，不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围。

【解析】（1）3
2
()f x x ax bx c =+++，2
'()32=++f x x ax b
由2124
'()0393
-=
-+=f a b ，'(1)320=++=f a b 得 1
2
a =-，
b ＝－2
∴2
'()32(32)(1)=--=+-f x x x x x ，
函数f （x ）的单调区间如下表： x 2(,)3-∞- －2
3 2(,1)3
-
1 (1,)+∞
'()f x ＋
0 － 0
＋
f （x ） ↑
极大值 ↓ 极小值 ↑
所以函数f （x ）的递增区间是(,)3
-∞-与(1,)+∞；
递减区间是2(,1)3
-
（2）3
2
1()22f x x x x c =-
-+，x ∈[－1，2]， 当23x =-时，22
()27
f x c =+为极大值，
而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值
要使2
()f x c <（x ∈[－1，2]）恒成立，
只需2
(2)2c f c >=+,解得12c c <->或.
举一反三：
【变式1】设3=x 是函数()()()R x e
b ax x x f x
∈++=-32
的一个极值点.
（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间； （Ⅱ）设0>a ，()x
e a x g ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
=4252
.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，求a 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）()23'[(2)]x
f x x a x b a e -=-+-+-,
由'(3)0f =，得 233
[3(2)3]0a b a e
--+-+-=，即得32b a =--，
()23233'[(2)32][(2)33](3)(1)x
x x
f x x a x a a e x a x a e x x a e ---=-+----=-+---=--++
令'()0f x =，得13x =或21x a =--， 由于x ＝3是极值点，所以31a ≠--，4a ≠- 当31a <--，即4a <-时，
在区间(,3)-∞上，'()0f x <， ()f x 为减函数； 在区间(3,1)a --上，'()0f x >，()f x 为增函数； 在区间(1,)a --+∞上，'()0f x <，()f x 为减函数。

当31a >--，即4a >-时，
在区间(,1)a -∞--上，'()0f x <， ()f x 为减函数； 在区间(1,3)a --上，'()0f x >，()f x 为增函数；
在区间(3,)+∞上，'()0f x <，()f x 为减函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
3132(0)(32)0,(3)6,(4)0a
f a e f a f e
+=--<=+=
> 所以f (x)在区间[0，4]上的值域是3
[(32),6]a e a --+ 又2
25()()4
x
g x a e =+
在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是2
24
2525[,()]44
a a e ++， 由于2
222511
()(6)()0442
a a a a a +
-+=-+=-≥， 所以只需2
25()(6)14a a +
-+<且0a >，解得<3
02
a <<. 故a 的取值范围是（0，2
3
）。

类型四：函数的最值
【高清课堂：导数的应用（理）394572例2】
例6．已知函数2
()()x k
f x x k e =-. (1)求)(x f 的单调区间；
(2)若对0(∈∀x ，)∞+，都有e
x f 1
)(≤
，求k 的取值范围。

【解析】(1) 2
()()x k
f x x k e =-的定义域为(,)-∞+∞
2
11'()2()()()()x x x
k
k
k
f x x k e x k e e x k x k k k =-+-⋅=-+
显然0k ≠，由'()0f x =得12,x k x k ==-
当0k >时，'()0f x x k x k >⇒><-或，'()0f x k x k <⇒-<<
()f x 在(,)k -∞-，(,)k +∞上单调增，在(,)k k -上单调减
当0k <时，'()0f x k x k >⇒<<-，'()0f x x k x k <⇒>-<或
()f x 在(,)k -∞，(,)k -+∞上单调减，在(,)k k -上单调增.
(2)由（1）知，
当0k >时，()f x 在(0,)k 上单调减，(,)k +∞上单调增， 且x →+∞时()f x →+∞，所以()f x 没有最大值.
当0k <时，()f x 在(0,)k -上单调增，(,)k -+∞上单调减，
2
max 11()()4f x f k k e e
=-=≤ 解得1
02
k -
≤< 综上，k 的取值范围1
02
k -≤< 举一反三： 【变式1】设
132
<<m ，函数)11(2
3)(23≤≤-+-=x n mx x x f 的最大值为1，最小值为2
6
-
，求常数n m ,的值。

【解析】)(333)(2m x x mx x x f -=-='， 令0)(='x f 得0)(=-m x x
解
得
122
0,(1)3
x x m m ==<<
当x 在[1,1]-上变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：
x
-1 (-1,0)
0 ),0(m
m
)1,(m
1 )(x f '
+ 0
—
+
)(x f )1(-f
极大值n
极小值2
2
m n -+
)1(f
∴当0=x 时，)(x f 取得极大值n ；当m x =时，)(x f 取得极小值n m +-2
2。

由上述表格中展示的)(x f 的单调性知(0)(1),(0)(),(1)()f f f f m f f m >->> ∴)(x f 最大值在)0(f 与)1(f 之中，)(x f 的最小值在)1(-f 和)(m f 之中， 考察差式32
(0)(1)1,1,(0)(1)023
f f m m f f -=
-<<∴->Q ， 即(0)(1)f f >，故)(x f 的最大值为(0)f 由此得11)0(=⇔=n f 考察差式3211
(1)()(32)(2)(1)22
f f m m m m m --=
--=-+ 13
2
<<m Θ
，0)()1(<--∴m f f ，即)()1(m f f <-， ∴)(x f 的最小值为(1)f -
由此得2623-
=-
m ，解得3
6
=m 于是综合以上所述得到所求1,3
6
==n m 。

例7．已知3
2
()6(12)f x ax ax b x =-+-≤≤的最大值为3，最小值为-29，求b a ,的值；
【解析】这里0≠a ，不然(f x b =）与题设矛盾
)4(3123)(2-=-='x ax ax ax x f
令0)(='x f ，解得0=x 或x=4（舍去）
（Ⅰ）若0>a ，则当)0,1(-∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 在)0,1(-内递增； 当)2,0(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在)2,0(内递减 又)(x f 连续，故当0=x 时，)(x f 取得最大值)0(f
∴由已知得33)0(=⇔=b f
而(1)73,(2)163(1)f a f a f -=-+=-+<- ∴此时)(x f 的最小值为)2(f
∴由29)2(-=f 得229316=⇔-=+-a a
（Ⅱ）若0<a ，则运用类似的方法可得
当0=x 时)(x f 有最小值，故有2929)0(-=⇔-=b f ； 又)1(2916)2(,297)1(->--=--=-f a f a f ∴当2=x 时，)(x f 有最大值，
∴由已知得232916-=⇔=--a a 于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求3,2==b a 或29,2-=-=b a
举一反三：
【变式1】设函数f(x)=ax 3
+bx+c(a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数'()f x 的最小值为-12
(Ⅰ)求a,b,c 的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。

【解析】(Ⅰ)∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)即-ax 3-bx+c=-ax 3
-bx-c ，∴c=0
∵2
'()3f x ax b =+的最小值为-12，∴b=-12 又直线x-6y-7=0的斜率为1
.6
因此'(1)36f a b =+=-，∴a=2, ∴a=2,b=-12,c=0
(Ⅱ)f(x)=2x 3
-12x ，2'()6-126(-f x x x x ==+，
()f x ↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以函数f(x)的单调增区间是(--2)(2+)∞∞，
和， ∵f(-1)=10， (2)-82f =， f(3)=18
∴f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(2)=-82
类型五：导数的实际应用
例8．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x 2
的图象与x 轴所围成图形中有个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值。

【解析】设点B 的坐标为(x,0)且0<x<2,
∵f(x)=4x-x 2
图象的对称轴为x=2, ∴点C 的坐标为(4-x,0),
∴|BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x 2
.
∴矩形面积为y=(4-2x)(4x-x 2)=16x-12x 2+2x 3
y ＇=16-24x+6x 2=2(3x 2
-12x+8)
令y ＇=0解得332
2±=x ， ∵0<x<2, ∴取33
2
2-=x
∵极值点只有一个，当3322-
=x 时，矩形面积的最大值3932max =y 答：这个矩形面积的最大值为32
39。

举一反三：
【变式1】一艘渔艇停泊在距岸9km 处，今需派人送信给距渔艇343km 处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km ，船速每小时4km ，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？
【解析】如图示设A 点为渔艇处，BC 为海岸线，C 为渔站，且AB=9km, 设D 为海岸线上一点，CD=x ，只需将时间T 表示为x 的函数，
∵15,34322=-=
=AB AC BC AC ， 由A 到C 的时间T ，则81)15(4
1
512+-+=x x T （0≤x ≤15）
81
)15(41551'2+---=x x T （0≤x ≤15）
令T ＇=0，解得x=3，在x=3附近，T ＇由负到正， 因此在x=3处取得最小值，又20
87
)3(,421)15(,4343)0(===
T T T ，比较可知T(3)最小。

【变式2】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：313
8(0120).12800080
y x x x =
-+<≤已
知甲、乙两地相距100千米.
（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
【解析】（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
2.540
=小时，
要耗没313
(
40408) 2.517.512800080
⨯-⨯+⨯=（升）.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100
x
小时，设耗油量为()h x 升，依题意得
3213100180015
()(8).(0120)1280008012804
h x x x x x x x =-+=+-<≤
33
22
80080'()(0120)640640x x h x x x x -=-=<≤
令'()0h x =，得80x =
当(0,80)x ∈时，'()0h x <，()h x 是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0h x >，()h x 是增函数.
当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
类型五：定积分计算、微积分基本定理
例9.已知函数2,10,
(),0 1.
x x f x x x --≤<⎧=⎨≤≤⎩，计算11
()f x dx -⎰.
【思路点拨】分段函数的定积分也需要分段求. 【解析】
1
1
()f x dx -⎰
＝01
()f x dx -⎰＋1
()f x dx ⎰
＝
1
()x dx --⎰＋120x dx ⎰＝201
12x -⎛⎫- ⎪⎝⎭＋31
013x ⎛⎫
⎪⎝⎭
＝
115236
+=. 【总结升华】
当被积式为分段函数时，应分段积分；利用函数的奇偶性等。

举一反三：
【变式1】求定积分：22
22cos 2x dx π
π-⎰ 【解析】∵2
2cos
cos 12
x
y x ==+是偶函数， ∴22222
2cos (cos 1)2x
dx x dx π
π
ππ--=+⎰⎰
220
2(cos 1)2(sin )
2x dx x x ππ
π=+=+=+⎰.
【变式2】求定积分：3
1x dx -⎰
；
【解析】
3
1x dx -⎰
＝1
1x dx -⎰＋31
1x dx -⎰
＝
1
0(1)x dx -⎰＋3
1
(1)x dx -⎰＝2123
0111()|()|22
x x x x -+- ＝15222
+= 例10．求直线32+=x y 与抛物线2
x y =所围成的图形面积.
【思路点拨】先画出符合题意的图形，由图形可以看出所求的面积一个梯形与曲边梯形
之差，进而可以用定积分求解。

为了确定定积分的上下限，要求出两条曲线的交点的横坐标。

【解析】如图，由2
23y x y x
=+⎧⎨
=⎩得，交点(1,1)A -，(3,3)B ，
所求面积：
3
21[(23)]S x x dx -=+-⎰233
1
1
32(3)
3
3
x x x -=+-=
. 【总结升华】
求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：
（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；
（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键； （4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式； （5）计算各个定积分，求出所求的面积. 举一反三：
【变式1】求抛物线2
y x =与直线230x y --=所围成的图形的面积.
【解析】解方程组2,230,y x x y ⎧=⎨--=⎩得11x y =⎧⎨=-⎩或9
3
x y =⎧⎨=⎩
即交点(1,1),(9,3)A B -.
S 2
S 1B(9,3)
A(1,-1)
y
O x
-1
-2
-11
23
1
243876591011
1912011
[()][(3)]2S S S x x dx x x dx =+=--+--⎰⎰
＝1999
0111
13222xdx xdx xdx dx +-+⎰⎰⎰⎰
＝3321999
2201114233342x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝
32
3
. 需要指出的是，积分变量不一定是x ，有时根据平面图形的特点，也可选y 作为积分变量，以简化计算.但要注意积分上限、下限的确定.
若选y 为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
3
2
1
[(23)]S y y dy -=+-⎰＝223331
1
1
3233
3
y y
y
---+-=
. 【变式2】求由曲线x y x y x y 2,,2
===围成的平面图形的面积.
【解析】由2y x y x ⎧=⎨=⎩ 得(1,1)A ； 由2
2y x y x
⎧=⎨=⎩ 得(2,4)B .
所求面积：
12
20
1
(2)(2)S x x dx x x dx =-+-⎰⎰
21232
01
11127()23
236
x x x =
+-=
+=。