2020年湖南省娄底市涟源古楼中学高三数学文模拟试卷含解析

2020年湖南省娄底市涟源古楼中学高三数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在的展开中，的幂指数是整数的项共有
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
参考答案：
B
，要满足的幂指数是整数，r的取值为
0,6,12,18,24，共5项。

2. 已知f(x)＝，则下列四图中所作函数的图像错误的是()
参考答案：
D
3. 气象站预报甲地明天晴天的概率为0.3, 乙地明天晴天的概率为0.4, 则甲地或乙地明天晴天的概率为（）
A． 0.7 B．0.12 C． 0.68 D． 0.58
参考答案：
D
4. 已知函数 ( )
A.1
B.2
C. 3
D. 4
参考答案：
B
略5. 若α∈（0，），若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角和差的三角公式求得sinα、cosα的值，从而利用二倍角公式、两角和差的三角公式求得的值．
【解答】解：若，，
∴α+还是锐角，故sin（α+）==，
∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣=，
∴cosα==
则=sin2αcos+cos2αsin=2sinαcosαcos+（cos2α﹣sin2α）sin
=2???+[﹣]?=，
故选：C．
6. 等差数列的前n项和为，已知，
，则=
A．0 B．2011 C．4022 D ．
参考答案：
B
7. 公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,
则（）（（C
A. 2
B. 3
C.
D.
参考答案：
D
略
8. 某人向平面区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆x2+y2=1内的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】CF：几何概型．
【分析】本题利用几何概型求解．先根据区域|x|+|y|≤图象特征，求出其面积，最后利用面积比即可得点P落在单位圆x2+y2=1内的概率．
【解答】解：区域|x|+|y|≤表示以（±，0）和（0，±）为顶点的正方形，
单位圆x2+y2=1内所有的点均在正方形区域内，正方形的面积S1=4，单位圆面积S2=π，
由几何概型的概率公式得：P==，
故选：A．
9. 已知sin (π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是( )
A．－79 B．－13 C.13 D.79
参考答案：
A
10. .已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
（其中c为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为A. B. C. D.
参考答案：
A
不妨取双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线为，即。

则焦点到准线的距离为，即，，所以，即，所以离心率
，选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长
交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案：
D
【知识点】双曲线的简单性质．H6
解析：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0）
因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx ，因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM 为△NF1F2的中位线，所以OM∥PF2，因为|OM|=a，所以|NF2|=2a
又NF2⊥NF1，|FF2|=2c 所以|NF1|=2b 设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a，∴x=2a-c ，过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a ，由勾股定理 y2+4a2=4b2，即4c（2a-c）+4a2=4（c2-
a2），得e2-e-1=0，∴e=．
故选：D
【思路点拨】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM 为
△NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c 的关系式，最后即可求得离心率．
12. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是______.
参考答案：
13. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等
于 .
参考答案：
13
14. 对于三次函数（
），定义：设是函数y ＝f(x)的导数y ＝
的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”
对函数，利用上述结论可得
参考答案：
略
15. 在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是。

参考答案：3
16. 已知，则_____________．
参考答案：
略
17. 汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用＝年均成本费用＋年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元;使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前年的总维修费满足,已知第一年的总维修费为1000元,前两年的总维修费为3000元,则这种汽车的最佳使用年限为年.
参考答案：
10
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）不等式可化为，则
或或
解得，
所以不等式的解集为.
（2）不等式等价于
即，
因为
若存在实数，使得不等式成立，
则，
解得，
实数的取值范围是.
19. (12分)已知函数．
(1)求的最小正周期及其单调增区间；
(2)当时，求的值域．
参考答案：
(1).
．函数的最小正周期．
由正弦函数的性质知，当，
即时，函数为单调增函数，所以函数的单调增区间为，．
(2)因为，所以，所以，
所以，所以的值域为[1，3]．
20. 已知a＞0，b＞0，a+b=2．
（1）求+的最小值；
（2）求证：≤1．
参考答案：
【考点】7F：基本不等式．【分析】（1）分式类型，巧运用a+b的式子即可；
（2）利用基本不等式转化为=ab??（）2求解即可．
【解答】解：（1）a+b=2．
∴+=（+）=（5+）≥仅当（b=2a等号成立）；
（2）证明： =ab??（）2=1．（当且仅当a=b等号成立）．21. （本小题满分14分）已知函数在、处分别取得极大值和极小值，记点
.
⑴求的值；
⑵证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
参考答案：
解法一：∵，依题意，
∴，（2分）
由，得（3分）
令，的单调增区间为和，（5分）
，单调减区间为（7分）
所以函数在处取得极值。

故（9分）
所以直线的方程为（10分）
由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （11分）
令，易得，（13分）
而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段
与曲线有异于的公共点。

（14分）
解法二：同解法一，可得直线的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （10分）
由得（11分）
解得（13分）
所以线段与曲线有异于的公共点。

（14分）
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
（I）证明：A，P，O，M四点共圆；
（II）求∠OAM＋∠APM的大小．
参考答案：
解：(I)如图所示，连接OP，OM.
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA＝180°.
由于圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．
(II)由(I)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.
由(I)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部可知∠OPM＋∠APM＝90°
所以∠OAM＋∠APM＝90°.。