陕西省榆林市2021届高三下学期第二次高考模拟测试试题 文科数学【含答案】

陕西省榆林市2021届高三下学期第二次高考模拟测试试题 文科数学
【含答案】
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.{
}
2
{0}9x
x x x <⋂<=∣∣（ ） A.{30}x
x -<<∣ B.{3}x x <-∣ C.{3}x
x <∣ D.{03}x x <<∣ 2.(
)()4
44i i
i -+=（ ）
A.8-15i
B.15i
C.815i +
D.15i -
3.2020年广东12月份天气预报历史记录中1号至8号的数据如表所示，则（ ） 日期 最高气温/C 最低气温/C 12月1日 23 14 12月2日 23 13 12月3日 20 11 12月4日 19 10 12月5日 21 9 12月6日 21 15 12月7日 23 12 12月8日
23
11
A.这8天的最高气温的极差为5C
B.这8天的最高气温的中位数为23C
C.这8天的最低气温的极差为5C
D.这8天的最低气温的中位数为11.5C
4.已知函数()ln f x x =的图像在()()
,a f a 处的切线斜率为(),k a 则"2"a >是"()1
2
k a <"的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.若抛物线22(0)x py p =>上的点(),1A m 到焦点的距离为4,则||m =（ ） A.
1
12
B.26
C.6
D.23 6.已知函数()22,x x
f x -=-则不等式()
()280x f f +-<的解集为（ ）
A.(-3，0)
B.(),3∞-
C.(0，3)
D.()3,∞+ 7.若()3
3
sin cos sin cos f x x x x x =-的最大值为（ ）
A.
12 B.14 C.22
D.1 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点P 在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则P 在侧视图中对应的点为（ ）
A.点D
B.点C
C.点B
D.点A
9.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴的一个顶点为D ，且C 的左､右焦点分别为12,,F F 若
1230,F F D ∠=则C 的离心率为（ ）
A.
33 B.62 C.233 D.15
3
10，我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里､14里､15里，1里为300步，设6尺为1步，1尺=0.231米，则该沙田的面积约为(结果精确到0.1，参考数据：2415.8172889.64=)（ ） A.15.6平方千米 B.15.2平方千米
C.14.8平方千米
D.14.5平方千米
11.已知三棱锥B PAC -的侧棱都相等，侧棱的中点分别为,,,D E F 棱AC 的中点为,G PB ⊥平面.ABC 且4,120.AB ABC ∠==若四面体DEFG 的每个顶点都在球O 的球面上，则该球面与三棱雉B PAC -侧面的交线总长为（ ）
A.
73π B.83π C.103
π D.113π 12.已知32591
log 7,log 343,4log 22
a b c ===+，则（ ）
A.b a c >>
B.c a b >>
C.a b c >>
D.b c a >>
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若()()2,3,10,a b m =-=，且b a λ=，则λ=_________.
14.甲､乙约定晚上七点在某校门口见面，甲晚上七点准时到了门口，此时，乙打电话告知甲路上出现堵车状况，至少要过20分钟才能到.甲决定等乙半个小时，超过半个小时乙还未到就离开，若乙在晚上七点五十之前一定能到，则两人能见面的概率为_________. 15.设,x y 满足约束条件13
13x y ⎧⎨
⎩
，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为3,则ab 的最大值为_________.
16.关于函数()4sin 6f x x ππ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭有如下四个命题：
①()f x 的最小正周期为2； ②()f x 的图像关于点(
7
6
，0)对称； ③若()(),f a x f a x -=+则|∣的最小值为23
； ④()f x 的图像与曲线12506y x x ⎛⎫
=
<< ⎪⎝⎭
共有4个交点. 其中所有真命题的序号是_________.
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题-第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.
17.(12分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n S 是等差数列，且599,17.S S ==
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}
2n
n n a S ⋅-的前n 项和n T .
18.(12分)某机构为了解某大学中男生的体重单位：kg )与身高x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高(cm ) 161 175 169 178 173 168 180 体重(kg )
52
62
54
70
66
57
73
根据表中数据计算得到y 关于x 的线性同归方程为ˆˆ1.15y x a =+ （1）求ˆa
（2）已知()()
2
2
1
2
1
ˆ1n
i i i n
i i y y
R y y ==-=-
-∑∑且当20.9R 时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R <<时，回
归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由. 参考数据：
()6
2
1
ˆ49.12i i i y y
=-=∑
19.(12分)如图所示的几何体由等高的等圆柱和个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且,,,C E D G 四点共面
（1）证明：BF ⊥平面.BCG
（2）若四边形ADEF 为正方形，且四面体ABDF 的体积为4
3
，求线段FG 的长. 20.(12分)已知函数()()
2
3.x
f x x e m =-+
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()()221210,,,48x
x
x x R f x ∞∀∈+∀∈>-，求m 的取值范围.
21.(12分)已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的焦距与椭圆2
213
x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线
2(1)2y x =-.
（1）求C 的方程；
（2）若直线y kx m =+与C 相交于,A B 两点，且,A B 关于直线:10l x ty ++=对称，O 为C 的对称中
心，且AOB 的面积为
10
3
，求k 的值. (二)选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂､错涂､漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程(10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33cos 3sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)，点P 的坐标为(,0).m
（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（2）若直线123x m t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)与曲线C 交于,A B 两点，若2,PA PB ⋅求26m m -的取值范围.
23.[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数()353 3.f x x x =-++ （1）求不等式()40f x <的解集；
（2）若不等式()22log f x m m >+对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围.
逐题解析
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.{}
2{0}9x
x x x <⋂<=∣∣（ ） A.{30}x
x -<<∣ B.{3}x x <-∣ C.{3}x
x <∣ D.{03}x x <<∣ 解析：{}
2{0}9{0}{33}{30}x
x x x x x x x x x <⋂<=<⋂-<<=-<<∣∣∣∣∣，故选A. 2.()()4
44i i
i -+=（ ）
A.8-15i
B.15i
C.815i +
D.15i -
解析：(
)
42
4(4)(14)(4)(4)815i i i i i i i i -+=-+=-+=-，故选A.
3.2020年广东12月份天气预报历史记录中1号至8号的数据如表所示，则（ ） 日期 最高气温/C 最低气温/C 12月1日 23 14 12月2日 23 13 12月3日 20 11 12月4日 19 10 12月5日 21 9 12月6日 21 15 12月7日 23 12 12月8日
23
11
A.这8天的最高气温的极差为5C
B.这8天的最高气温的中位数为23C
C.这8天的最低气温的极差为5C
D.这8天的最低气温的中位数为11.5C
解析：这8天的最高气温的极差为23194C -=.这8天的最高气温的中位数的
2123
222
+=C .
这8天的最低气温的极差为1596C -=，这8天的最低气温的中位数为1112
11.52
C +=，故选D. 4.已知函数()ln f x x =的图像在()(),a f a 处的切线斜率为(),k a 则"2"a >是"()1
2
k a <"的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 解析：，因为11()2k a a =
<，0a >所以以2a >，因"2a >"是"1
()2
k a <"的充要条件，故选A. 5.若抛物线22(0)x py p =>上的点(),1A m 到焦点的距离为4,则||m =（ ） A.
1
12
B.26
C.6
D.23 解析：因为抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)A m 列焦点的距离为4，所以142
P
+
=，即：6P =，212x y =，所以212,||23m m ==，故选D.
6.已知函数()22,x x
f x -=-则不等式()
()280x f f +-<的解集为（ ）
A.(-3，0)
B.(),3∞-
C.(0，3)
D.()3,∞+
解析：因为()22x x f x -=-为R 上的增函数，奇函数，所以()
2(8)0x f f +-<等价于()
2(8)x
f f <，因
此28x <，即：3x <，故选B.
7.若()3
3
sin cos sin cos f x x x x x =-的最大值为（ ）
A.
12 B.14 C.22
D.1 解析：因为
()
332211
()sin cos sin cos sin sin sin cos sin 2cos sin 424
f x x x x x x x x x x x x α=-=-=-=-
所以33()sin cos sin cos f x x x x x =-的最大值1
4
，故选B
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点P 在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则P 在侧视图中对应的点为（ ）
A.点D
B.点C
C.点B
D.点A
解析：根据三视图可知，该几何件的直观图如图所示，由图可知，P 在侧视图中时应的点为点B ，故选C.
9.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴的一个顶点为D ，且C 的左､右焦点分别为12,,F F 若
1230,F F D ∠=则C 的离心率为（ ）
A.
3362315
解析：因为1230F F D ∠=，所以36c =22
2
2
3636
36,,262c e e ====故选B 10，我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里､14里､15里，1里为300步，设6尺为1步，1尺=0.231米，则该沙田的面积约为(结果精确到0.1，参考数据：2415.8172889.64=)（ ） A.15.6平方千米 B.15.2平方千米 C.14.8平方千米 D.14.5平方千米 解析：由海伦公式可得：该沙田的面和
2221876(30060.231)84415.884172889.64=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯
14522729.76=平方米≈14.5平方千米，故选D
11.已知三棱锥B PAC -的侧棱都相等，侧棱的中点分别为,,,D E F 棱AC 的中点为,G PB ⊥平面.ABC 且4,120.AB ABC ∠==若四面体DEFG 的每个顶点都在球O 的球面上，则该球面与三棱雉B PAC -侧面的交线总长为（ ） A.
73π B.83π C.103
π D.113π 解析：连结BG ，
4AB BC BP ===，侧棱的中点D ，E ，F ，G 分别为各核的中点，120ABC ∠=.
2BD BE BF BG ∴====，∴点B 即为球O 的球心，PB ⊥平面ABC ，：∴球面与三棱锥B PAC -侧
面的交线总长为
212090*********
π
π++⨯⨯=，故选C
12.已知32591
log 7,log 343,4log 22
a b c ===+，则（ ） A.b a c >> B.c a b >> C.a b c >> D.b c a >> 解析：3233233993log 71
log 343log 7,4log log 48log 49log 7log 252
b a
c a α==>==+=<==
所以b a c >> 故选A.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若6()()2,3,10,a b m =-=，且b a λ=，则λ=_________. 答案：5-
解析：因为(2,3),(10,)a b m =-=，且b a λ=，所以210,5λλ-==-
14.甲､乙约定晚上七点在某校门口见面，甲晚上七点准时到了门口，此时，乙打电话告知甲路上出现堵车状况，至少要过20分钟才能到.甲决定等乙半个小时，超过半个小时乙还未到就离开，若乙在晚上七点五十之前一定能到，则两人能见面的概率为_________.
答案：13
解析：30201
50203
P -=
=-
15.设,x y 满足约束条件13
13
x y ⎧⎨⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为3,则ab 的最大值为_________.
答案：
14
解析：：因为z ，y 满足约束条件13
13x y ⎧⎨⎩
，且log(0,0)z ax a b =+>>的最大值为3，所以3363a +=
，即61a +=，2(6)1
44
a a
b +=
16.关于函数()4sin 6f x x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
有如下四个命题： ①()f x 的最小正周期为2； ②()f x 的图像关于点(
7
6
，0)对称； ③若()(),f a x f a x -=+则|∣的最小值为23
； ④()f x 的图像与曲线12506y x x ⎛⎫
=
<< ⎪⎝⎭
共有4个交点. 其中所有真命题的序号是_________. 答案：①②④
解析：由下图可得：()f x 的最小正周期为2，①正确；()f x 的图像关于点7,05⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，②正确； 离y 轴最近的对称轴为13
x =-，所以若()()f a x f a x -=+，则||a 的最小值为1
3
，③错误；()f x 的图像与曲线12506y x x ⎛⎫=
<< ⎪⎝⎭
只有4个交点，④正确；故其中所有有真命题的序号是①②④
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题-第21题为必考题，每个考题考生必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.
17.(12分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n S 是等差数列，且599,17.S S == （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}
2n
n n a S ⋅-的前n 项和n T .
解析：（1）因为数列{}n S 是等差数列，且599,17s s ==，设数列{}n S 的公差为d ，则
179
2,2195
n d S n -=
==--.当2n 时，12n n n a S S -=-=，当1n =时，111a s ==， 所以2,1,1n n a n α
⎧=⎨
=⎩
（1）当2n 时，34
1312123252(21)2222(13n k n n T n ++=-+-+-+
+--=+++
+-+
322222(121)
521)226122
n n n n n n ++-+-++
+-=+-=---，
当1n =时，11T =，也满足上式 所以2
22
6.n n T n +=--
18.(12分)某机构为了解某大学中男生的体重单位：kg )与身高x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，该机构搜集了7位该校男生的数据，得到如下表格： 序号
1
2
3
4
5
6
7
身高(cm ) 161 175 169 178 173 168 180 体重(kg )
52
62
54
70
66
57
73
根据表中数据计算得到y 关于x 的线性同归方程为ˆˆ1.15y x a =+ （1）求ˆa
（2）已知()()
2
2
1
2
1
ˆ1n
i i i n
i i y y
R y y ==-=-
-∑∑且当20.9R 时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R <<时，回
归方程的拟合效果良好.试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由. 参考数据：()6
2
1
ˆ49.12i i i y y
=-=∑
解析：（1）
161175169178173168180625470665773
172,62,
7x y α++++++++++++=
===ˆ 1.1562 1.15172135.8a
y x =-=-⨯=- （2）
()
7
2
1
1000646476125121390i i y y =-=++++++=∑
y 关于x 的线性同归方程为()2
772ˆˆ1.15135.8,(73 1.15180135.8) 3.24y
x y y =--=-⨯+= ()()()()
2
6
2
2
21
2
1
1
1
7
ˆ5236
ˆˆ 3.245236,110.87(0.8,0.9),390
n
i i i i i i i n
i i i i y y
y y
y y
R y y ====--=-+==-=-
≈∈-∑∑∑∑ 故该线性回归方程的拟合效果是良好. 19.(12分)如图所示的几何体由等高的
12个圆柱和1
4
个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且,,,C E D G 四点共面
（1）证明：BF ⊥平面.BCG
（2）若四边形ADEF 为正方形，且四面体ABDF 的体积为
4
3
，求线段FG 的长.
解析：（1）取弧AB 的中点H ，连结BH ，GH ，则45ABF ABH ∠=∠=︒，所以BF BH ⊥，因为
//BC GH ，所以四边形BCGH 为平行四边形，BF GC ⊥，又因为BC ⊥平面ABF ，所以BC BF ⊥，
所以BF ⊥平面BCG .
（2）设AB x =，因为四边形ADEF 为正方形， 则2114
323
D ABF V x x -=
⨯=，解得：2x =， 222214FG HG HF HG HB BF =+=++.
20.(12分)已知函数()()
23.x
f x x e m =-+
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()()221210,,,48x
x
x x R f x ∞∀∈+∀∈>-，求m 的取值范围.
解析：（1）()
22
()23(3)(1)x f x x x e x x e =+-=+-，当3x <-或1x >，()0f x >，当31x -<<时，
()0f x <，所以()f x ，在(,3)∞--和(1,)∞+上递增，在(3,1)-上递减；
（2）因为()f x 在(0,1)上递减，在(1,)∞+上递增，所以()(1)2f x f m e =-，
因为()22121(0,),,48x
x
x x R f x ∀∞∀∈+∈>-所以22248x x m e ->-恒成，令22x t =，则0t >，即：
232m t t e >-+在(0,)∞+上恒成立，令23()2g t t t e =-+，则2
()23(23)g t t t t t =-=-，
所以()g t 在2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在23∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
上递减，所以24()2327m g e >=+， 故m 的取随范围的42,27e ∞⎛⎫
++
⎪⎝⎭
21.(12分)已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>的焦距与椭圆2
213
x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线
2(1)2y x =-.
（1）求C 的方程；
（2）若直线y kx m =+与C 相交于,A B 两点，且,A B 关于直线:10l x ty ++=对称，O 为C 的对称中
心，且AOB 10
，求k 的值. 解析：解析：（1）由题意：22222112
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：24a =，2
2b =，所以C 的方程为：22142y x +=；
（2）因为直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，所以k t =，
联立22142
y kx m
y x =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩可得()222
2240k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为
()00,P x y ，则()228240k m ∆=+->，022km x k =-
+，002
22
m
y kx m k =+=+，因为()00,P x y 在直线l ：10x ky ++=上，所以22
21022km km k k -
++=++，即2m k k ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
，所以22480k k ⎛⎫∆=-> ⎪⎝⎭，即：22k >，()()()
222
2
2
2
22121
2
2k k AB k k k
k
+-∆=+=++O 到直线AB 的距离
()
22221
1m d k k k =
=
++，()2241102AOB
k S
AB d -===△，解得：23k =，3k =±(二)选考题：共10分，请考生在第22､23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂､错涂､
漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程(10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33cos 3sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩(α为参数)，点P 的坐标为(,0).m
（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（2）若直线123x m t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数)与曲线C 交于,A B 两点，若2,PA PB ⋅求26m m -的取值范围.
解析：：（1）因为C 的参数方程为33cos 3sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)，所以C 的直角坐标方程为226x y x +=，
故C 的极坐标方程为6cos ρθ=；
（2）将直线l ：123x m t y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入226x y x +=，可得：()22
360t m t m m +-+-=，则
()()2
23460m m m ∆=--->，即：263m m -<，因为21262PA PB t t m m ⋅==-≥，所以
262m m -≤-或2263m m ≤-<，故26m m -的取值范围为()
[),22,3-∞-.
23.[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数()353 3.f x x x =-++ （1）求不等式()40f x <的解集；
（2）若不等式()22log f x m m >+对任意x R ∈恒成立，求m 的取值范围.
解析：（1）()353340f x x x =-++<，由绝对值的几何意义可得：19321x -<<，
即：1973x -
<<，不等式()40f x <的解集为19,73⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （2）因为()()()353335338f x x x x x =-++≥--+=，1x =-时可取到等号，所以
22log 8m m +<，令()22log g m m m =+，则()g m 为()0,+∞上的增函数，且()48g =，所以
04m <<，故m 的取值范围为()0,4.。