安徽省宣城市高三下学期第二次调研(模拟)考试——数学

安徽省宣城市
2017届高三下学期第二次调研（模拟）考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，其中为虚数单位，，是实数，则（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
2.已知集合{}
2|230A x x x =--<，集合，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3.一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的办法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（ ）人
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（ ）
A ．若，，，则
B ．若，，，则
C ．若，，，则
D ．若，，则
5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）
A ．1007
B ．3025
C ．2017
D ．3024
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚
痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A ．96里
B ．192里
C ．48里
D ．24里
7.二项式的展开式中常数项为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐进线的距离，则该双曲线的焦距为（ ）
A ．
B ．或
C ．或
D ．或
9.设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ．
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.已知集合{}(,)|()M x y y f x ==，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：①；②{}
(,)|2x M x y y e ==-；③{}(,)|cos M x y y x ==；④{}(,)|ln M x y y x ==．其中为“好集合”的序号是（ ）
A ．①②④
B ．②③
C ．③④
D ．①③④ 12.若函数()(sin cos )x f x e x a x =+在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.计算 ．
14.已知向量，满足，，，则 ．
15.在中，，，若最大边长为63，则最小边长为 ．
16.已知是圆上一点，且不在坐标轴上，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值
为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知向量，，函数，函数在轴上的截距我，与轴最近的最高点的坐标是．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求的最小值．
18.如图1，在直角梯形中，，，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19.某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3:2:1:1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2:1:3:1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．
（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；
（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为，求的分布列及数学期望．
20.已知，是的导函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．
21.如图，已知椭圆：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的
距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．
（Ⅰ）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线
的参数方程为
3
2
5
4
5
x t
y t
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
（为参数）．
（Ⅰ）若，是直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最大值；
（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍，求的值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知，不等式的解集是.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围．
宣城市2017届高三第二次调研测试数学（理科）答案一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.4 14. 15.25 16.8
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）23()2cos sin cos
f x m n
a x
b x x =⋅-=+，
由(0)222
f a =-=，得， 此时，()cos 2sin 222b f x x x =
+， 由，得或，
当时，，经检验为最高点；
当时，，经检验不是最高点．
故函数的解析式为．
（Ⅱ）函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象， 所以（），（），
因为，所以的最小值为．
18.解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而，故，
取中点连接,则,又面面,
面面,面,从而平面,
∴,
又, ,
∴平面，
（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，， 设为面的法向量，
则110,
0,n CM n CD ⎧
⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩即0,0,+=
+=解得
令，可得，
又为面的一个法向量，
∴121212cos ,||||3
n n n n n n ⋅<>===⋅ ∴二面角的余弦值为．
19.解：（Ⅰ）32211157372777
P =⨯+⨯++=． （Ⅱ）的所有可能取值为1,2,3,4．
2214(1)33218P X ==⨯⨯=；2112218(2)233233218
P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；2111115(3)233233218P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯=；1111(4)33218
P X ==⨯⨯=. 分布列为：
1234181818186
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20.解：（Ⅰ），()'()2x g x f x e ax ==-，，
当时，恒成立，无极值；
当时，，即，
由，得；由，得，
所以当时，有极小值.
（Ⅱ）令，则，注意到，
令，则，且，得；，得，
∴，即恒成立，故'()2(12)h x x ax a x ≥-=-，
当时，，，
于是当时，，即成立.
当时，由（）可得（）.
'()12(1)(1)(2)x x x x x h x e a e e e e a --<-+-=--，
故当时，，
于是当时，，不成立.
综上，的取值范围为．
21.解：（Ⅰ）．
，故．
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设：与轴的交点为，
代入椭圆方程得222
(21)4240k x kbx b +++-=，
设，，则，，
由，得1212122()40y y x x x x +-++=，
得221212(1)(2)()40k x x kb x x b ++-+++=， ，得或．
或，所以过定点或，
点为右端点，舍去，
121||||2APQ APM AQM S S S OM y y ∆∆∆=+=⨯⨯-==
= 令（），
APQ S ∆=，， 当直线的斜率不存在时，，，
，即，解得，，
188322339
APQ S ∆=⨯⨯=， 所以的最大值为.
22.解：（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，
化为直角坐标方程为，即.
直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为，
∵圆心与点的距离为，
∴的最大值为.
（Ⅱ）由，可化为，
∴圆的普通方程为.
∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，
∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，
3|8|1||22a a -=⋅，解得或． 23.解：（Ⅰ）由，得，即，
当时，，所以21,42,a a
⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得； 当时，，所以12,41a a
⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩无解．
所以． （Ⅱ）因为()()|21||21||21|(21)23333f x f x x x x x +--++--+=≥=， 所以要使存在实数解，只需，
解得或，
所以实数的取值范围是．。