人教新课标版初中九上22.2降次——解一元二次方程(3)教案

22.2降次——解一元二次方程（3）
教学内容
本节课主要学习用公式法解一元二次方程。

教学目标
知识技能
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
数学思考
通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
解决问题
培养学生准确快速的计算能力．
情感态度
通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
重难点、关键
重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．
难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
关键：掌握一元二次方程的求根公式，•并应用求根公式法解简单的一元二次方程．教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
一、复习引入
【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。

（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
【问题】
已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2
-4ac ≥0，试推导它的两个根为x 1
x 2=2b a
- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax 2+bx=-c
二次项系数化为1，得x 2+
b a x=-
c a
配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a
）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
∴22
44b ac a -≥0
直接开平方，得：x+b a
=±2a
即
∴x 1x 2【说明】
这里a
ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）是一元二次方程的求根公式
【活动方略】 鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．
【设计意图】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。

【思考】
利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？
（1）2320;x x -+=
（2）2222-=-x x
（3）24320x x -+=
【活动方略】
在教师的引导下，学生回答，教师板书
引导学生总结步骤：确定c b a ,,的值、算出ac b 42
-的值、代入求根公式求解． 在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：
（1）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是由一元二次方程的系数c b a ,,确定
的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在042
≥-ac b 的前提下，把c b a ,,的值代入a
ac b b x 242-±-= （042≥-ac b ）中，可求得方程的两个根； （3）我们把公式a
ac b b x 242-±-=（042≥-ac b ）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；
（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【设计意图】
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
三、 反馈练习
教材P 42 练习第1、2题．
补充习题：
用公式法解下列方程．
（1）x 2-5x-6=0 （2）7x 2+2x-1=0 （3）3x 2-5x+2=0
（4）5x 2+2x-6=0 （5）4x 2-7x+2=0 （6）2x 2-
12x-32
=0 【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对知识的掌握情况.
四、 应用拓展
例：某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020
m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2
m 2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
(1)13224
--±±=⨯ x 1=1，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-
12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m 2+1=0，m 不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-13
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-
13．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。

【设计意图】
使学生应用方程有关的有关舦知识解题，进一步掌握公式法。

五、 小结作业
1．问题：
本节你遇到了什么问题？在解决问题的过程中你采取了什么方法？
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
2．作业：课本P45 习题22．2 第4、6题
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力。

同时通过课外作业，使学生进一步理解知识，内化知识。