高三数学导学稿递推数列教案

芯衣州星海市涌泉学校明德达材中学导学稿
课题：简单的递推数列 知识点要求：
1、 理解递推公式是给出数列的一种方法，
2、 掌握几种简单和将递推公式转化化归特殊数列〔等差、等比〕的方法与途径，
3、 培养学生的转化化归思想和才能。

课前演练：
1、1
1a =，1n n a a n -=+〔2≥n 〕
，求n a 。

(12
n n n a +=）
2、11a =，111n n n a a n --=+(2n ≥)，求n a 。

2
2
n a n n
=+ 3、在数列
{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。

(32)n n a =-
4、数列
{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 31
3212
+=++，求n a 。

1
311143n n a -⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
5、1
2a =，1142n n n a a ++=+，求n a 。

42n n n a =-
6、数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式n a 。

1
21
n a n =
- 7、数列{an}的前N 项和为Sn ，a1=1，an+1=2Sn *
()n N ∈.求数列{an}的通项an 。

13n n a -=
典例讲解：
类型一、型或
)()(1
1n g a a n f a a n
n n n ==-+- 对策：利用迭加或者者迭乘方法，即：
112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 或者者11
2211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=
--- 例1数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1
21n n a a n +=++得121n n a a n +-=+那么
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n
n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。

变式一.〔2021全国卷Ⅰ理〕在数列{}n a 中，1
111
1,(1)2
n n n n a a a n ++==++，求数列}{n a 的通项公式
分析：〔I 〕由有1112n n n a a n n +=++11
2
n n n b b +∴-=
利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式:1122
n n b -=-(*
n N ∈)
122
n n n
a n -=-,
例21
1a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.
【解析】：
1()n n n a n a a +=-,∴
11
n n a n a n
++=
, 321
12123n
1(0,2)12n-1
n n n n a a a a a n a n a a a -∴=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=≠≥且当
1
n =时
11
a =，满足
n a n
=，
∴n a n =.
反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1
()n n a g n a +=.
变式二、数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为1
12(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，那么
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
⋅⋅⋅
⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n
a n --=⨯⨯⨯
类型二、型)(n n
a f S =对策：巧用⎩⎨⎧≥-==-)
2()
1(11n S S n a a n n n
例3：数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①
所以1
123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-=
那么1
(1)(2)n n a n a n +=+≥
故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，那么21a a =，又知11a =，那么
21a =，代入〔3〕得!13452
n n a n =⋅⋅⋅⋅
⋅=。

所以，{}n a 的通项公式为!.2
n
n a =
评注：此题解题的关键是把递推关系式
1(1)(2)
n n a n a n +=+≥转化为
1
1(2)n n
a n n a +=+≥，进而求出
1
3
212
2
n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅
⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

变式三：.(2021卷理)数列
{}n a 的前n 项和1
1(
)22
n n n S a -=--+〔n 为正整数〕。

〔Ⅰ〕令2n n
n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
解析：〔I 〕在11()22n n
n S a -=--+中，令n=1，可得1112n S a a =--+=，即11
2
a =
当2n ≥时，21111111
()2()22
n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，，
11n 111
2a (),212n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2.
112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b .
又1
121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列.
于是1(1)12,2
n n
n n n n b n n a a =+-⋅==∴=
. 类型三、型)0(1≠+=-pq q pa a n n
对策：等价转化为：)1(11-+=-+
-p q a p p q a n n
从而化为等比数列{1-+
p q a n }，并且该数列以1
1-+p q
a
为首项，公比为p
例4、数列
{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.
解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列
即2*21().n
a n N =-∈
变式1：型)0(1≠+=-pqr rq pa a n n n
对策：〔1〕假设p=q ，那么化为
r q a q a n n n n +=
--1
1，从而化为以
q
a 1
为首项，公差等于r 的等差数列{
n
n
q a } 〔2〕假设p≠q，那么化为
r q
a q p q a n n n n +⋅=
--11
，进而转化为类型三求通项 例5、数列{n a }满足.2)2(241*1=∈≥+=-a N n n a a n n n
，且，求及n a .
解析：∵n n n
a a 241+=-∴
12
22
1
1+⋅
=--n n n
n a a
令n
2n n
a b =
，那么)1(211+=+-n n b b
∴{n b +1}是以首项为212
1
1
=+=
a b ，公比为2的等比数列 ∴n n
b 21=+
∴
n n a 212n
=+得数列{n a }的通项公式为n n n a 222-=
变式2：型)0(1≠++=-pq r qn pa a n n
对
策
：
等
价
转
化
为
：
)
(1y xn a p y xn a n n ++=++-，再化为
y p xn p pa y xn a n n )1()1(1-+-+=++-，对照系数，解出x ，y ，进而转化为类型三
例6、数列｛n a ｝中，111
22
n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n
b a a b ,31--=-
(Ⅱ)求数列
{}的通项；n a
解析：∵n n a a n -+12，
点（〕在直线y=x 上
∴n a a n n =-+1
2①
令)(2
1
)1(1
y nx a y n x a n n ++=
++++，可化为： 0221=+++-+y x xn a a n n 与①比较系数得21=-=y x ，
∴①可化为：)2(2
1
2)1(1
+-=
++-+n a n a n n ∴n
n n a n a ⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=+-=+--213)21()21(211 ∴223
-+=
n a n
n
变式3、r qa pa a n n
n +=
+1
型
对策：取倒数后得
p
q a p r a n n +⋅=
+111
，化为类型三 例7、数列{n a }满足a1=1，6
331
+=
+n n
n a a a ，求n a
解析：由6331
+=
+n n n a a a ，得11
211+⋅=+n
n a a
即：
)11
(
2111
+=++n
n a a ，以下请读者解决。

变式4：型)0(1>=-p pa a r
n n
假设p=1，那么等式两边取常用对数或者者自然对数，化为：1lg lg -=n n a r a ，得到首项为1lg a ，公比为r 的等比
数列{n a lg }，所以n a lg =11
lg a r
n -，得1
1-=n r n a a
假设p≠1，那么等式两边取以p 为底的对数得：1lg lg 1+=-n p n p a r a ，转为类型三求通项。

例8、假设数列{n a }中，31=a 且)(2
1为正整数n a a n
n =+，那么数列的通项公式为 解析：∵2
1
n n a a =+及31=a 知3≥n a ，两边取对常用对数得：
n n a a lg 2lg 1=+∴{n a lg }是以首项为3lg lg 1=a ，公比为2的等比数列。

∴3lg 2lg 1-=n n
a ∴1
23-=n n a
变式5、型)0(11≠=+++pq a qa pa a n n n n
对策：两端除以n n a a 1+得：
q a p a n n =++1
11 〔1〕假设
1-=p ，那么构成以首项为1
1
a ，公差为q -
的等差数列{
n
a 1}；
例9、数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式n a 。

解：∵n n n n a a a a 11
2--=-
∴
2111=--n n a a ，∴数列{n a 1}是以首项
11
1
=a ，公差为2的等差数列 ∴
12)1(211
-=-+=n n a n
∴1
21
-=n a n
〔2〕假设
1-≠p ，转化为类型三求解。

变式6：型)0(11
≠+=-+pq qa pa a n n n
对策：等价转化为)(11
-++=+n n n n xa a y xa a ，利用与11-++=n n n qa pa a 恒等求出
x,y 得到一等比数列
}{1n n xa a ++，得n n xa a ++1=f(n)，进而化为变式2类型
例10、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 11,a =142n n S a +=+
〔I 〕设12n
n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列
〔II 〕求数列{}n a 的通项公式。

解：〔I 〕由1
1,a =及142n n S a +=+，有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=
由1
42n n S a +=+，．．．①那么当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．②
②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-
又
12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．
〔II 〕由〔I 〕可得11232n n
n n b a a -+=-=⋅，11
3
224
n n n n a a ++∴
-=
∴数列{
}2n n a 是首项为12，公差为34的等比数列． ∴1331(1)22444n
n a n n =+-=-，2
(31)2n n a n -=-⋅ 评析：第〔I 〕问思路明确，只需利用条件寻找1n n b b -与的关系即可．
第〔II 〕问中由〔I 〕易得
1
1232n n n a a -+-=⋅，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：
1(,n n n a pa q p q +=+为常数)，主要的处理手段是两边除以1n q +．
类型四、奇偶项型
对策一：求出奇数项〔或者者偶数项〕的递推关系，再对应以上方法求解。

例11、设数列{n a }的首项41
1≠=a a ，且⎪⎩
⎪⎨⎧+=+为奇数为偶数n a n a a n n n ,41,21
1，求n a
解：假设n 为偶数，那么8
1
21)41(2121111+=+==--+n n n n a a a a
即8
1
211212+=-+n n a a
∴)41(21)41(21)41(21411322
1212-⎪⎭⎫
⎝⎛==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=---+a a a a n
n n n
∴)4
1
(2141112-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+a a n
n
∴41)41(211
2+-⎪⎭
⎫
⎝⎛=+a a n
n
假设n 为奇数，那么4
1
214111+=+
=-+n n n a a a 即4
1
21222+=
-n n
a a ， ∴)2
1(21)21(21)21(212121
422
222-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=----a a a a n n n n
∴2
1)2141(211
2+-+
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-a a n n
对策二：型)0(1
≠=⋅+pq pq a a n n n ，这种类型一般可转化为{12-n a }与{n a 2}是等差或者者等比数列。

例12、在数列{n a }中，n n n n a ，a a a 求，2111==+
解：由n n n a a 21
=+，得1212+++=n n n a a
两式相除得：
22
=+n
n a a ，∴{12-n a }与{n a 2}均为公比为2的等比数列，易求得： 类型五、周期型 例13：数列{}n a 的通项22
2(cos sin )33
n
n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，那么30S 为 A ．470B ．490C ．495D ．510 答案：A
【解析】由于2
2{cos
sin }33
n n ππ
-以3为周期,故 2210
10
2
11
(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑应选A
例14、数列{n a }满足=∈+-==+20*111)(1
330a ，N n a a a a n n 则，〔〕
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
2
3
略解：由1
330111+-=
=+n n a a a a ，，得0331
3343112
==-=+-=
a a a a a ，，，因此数列是以3为周期
的数列，所以3220-==a a ，选B
课堂练习：
课后练习：2、数列
{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

(31)
2
n n n a +=
3、数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

21n a n =+
4、}{n a 中，n n n a a a 2,311
+==+，求n a 。

21n n a =+
5、112a =,112n
n n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.1
3122n n a -⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
6、数列
{}n a 满足11,a =()1
13
2,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？〔31
2
n n a -=〕
7、假设数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，那么求这个数列的通项公式1123n n a +=-
8、数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

31n n a n =+-
9、数列
{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++
=+2
11
，求n a 。

312n a n =-
10、数列
{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+〔c 是常数，123n =，
，，〕，且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．
〔I 〕求c 的值；c=2 〔II 〕求
{}n a 的通项公式．22n a n n =-+
11、设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．假设用()f n 表示这n 条直线交点的个数，那么(4)f =5；
当4n >时，
()f n =
22
2
n n -+〔用n 表示〕． 2、数列
{}n a 满足3
21=a ，n n a n n
a 11+=
+，求n a 。

23n a n
=
3、}{n a 中，1
2
n n n
a a n +=
+，且12a =，求数列}{n a 的通项公式.()41n a n n =
⋅+ 4、31=a ，n n a n n a 231
31+-=
+)1(≥n ，求n a 。

631
n a n =
- 5、1
1a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.n a n =
6、数列
{}n a 满足11,a =12n n n a a +=，求通项公式n a ？〔22
2
n n
n a -=〕
7、数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1
n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

212
3!25
n n n n a n --=⨯⨯⨯
8、数列{an}，满足a1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n≥2)，那么{an}的通项1
!2
n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩1
2n n =≥
9、设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a 21+n -na 2
n +an+1·an=0(n=1,2,3,…)，求它的通项公式.1n
a n =
10、数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2
N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.22n a n n
=+
2、假设数列的递推公式为*
111,22()n n a a a n +==-∈
，那么求这个数列的通项公式122n n a -=-
3、数列{a n }中，a 1=1，a n =
2
1a 1-n +1(2)n ≥求通项a n ．122n
n a -=- 4、在数列{}n a (不是常数数列)中,1122n n a a +=+且113a =,求数列{}n a 的通项公式.111423
n
n a -=-
⋅ 5、在数列{an}中，,13,11
1
-⋅==+n n a a a 求n a .1
132
n n a -+=
6、数列
{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.21n n a =-
7、设二次方程n a x 2
- 1.＋n a x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用n a 表示a 1n +；1
1123
n n a a +=
+ 〔2〕求证：数列23n
a ⎧
⎫
-⎨⎬⎩⎭
是等比数列； 〔3〕当176a =时，求数列{}n a 的通项公式2132n
n a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
2、a1=1，a2=53，2n a +=531n a +-23n a ,求数列｛n a ｝的通项公式n a .2333n
n a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
3、数列
{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,
),1n n S a n a +=+==，
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n
，求证：数列{}n b 是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2 ==
n a c n
n
n
，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列
{}n a 的通项公式及前n 项和。

1223(1)2;n n n a n --=+-⋅31)22n n s n =-⋅+（
4、数列
{}n a ：213520(1,)n n n a a a n n N ++-+=≥∈，b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

1、设数列{}n a 的前n 项和()1*412
21,333
n n n S a n n N +=
-+≥∈，求数列{}n a 的通项公式。

()42n n n a =- 2、数列
{}n a 中，1
1
,2
a =点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，其中1,2,3.n =
（1） 令11,n n n b a a +=--求证：数列{}n b 是等比数列； （2） 求数列{}n a 的通项；322n n a n ⎛⎫=
+- ⎪⎝⎭
4、设数列
{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n
，求n a .1431n n a n -=⋅--
5、数列}{n a 满足1
12,2(21)n n a a a n +==+-，求通项n a 15221n n a n -=⋅--
6、在数列中，，求通项公式。

92n
n
a = 7、数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

223n
n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
8、数列｛a n ｝，a 1=1,n∈N +，a 1+n =2a n ＋3n,求通项公式a n ．32n n n a =-
9、数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1
n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

51
(2)36
2n n a n =-⋅-
10、假设数列的递推公式为1
111,323()n n n a a a n ++==-⋅∈，那么求这个数列的通项公式73(2)3
n n a n =-
11、数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .11532n n n a -+=⋅-
12、数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

1(31)2n n a n -=-⋅ 13、数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

152n n n a -=+
14、11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。

213
n n a += 15、{}n a 中，11a =，122(2)n n n a a n -=+，求n a .122n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 16、数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==， ⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c n n n
，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

1223(1)2;n n n a n --=+-⋅31)22n n s n =-⋅+（
1、假设数列的递推公式为1
1113,2()n n a n a a +==-∈，那么求这个数列的通项公式。

376n a n =- 3、数列｛an ｝满足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛an ｝的通项公式。

132
n a n =- 4、设数列}{n a 满足,21=a 1,3n n n a a a +=
+求.n a 12231n n a -=⋅- 5、数列{n a }满足a1=1，6331+=+n n n a a a ，求n a 121
n n a =- 6、在数列{}n a 中，1132,3n n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.621
n a n =+ 7、假设数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =
22+n n a a n∈N +，求通项a n ．21n a n =+ 类型七专项练习题：
2、在正整数数列{}n a 中，前n 项和n S 满足21(2)8
n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式.42n a n =- 3、数列{an}的前n 项和为Sn=3n –2,求数列{an}的通项公式.11(1)23(2)
n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩
4、设正整数{an}的前n 项和Sn=2)1(4
1+n a ，求数列{an}的通项公式.13n n a -= 5、假设数列{an}的前n 项的和Sn=
323-n a ,那么这个数列的通项公式是an=2·3n 6、无穷数列
{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？2n n a -=
奇偶性 10.(2021卷理)数列{}n a 满足：1a ＝m 〔m 为正整数〕，1,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩
当为偶数时，当为奇数时。

假设6a ＝1，那么m 所有可能的取值为__________。

11.【答案】4532
【解析】〔1〕假设1a m =为偶数，那么
12a 为偶,故223 a 224
a m m a === ①当4m 仍为偶数时，46832m m a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=故13232
m m =⇒= ②当4m 为奇数时，4333114
a a m =+=+63144m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 故31414
m +=得m=4。

〔2〕假设1a m =为奇数，那么213131a a m =+=+为偶数，故3312
m a +=必为偶数 63116m a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，所以3116m +=1可得m=5 周期数列
6.〔2021理〕数列{}n a 满足：43
4121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈那么2009a =________；2014a =_________. 【答案】1，0
【解析】此题主要考察周期数列等根底知识.属于创新题型.
依题意，得2009
450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====. ∴应填1，0.。