专题03 由“导”寻“源”,妙解函数不等式(第一篇)(解析版)

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2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题
第一篇 函数与导数
专题03 由“导”寻“源”，妙解函数不等式
一．方法综述
对于仅利用函数的奇偶性、单调性即可求解的不等式问题，师生已有应对的良好方法，重在应用转化与化归思想，转化成解答具体不等式或不等式组问题.在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数、导数、不等式交汇的重要题型，这类问题由于涉及抽象函数，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍，不能从容应对不等式的求解问题．实际上，根据所给不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．
常见的构造函数方法有如下几种： (1)利用和、差函数求导法则构造函数
①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)； ②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)； 特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx . (2)利用积、商函数求导法则构造函数
①对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)； ②对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数()()
()()()
0f x F x g x g x ≠＝． (3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数
①对于不等式'
()xf x ＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝()xf x ； ②对于不等式'()xf x －f(x)>0(或<0)，构造函数()()()
0f x F x x x
≠＝
； ③对于不等式'()xf x ＋()nf x >0(或<0)，构造函数F(x)＝()n
x f x ； ④对于不等式'
()xf x －()nf x >0(或<0)，构造函数()()()
0n
f x F x x x ≠＝
； ⑤对于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝()x
e f x ； ⑥对于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数()()
x
f x F x e ＝
；
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⑦对于不等式f(x)＋f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin ()xf x ； ⑧对于不等式f(x)－f′(x)tan x>0(或<0)，构造函数()()()
sin 0sin f x F x x x
≠＝
； ⑨对于不等式f′(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos ()xf x ； ⑩对于不等式f′(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数()()()
cos 0cos f x F x x x
≠＝
． ⑪(理)对于不等式f′(x)＋()kf x >0(或<0)，构造函数F(x)＝()kx
e f x ； ⑫(理)对于不等式f′(x)－()kf x >0(或<0)，构造函数()()
kx
f x F x e
＝
； 二．解题策略
类型一 构造具体函数求解
【例1】【2020届河北冀州中学期中】已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()
()
x f x e f x -=，当0x <时()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a ++…
，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，2
]3
B ．2[,0]3
-
C ．[0，)+∞
D ．(-∞，0]
【答案】B 【解析】Q
2()()x f x e f x -=，∴()
()()x x x
f x e f x e f x e
--==-， 令()()x g x e f x =，则()()g x g x -=，
当0x <时()()0f x f x '+>，∴()[()()]0x g x e f x f x '
''=+>，即函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，
(21)(1)a e f a f a ++Q …， 211(21)(1)a a e f a e f a ++∴++…， (21)(1)g a g a ∴++…， |21||1|a a ++„，
解可得，2
03
a -剟，故选B ．
【指点迷津】
对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求
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解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.对于复合函数问题，先换元，再构造函数，是常用的方法.
【举一反三】【2020年河南信阳一中期末】设()f x 是偶函数()(0)f x x ≠的导函数，当(0,)x ∈+∞时，()2()0xf x f x '->，则不等式24(2019)(2019)(2)0f x x f +-+-<的解集为( )
A ．(,2021)-∞-
B ．(2021-，2019)(2019--⋃，2017)-
C ．(2021,2017)--
D ．(-∞，2019)(2019--⋃，2017)-
【答案】B
【解析】由题意()2()0(0)xf x f x x '->>，得2
()2()0x f x xf x '->，进而得到24
()2()0x f x xf x x '->，
令2()
()f x F x x
=，则24()2()()0x f x xf x F x x '-'=>，
(2)
(2)4
f F --=，2
(2019)(2019)(2019)f x F x x ++=+， 由24(2019)(2019)(2)0f x x f +-+-<，得2(2019)(2)
(2019)4
f x f x +-<
+， 即(2019)(2)F x F +<-，
所以当(0,)x ∈+∞时，()0F x '>，所以()F x 在(0,)+∞是增函数． 因为函数()f x 是偶函数，所以2()
()f x F x x
=
也是偶函数，且()F x 在(,0)-∞上是减函数， 所以|2019|2x +<，解之得20212017x -<<-， 又20190x +≠，即2019x ≠-，
故(2021x ∈-，2019)(2019--⋃，2017)-， 故选B ．
类型二 构造抽象函数求解
【例2】【2020届江西新余渝水一中期末】定义在R 上的函数()f x 满足4(1)(2)()x e f x f x ++=-，且对任意的1x …都有()2()0f x f x '+>（其中()f x '为()f x 的导数），则下列一定判断正确的是( ) A ．4e f （2）(0)f > B ．2e f （3）f >（2） C ．6e f （3）(1)f >- D ．10e f （3）(2)f >-
【答案】B
【解析】设2()()x F x e f x =g ，则222()2()()[2()()]x x x F x e f x e f x e f x f x '''=+=+，
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Q 对任意的1x …都有()2()0f x f x '+>；
则()0F x '>，则()F x 在[1，)+∞上单调递增；
2(2)(2)(2)x F x e f x ++=+g ； 2()()x F x e f x --=-g ； 因为4(1)(2)()x e f x f x ++=-，
222(2)()x x e e f x f x +∴+=-g g ；222(2)()x x e f x e f x +-∴+=-g g
(2)()F x F x ∴+=-，所以()F x 关于1x =对称，则(2)F F -=（4）， ()F x Q 在[1，)+∞上单调递增；
F ∴（3）F <（4）即F （3）(2)F <-，6e f ∴g （3）4(2)e f -<-g ；
即10e f g （3）(2)f <-成立．故D 不正确；
F （3）(1)F =-，(0)F F =（2）故A ，C 均错误；
F （3）F >（2）2e f ∴（3）f >（2）．B 正确． 故选B ． 【指点迷津】
联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
【举一反三】【2020河南南阳一中期中】已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，对任意x R ∈，()()f x f x '>恒成立，且f （1）1=，则不等式()x ef x e >的解集为( )
A ．(1,)+∞
B ．[1，)+∞
C ．(,0)-∞
D ．(-∞，0]
【答案】A
【解析】()()f x f x '>Q ，∴()()0x f x f x e '->，∴
2()()0()x x x e f x e f x e '->， 设()
()x f x g x e
=，则2()()()0()x x x e f x e f x g x e '-'=>，
()g x ∴在R 上是增函数．
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()x ef x e >Q ，∴
()1x f x e e >，即()g x g >（1）1
e
=
． 1x ∴>，故选A ．
类型三 追根求源，抽象问题具体化
【例3】【2020届江西南昌二中期末】定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[
)12,0,x x ∈+∞有
()()1212
0f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式
()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1
ln6,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
B ．1
ln3,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
C ．1
ln3,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
D ．1
ln6,23e ⎡⎤
+
⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【解析】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[
)0,+∞单调递减,故
()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为
()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤
即02ln 6mx x ≤-≤对[]
1,3x ∈恒成立
即ln 6ln 22x x
m m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =
,则()[)1ln '1,x
g x e x
-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1
g x e =
令()()26ln 5ln ,'0x x
h x h x x x
+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33h x +=.故1
ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
,故选B. 【指点迷津】
函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，它们应用贯穿于整个高中数学的教学之中.学习中应注意牢记奇偶性、单调性的不同表达形式.对于所遇到的数学问题，应注意挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的奇偶性单调性解题，能起到化难为易、化繁为简、化抽象为具体的作用.
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【举一反三】【安徽省淮南市2018届二模】已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间(-∞,0]上单调递增，若实数a 满足f(21og 3a )>-f(-√2)，则a 的取值范围是( ) A ． (√3,+∞) B ． (1,√3) C ． (0,√3) D ． (-∞,√3) 【答案】A
【解析】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增， ∴f （x ）在R 上都是增函数，
则不等式f(21og 3a )>-f(-√2)，等价为f(21og 3a )>f(√2)， 即2
log 3a
>√2=21
2
，
则log 3a >12
=log 331
2， 即a ＞312
=√3
即实数a 的取值范围是(√3,+∞)，故答案为：A
三．强化训练
1．【辽宁省部分重点高中2019届9月联考】已知函数f(x)为定义在[-3,t -2]上的偶函数，且在[-3,0]上单调递减，则满足f(-x 2+2x -3)<f(x 2+t
5)的x 的取值范围（ ）
A ． (1,+∞)
B ． (0,1]
C ． (1,√2]
D ． [0,√2] 【答案】C 【解析】
因为函数f(x)为定义在[-3,t -2]上的偶函数，所以-3+t -2=0,t =5, 因为函数f(x)为定义在[-3,3]上的偶函数，且在[-3,0]上单调递减， 所以f(-x 2+2x -3)<f(x 2+t
5)等价于f(-x 2+2x -3)<f(-x 2-1)， 即0≥-x 2+2x -3>-x 2-1≥-3,1<x ≤√2，选C.
2.【2020甘肃甘南一中期末】）定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '>，且f （1）
2=，则不等式1()2x f x e -<的解集为( )
A ．(1,)+∞
B ．(,2)-∞
C ．(,1)-∞
D ．(2,)+∞
【答案】A
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【解析】令()()x f x g x e =
，则不等式式1
()2x f x e -<等价为()2x f x e e
<，
f Q （1）2=，
g ∴（1）(1)2
f e e
=
=，即不等式等价为()g x g <（1）
， 函数()g x 的导数()()
()x
f x f x
g x e '-'=
，
()()f x f x '>Q ，()0g x ∴'<，即()g x 在R 上是减函数，
则不等式()g x g <（1）的解为1x >，
∴不等式的解集为(1,)+∞，故选A ．
3.【云南省曲靖市第一中学2019届9月监测卷二】已知函数y =f(x))为奇函数,当x <0时,f '(x)>0且f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为（ ） A ． (-2,0)∪(0,2) B ． (-2,0)∪(2,+∞) C ． (-∞,-2)∪(0,2) D ． (-∞,-2)∪(2,+∞) 【答案】A
【解析】由题意，函数f (x )为奇函数，且当x <0时，f '(x)>0，即函数f (x )在(-∞,0)为单调递增函数，所以在(0,+∞)也为单调递增函数， 又由f (2)=f (-2)=0，
所以当(-2,0),(2,+∞)时，f (x )>0，当(-∞,-2),(0,2)时，f (x )<0， 又由不等式xf (x )<0，即{x >0f (x )<0 或{x <0f (x )>0 ，
所以解集为(-2,0)∪(0,2)，故选A ．
4．【2020福建宁德期末】已知奇函数()f x 在区间(0,)+∞上满足：()()0xf x f x '+>，且(1)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为( ) A ．(1-，0)(0⋃，1) B ．(-∞，1)(0-⋃，1) C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ D ．(1-，0)(1⋃，)+∞
【答案】A
【解析】()f x 在区间(0,)+∞上满足：()()0xf x f x '+>，可知函数()xf x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f -=，可得f （1）0=，(0)0f =，所以()1xf x f <（1），可得1x <， 故()f x 在(,0)-∞上为减函数，可得1x >-，
故不等式()0xf x <的解集为{|01x x <<，或10x -<<}，故选A ．
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5.【河北省武邑中学2019届第一次调研】已知奇函数f(x)是定义在R 上的连续函数，满足f (2)＝5
3
，且f(x)在
(0,+∞)上的导函数f '(x)<x 2
，则不等式f(x)>
x 3-33
的解集为( )
A ． (-2,2)
B ． (-∞,2)
C ． (-∞,1
2) D ． (-12,1
2)
【答案】B
【解析】设g(x)=f(x)-1
3x 3+1，则g '(x)=f '(x)-x 2. ∵f(x)在(0,+∞)上的导函数f '(x)<x 2 ∴g '(x)=f '(x)-x 2<0 ∴g(x)在(0,+∞)上为减函数 ∵f(2)=5
3
∴g(2)=f(2)-8
3+1=0 ∴不等式f(x)>x 3-33
的解集为(-∞,2)
故选B.
6.【2020届四川阿坝一中期末】设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是( ) A ．3
[2e
-
，1) B ．3
[
2e
，1) C ．3[2e -
，3)4
D ．3[
2e ，3
)4
【答案】D
【解析】由题意可知，存在唯一的整数x ，使得(21)x x e ax a -<-， 构造函数()(21)x h x x e =-，则()(21)x h x x e '=+． 当12x <-时，()0h x '<；当1
2
x >-时，()0h x '>．
所以，函数()(21)x h x x e =-的单调递减区间为1(,)2-∞-，单调递增区间为1
(,)2
-+∞．
函数()y h x =在1
2x =-
处取得极小值1()2h -=
如下图所示，由于(0)1h =-，3
(1)h e
-=-，所以，(1)(0)h h -<，
结合图象可知，
(0)0
(1)(1)
h a a
h a a
<⨯-
⎧
⎨
-⨯--
⎩…
，解得
3
1
2
a
e
<
„，故选B．
7.【江西省新余市第四中学2019届10月月考】已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且对任意的实数x都有f'(x)= e-x(2x+5
2
)-f(x)（e是自然对数的底数），且f(0)=1，若关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有唯一一个整数，则实数m的取值范围是（）
A．(-e
2,0)B．(-e
2
,0]C．(-3e
4
,0]D．(-3e
4
,9
2e
]
【答案】B
【解析】对任意的实数x都有f'(x)=e-x(2x+5
2)-f(x),变形得到[f'(x)+f(x)]e x=2x+5
2
构造函数G(x)=f(x)e x,G'(x)=2x+5
2
故G(x)=x2+5
2x+c,根据f(0)=1，得到G(0)=c=1,∴G(x)=x2+5
2
x+1,
进而得到f(x)=x2+5
2
x+1
e x
,，对函数求导得到f'(x)=-
1
2
(2x+3)(x-1)
e x
根据导函数的正负得到函数在(-∞，-3
2
)↘，
(-3
2，1)↗，(1，+∞)↗，A(-3
2
,y A)，B(1,y B)由此可得到函数的图像，
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不等式f(x)-m <0的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为-1，故f (-1)<m ≤0 解得m 的范围是：(-e
2,0].
8.【2020·河南高三月考】已知函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，且满足0x >时，
1
ln ()()0xf x f x x
'+
<，则(2019)()0x f x ->的解集为（ ） A ．(1,0)(1,2019)-U B ．(2019,1)(1,2019)--U C ．(0,2019) D ．(1,1)-
【答案】C
【解析】设()ln ()g x x f x =⋅，1
()()ln ()0g x f x x f x x
'
'=
⋅+⋅<， 可知函数()g x 在0x >时单调递减，
又(1)0g =，可知函数()ln ()g x x f x =⋅在(0,1)大于零，且ln 0<，可知()0f x <， 同理在(1,)+∞上，()0f x <，
可知函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞均有()0f x <， 又()()y f x x R =∈为奇函数，
则在区间(1,0)-和(,1)-∞-上，都有()0f x >，
由(2019)()0x f x ->得201900x x -<⎧⎨>⎩或20190
x x ->⎧⎨<⎩，
∴可知不等式的解集为(0,2019)，故选C ．
9．【四川省雅安中学2019届第一次月考】已知定义在实数集R 的函数f (x )满足f(2)=7，且f (x )导函数f '(x)<3，则不等式f (lnx )>3lnx +1的解集为__________. 【答案】(0,e 2) 【解析】设t=lnx ，
则不等式f （lnx ）＞3lnx+1等价为f （t ）＞3t+1， 设g （x ）=f （x ）-3x -1， 则g′（x ）=f′（x ）-3， ∵f （x ）的导函数f′（x ）＜3，
∴g′（x ）=f′（x ）-3＜0，此时函数单调递减， ∵f （2）=7，
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∴g （2）=f （2）-6-1=0，
则当x ＜2时，g （x ）＞g （2）=0，
即g （x ）>0，则此时g （x ）=f （x ）-3x -1＞0， 即不等式f （x ）＞3x+1的解为x ＜2，
即f （t ）＞3t+1的解为t ＜2，
由lnx ＜2，解得0＜x ＜e 2，
即不等式f （lnx ）＞3lnx+1的解集为（0，e 2），
10.（2020·河南高三（文））函数()f x 定义域是R ,其导函数为()f x ',满足21()f x x
'>-,且10(3)3f =,则关于x 的不等式()13x x f e e
->的解集是______. 【答案】(ln3,)+∞ 【解析】令1()()g x f x x =-，∵21()f x x '>-, ∴2
1()()0g x f x x ''=+>即()g x 单调递增, 1(3)(3)33g f =-=Q ，则由()13x x f e e
->可得()(3)x g e g >, 3x e ∴>,3x ln ∴>.。