高二上学期理科数学期中试题及答案

第一学期期中考试数学试卷
年级： 高二 学科： 理科数学
（满分： 150 分 时量： 120 分钟）
一、选择题（共40分，每小题5分）
1．若0<<b a ，则下列不等式①a b ab +<, ②3
3b a >,③01
1<<a
b , ④b a < 中，正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是( )
A ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数
B ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数
C ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数
D ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 3．已知p ：|x |<3；q ：x 2
－x －2<0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若点(,)A x y 在第一象限且在直线22=+y x 上移动，则y x 22log log +（ ） A.最大值为1 B.最小值为1 C.最大值为2 D.没有最大、小值 5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若1595,,a a a 成等比数列,那么公比为 ( )
A ．
B．
C．． D.
6．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
7．数列1，1＋2，1＋2＋22
，…，1＋2＋22
＋…＋12-n ，…的前n 项和为（ ）
A.2n
－n －1
B.2n +1
－n －2
C.2
n
D.2n +1
－n
8、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2
f x x =；③()21
x
f x x x =
++．其中属于有界泛函
的是（ ）
A ．①③
B ．②
C ．③
D ．①② 二、填空题（共30分，每小题5分）
9.写出命题P ：01),0,(2
≤++-∞∈∃x x x 的否定_______________________:P ⌝； 10．不等式
03
4
≤+-x x 的解集为 ； 11. 已知等比数列{a n }的前n 项和121+⋅=-n n t s ，则实数 t 的值为 ________.
12．已知两个正实数
y x ,满足1=+y x ,则使不等式x
1+y
4≥m 恒成立的实数m
的取值范围是
__________.
13．给定下列四个命题：
①“x ＝π6”是“sin x ＝1
2”的充分不必要条件；
②若am 2
＜bm 2
, 则a ＜b ; ③若三个实数,,a b c 既是等差数列，又是等比数列，则 a b c == ；
④若不等式2
20ax
bx ++>的解集⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<<-312
1|x x 则a b -=-10.
其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)
14.在平面直角坐标系上，设不等式组0
0(4)x y y n x >⎧⎪
>⎨⎪≤--⎩
所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横坐标
和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈. 则1a ＝ ，经猜想可得到n a ＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为
2
n S n = ，数列{}n b 为等比数列，且
8
1,
22111==b b b a ．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n
n n
a c
b =，求数列{}n
c 的前n 项和n T ．
16．(本小题满分12分）已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2
－a ≥0.命题q ：∃x 0∈R ，使得
x 20＋(a －1)x 0＋1=0.若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．
17．(本小题满分14分）已知函数22(),[1,)x x a
f x x x ++=
∈+∞ (Ⅰ)当1
2
a =
时,求函数()f x 的最小值; (Ⅱ)若对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分15分）
已知数列{}n a 的首项11=a ，*
∈∀N n ，n
n
n a a a +=
+221．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 的前n 项和n S ； (3)求证：*
∈∀N n ，3 (2)
232221<++++n a a a a ．
19. (本小题满分12分）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.如何合理安排生产计划 ,使公司可获得最大利润？最大利润为多少？
20．（本小题满分15分）在数列{}n a 中，已知123,5a a ==，其前n 项和n
S 满足
).3(22112≥+=+---n s s s n n n n .
(1) 求43,a a 的值；
(2)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(3)令1
1
+=
n n n a a b ,试求一个函数()f x ,使得对于任意正整数n 有
6
1
)(...)2()1(21<+++=n f b f b f b T n n ，且对于任意的1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，
m T n > .
参考答案
年级：高二 学科： 理科数学
（满分： 150 分 时量： 120 分钟）
一、选择题（共40分，每小题5分） 1---8: BCBAD, BBC
8. ①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属有界泛函;
对于②
()2
f x x =，当0x ≠时，有
()f x x x
=无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③
()21
x
f x x x =++，当0x ≠时，有
()2
2114
1313
24f x x
x x x =
=≤++⎛⎫++ ⎪⎝
⎭，()21x f x x x =++ 二、填空题（共30分，每小题5分）
9. 01),0,(2
>++-∞∈∀x x x 10. (]4,3- 11. -2 12. (]9,∞- 13. ①②④ 14.6, 6n
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （12分） 解：（1）;n n n b n a 2
1,
12=
-= ……6分 (2) ;62)32(1
+-=+n n x n T ……12分 16. （12分）解：命题p ： 1≤a ， 命题q ：130
-≤≥≥∆a a 或即： ……………6分
因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以P 、Q 一真一假……………8分
即：① ⎩⎨⎧<<-≤311
a a 或 ②⎩
⎨⎧≥-≤>311a a a 或 ………………………10分
解得; 311≥≤<-a a 或……………12分 17. （15分）⑴由n
n n a a a +=
+221，得
21111+=+n n a a ，21
111=-+n n a a ………………2分 所以⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧n a 1是首项11=n a ，公差21
=d 的等差数列………………3分 212111+=-+=n n a n ……4分，所以*
∈∀N n ，1
2+=n a n ………………5分 (2) 1
2+=n n S n ………………9分
(3) )1(4)
1(42
2
+<+=
n n n a n 24
4+-=n n ……11分 2>n 时，由以上不等式得
)144()4434()3424(112
2
12+-++-+-+<+=∑∑==n n a a n
i i
n
i i Λ……13分 1
4
241+-+
=n 3<……14分
因为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*
∈∀N n ，312<∑=n
i n a ……15分．
18. （14分） 解(Ⅰ) 1
2
a =时,2221121()2'()10222x f x x f x x x x -=++⇒=-=>(因为1x ≥) 所以,()f x 在[1,)+∞上单调递增,故1x =时,()f x 取得最小值7
2
.………………6分
(Ⅱ) 因为对任意[1,)x ∈+∞,()0f x >恒成立,即220x x a ++>恒成立,只需22a x x >--恒成立，只需
2max (2)a x x >--,因为21(2)3x x x ≥⇒--≤-,
所以,实数a 的取值范围是(3,)-+∞.………………14分
19．（12分）[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y ………………2分
且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
012212
2Y X Y X Y X ………………6分 画可行域如图所示, ………………8分 目标函数Z=300X+400Y 可变形为
Y=400
z
x 43+
-
这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2 ⎩
⎨⎧==∴4y 4
x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z ………………12分
20. （15分）解：（1）17,943==a a .………………4分
（2）由题设知21122(3)n n n n n S S S S n -----=-+≥，即112(3)n n n a a n ---=≥.
由累加法可得：21n n a =+.………………8分 （3）11111111()(21)(21)22121
n n n n
n n n n b a a +++=
==-++++. ..................10分 则2223111111()(1)()(2)2212122121n T f f =-⋅+-+++++ (1111)
()()22121
n n n f n ++-++. 令1()2n f n -=， 则22311111[()()221212121n T =-+-+++++ (11)
111111()]()2216212121n n n +++-=-<++++. …12分 若n T m >，则有1
111(),22121n m +->++ 化简得：1321,16n m +>--即解不等式23log (1)116n m
>---. 当23log (1)1116m --<-，即1015m <<时，取01n =即可. 当23log (1)1116m --≥-，即11156m ≤<时，则记
3(1)116m
---的整数部分为s ，取01n s =+即可. ………………14分
综上可知，对任意1(0,)6m ∈，均存在0n N +∈，使得0n n ≥时，n T m >，即1()2x f x -=为所求函数. (15)
分。