七年级初一数学第二学期第五章 相交线与平行线单元 易错题难题学能测试试题

七年级初一数学第二学期第五章 相交线与平行线单元 易错题难题学能测试试
题
一、选择题
1．下列命题是真命题的有（ ）个
①对顶角相等，邻补角互补
②两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．在下列命题中，为真命题的是（ ）
A ．相等的角是对顶角
B ．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C ．同旁内角互补
D ．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
3．如图，将△ABE 向右平移50px 得到△DCF ，如果△ABE 的周长是400px
（1px=0.04cm ），那么四边形ABFD 的周长是（ ）
A ．16cm
B ．18cm
C ．20cm
D ．21cm
4．给出下列4个命题：①同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④两直线平行，同位角相等．其中，假命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．如图，直线a ∥b ，把三角板的直角顶点放在直线b 上，若∠1＝60°，则∠2的度数为
（ ）
A ．45°
B ．35°
C ．30°
D ．25°
6．一辆行驶中的汽车经过两次拐弯后，仍向原方向行驶，则两次拐弯的角度可能是（ ） A ．先右转30，后左转60︒
B ．先右转30后左转60︒
C ．先右转30后左转150︒
D ．先右转30，后左转30
7．如图，直线//AB CD ，点E 在CD 上，点O 、点F 在AB 上，EOF ∠的角平分线OG 交CD 于点G ，过点F 作FH OE ⊥于点H ，已知148OGD ∠=︒，则OFH ∠的度数为（ ）
A ．26º
B ．32º
C ．36º
D ．42º
8．如图，////OP QR ST 下列各式中正确的是（ ）
A ．123180∠+∠+∠=
B ．12390∠+∠-∠=
C ．12390∠-∠+∠=
D ．231180∠+∠-∠= 9．下列命题中，假命题是（ ）
A ．对顶角相等
B ．同角的余角相等
C ．面积相等的两个三角形全等
D ．平行于同一条直线的两直线平行
10．如图所示，下列条件能判断a ∥b 的有（ ）
A ．∠1+∠2＝180°
B ．∠2＝∠4
C ．∠2+∠3＝180°
D ．∠1＝∠3
二、填空题
11．如图，AB ∥CD ，∠1=64°，FG 平分∠EFD ，则∠EGF=__________________°．
12．如图，已知，∠ABG 为锐角，AH ∥BG ，点C 从点B （C 不与B 重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD ∥AB 交直线AH 于点D ，CE ⊥CD 交AB 于点E ，CF ⊥AD ，垂足为F （F 不与A 重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF 的度数为_____度．（用n 来表示）
13．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置
A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B 灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．
14．如图，A、B、C表示三位同学所站位置，C同学在A同学的北偏东50方向，在B同学
∠=______．
的北偏西60方向，那么C同学看A、B两位同学的视角ACB
15．已知：如图放置的长方形ABCD和等腰直角三角形EFG中，
∠F=90°，FE=FG=4cm，AB=2cm，AD=4cm，且点F，G，D，C在同一直线上，点G和点D 重合．现将△EFG沿射线FC向右平移，当点F和点C重合时停止移动．若△EFG 与长方形重叠部分的面积是4cm2，则△EFG 向右平移了____cm．
16．如图①：MA1∥NA2，图②：MA11NA3，图③：MA1∥N A4，图④：MA1∥NA5，……，
则第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1______.（用含n的代数式表示）
17．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．
18．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分别是点A、C，如果∠CDB=130°，那么直线AB与BD 的夹角是________度．
19．如图，∠AOB＝60°，在∠AOB的内部有一点P，以P为顶点，作∠CPD，使∠CPD的两边与∠AOB的两边分别平行，∠CPD的度数为_______度．
20．如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．
三、解答题
21．问题情境
（1）如图1，已知AB∥CD，∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，求∠BPC的度数．
佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB，进而PG∥CD，由平行线的性质来求∠BPC，求得
∠BPC＝
问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB ＝90°，DF ∥CG ，AB 与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接PE ，PA ，记∠PED ＝∠α，∠PAC ＝∠β．
①如图2，当点P 在C ，D 两点之间运动时，请直接写出∠APE 与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图3，当点P 在B ，D 两点之间运动时，∠APE 与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
拓展延伸
（3）当点P 在C ，D 两点之间运动时，若∠PED ，∠PAC 的角平分线EN ，AN 相交于点N ，请直接写出∠ANE 与∠α，∠β之间的数量关系．
22．如图①，已知AB ∥CD ，一条直线分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠EFB ＝∠B ，FH ⊥FB ，点Q 在BF 上，连接QH ．
(1)已知∠EFD ＝70°，求∠B 的度数；
(2)求证： FH 平分∠GFD ．
(3)在(1)的条件下，若∠FQH ＝30°，将△FHQ 绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边FH 转至线段EF 上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH 与△EBF 的某一边平行?
23．如图，//AB CD ，EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠．
（1）求证：90EFG GEF ∠+∠=︒；
（2）在（1）问的条件下，过点G 作GH AB ⊥，垂足为H ，FGH ∠的平分线GI 交AB 于点I ，EGH ∠的平分线GJ 交AB 于点J ，求IGJ ∠的度数．
24．已知：//AB DE ，//AC DF ，B C E F 、、、四点在同一直线上．
（1）如图1，求证：12∠=∠；
（2）如图2，猜想1,3,4∠∠∠这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，Q 是AD 下方一点，连接,AQ DQ ，且13DAQ BAD ∠=∠，13
ADQ ADF ∠=∠，若110AQD ∠=︒，求2∠的度数． 25．[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB ∥CD ，点E 在两平行线之间，连接BE ，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D
证明如下：过E 点作EF ∥AB ．
∴∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．）
又AB ∥CD(已知）
∴CD ∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） ∴∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）
∴∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）
即：∠E=∠B+∠D
[类比探究]：如图是一个“子弹头”图，AB ∥CD ，点E 在两平行线之间，连接BE ，DE ．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．
[创新应用]：
(1)．如图一，是两块三角板按如图所示的方式摆放，使直角顶点重合，斜边平行，请直接写出∠1的度数．
(2)．如图二，将一个长方形ABCD 按如图的虚线剪下，使∠1=120o ，∠FEQ=90°． 请直接写出∠2的度数．
26．将一副三角板中的两个直角顶点C 叠放在一起（如图①），其中30A ∠=︒，60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒.
（1）猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，并说明理由；
（2）若3BCD ACE ∠=∠，求BCD ∠的度数；
（3）若按住三角板ABC 不动，绕顶点C 转动三角DCE ，试探究BCD ∠等于多少度时//CE AB ，并简要说明理由.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质定理、平行公理、对顶角和邻补角的概念判断即可．
【详解】
解：对顶角相等，邻补角互补，故①是真命题；
两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故②是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故③是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④是假命题；
故正确的个数只有1个，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行的公理和应用，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．B
解析：B
【分析】
分别利用对顶角的性质以及平行线的性质和推论进而判断得出即可．
【详解】
解：A、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此选项错误；
D、垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故此选项错误．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．
3．C
解析：C
【分析】
根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．注意：1px = 0.04cm ．
【详解】
∵1px = 0.04cm，
∴50px=2cm，400px=16cm，
∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF
=AB+BE+AE+AD+EF
=△ABE的周长+AD+EF．
∵平移距离为2cm，
∴AD=EF=2cm，
∵△ABE的周长是16cm，
∴四边形ABFD的周长=16+2+2=20cm．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连
的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
4．B
解析：B
【分析】
根据平行线的判定方法对①进行判断；据对顶角的定义对②进行判断；根据平行线的性质对④进行判断；根据补角的定义对③进行判断．
【详解】
两直线平行，同旁内角互补，所以①错误;
相等的角不一定是对顶角，所以②错误；
等角的补角相等，所以③正确；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以④正确；；
故选B.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质及判定，对顶角的性质等，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
由a与b平行，利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数，再利用平角定义及∠4为直角，即可确定出所求角的度数．
【详解】
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵∠4＝90°，∠3+∠4+∠2＝180°，
∴∠2＝30°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根据平行线的性质求角的度数，利用直角转化角是一种比较常见的方法，在一条直线上，3个角共顶点，且有一个角为直角，则另两个角的和为90°．
6．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质分别判断即可．
【详解】
解：因为两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，
所以两边拐弯的方向相反，形成的角是同位角，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，利用两直线平行，同位角相等是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分
∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据
∠=90°-32°-32°=26°
FH OE
⊥，可得：OFH
【详解】
解：∵∠OGD=148°,
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF,
∠的角平分线OG交CD于点G,
∵EOF
∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF,
∴∠GOE=∠GOF=32°,
⊥,
∵FH OE
∠=90°-32°-32°=26°
∴OFH
故选A.
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
8．D
解析：D
【解析】
试题分析：延长TS，
∵OP∥QR∥ST，
∴∠2=∠4，
∵∠3与∠ESR互补，
∴∠ESR=180°﹣∠3，
∵∠4是△FSR的外角，
∴∠ESR+∠1=∠4，即180°﹣∠3+∠1=∠2，
∴∠2+∠3﹣∠1=180°．
故选D．
考点：平行线的性质．
9．C
解析：C
【分析】
根据对顶角的性质对A进行判断；根据余角的性质对B进行判断；根据三角形全等的判断对C进行判断；根据平行线的传递性对D进行判断．
【详解】
解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；
B、同角的余角相等，所以B选项为真命题；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，所以C选项为假命题；
D、平行于同一条直线的两条直线平行，所以D选项为真命题．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10．B
解析：B
【分析】
通过平行线的判定的相关知识点，并结合题中所示条件进行相应的分析，即可得出答案.【详解】
A.∠1 ,∠2是互补角，相加为180°不能证明平行，故A错误.
B.∠2=∠4，内错角相等，两直线平行，所以B正确.
C. ∠2+∠3＝180°，不能证明a∥b，故C错误.
D.虽然∠1=∠3，但是不能证明a∥b；故D错误.
故答案选：B.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是熟练的掌握平行线的判定.
二、填空题
11．【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵
解析：【分析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠1=64°，
∴∠EFD=∠1=64°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=1
2∠EFD=1
2
×64°=32°，
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠GFD=32°．
故答案为：32．
考点：平行线的性质．
12．n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵
解析：n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
13．6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45
（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详
解析：6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详解】
解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．【解析】
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．
【详解】
如图
，
作，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题 解析：110
【解析】
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．
【详解】
如图
，
作CF //AD //BE ，
FCA DAC 50∠∠∴==，
BCF CBE 60∠∠==，
ACB ACF FCB 5060110∠∠∠∴=+=+=，
故答案为：110．
【点睛】
本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题关键．
15．3或2+
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG 是等腰直角三角形，重合部分为△HDG，则重合面积=DG2=4，解得DG=，而DC ＜，故这种情况不成立；
②如图
解析：3或2+22
【解析】
分析：分三种情况讨论：①如图1，由平移的性质得到△HDG是等腰直角三角形，重合部
分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得DG=22，而DC＜22，故这种情况不成立；
②如图2，由平移的性质得到△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可；
③如图3，由平移的性质得到△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI，把各部分面积表示出来，解方程即可．
详解：分三种情况讨论：①如图1．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG是等腰直角三
角形，重合部分为△HDG，则重合面积=1
2
DG2=4，解得：DG=22，而DC=2＜22，故
这种情况不成立；
②如图2．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△HDG、△CGI是等腰直角三角形，重合部分
为梯形HDCI，则重合面积=S△HDG－S△CGI =1
2
DG2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
DG2－
1
2
（DG-2）
2=4，解得：DG=3；
③如图3．∵△EFG是等腰直角三角形，∴△CGI是等腰直角三角形，重合部分为梯形
EFCI，则重合面积=S△EFG－S△CGI =1
2
EF2－
1
2
CG2=4，即：
1
2
×42－
1
2
（DG-2）2=4，解得：
DG=222
+或222
-（舍去）．
故答案为：3或222
+．
点睛：本题主要考查了平移的性质以及等腰三角形的知识，解题的关键是分三种情况作出图形，并表示出重合部分的面积．
16．【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2
解析：n180︒
【解析】
分析：分别求出图①、图②、图③中，这些角的和，探究规律后，理由规律解决问题即可．
详解：如图①中,∠A1+∠A2=180∘=1×180∘，
如图②中,∠A1+∠A2+∠A3=360∘=2×180∘，
如图③中,∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540∘=3×180∘，
…，
第n个图,∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1学会从=n180︒，
故答案为180n︒.
点睛：平行线的性质.
17．80
【解析】
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80
解析：80
【解析】
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1
2
∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
18．50
【分析】
先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．
【详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线AB与BD的夹角是50度，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了平
解析：50
【分析】
先根据平行线的判定可得//AB CD ，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．
【详解】
∵AC AB ⊥，AC CD ⊥，
∴//AB CD ，
∵130CDB ∠=︒，
∴18050ABD CDB ∠=︒-∠=︒，
∴直线AB 与BD 的夹角是50度，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、两直线的夹角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
19．60或120
【分析】
根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，，
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错
解析：60或120
【分析】
根据题意分两种情况，如图所示（见解析），再分别根据平行线的性质即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，//,//PC OB PD OA ，
60AOB PDB ∴=∠=∠︒（两直线平行，同位角相等），
60PDB CPD ∴=∠=∠︒（两直线平行，内错角相等）；
（2）如图2，//,//PC OB PD OA ，
60AOB PDB ∴=∠=∠︒（两直线平行，同位角相等），
180120C P B P D D ∠=︒-∴∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）；
综上，CPD ∠的度数为60︒或120︒，
故答案为：60或120．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
20．12
【解析】
分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的
解析：12
【解析】
分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．
故答案为12．
点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
三、解答题
21．（1）80°；（2）①∠APE＝∠α+∠β；②∠APE＝∠β﹣∠α，理由见解析；（3）∠ANE
＝1
2
（∠α+∠β）
【分析】
（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，由平行线的性质可得∠BPC的度数；
（2）①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②过P作PQ∥DF，依据平行线的性质可得∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，即可得到∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）过P和N分别作FD的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到
∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝1
2
（∠α+∠β）．
【详解】
解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG＝180°，∠C+∠CPG＝180°，
又∵∠PBA＝125°，∠PCD＝155°，
∴∠BPC＝360°﹣125°﹣155°＝80°，
故答案为：80°；
（2）①如图2，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠α+∠β；理由如下：
作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ+∠EPQ＝∠β+∠α；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE＝∠β﹣∠α；理由如下：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β＝∠QPA，∠α＝∠QPE，
∴∠APE＝∠APQ﹣∠EPQ＝∠β﹣∠α；
（3）如图4，∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系为∠ANE＝1
2
（∠α+∠β）．理由如下：
作NQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴NQ∥CG，
∴∠DEN＝∠QNE，∠CAN＝∠QNA，∵EN平分∠DEP，AN平分∠CAP，
∴∠DEN＝1
2
∠α，∠CAN＝
1
2
∠β，
∴∠QNE＝1
2
∠α，∠QNA＝
1
2
∠β，
∴∠ANE＝∠QNE +∠QNA＝1
2
∠α+
1
2
∠β=
1
2
（∠α+∠β）；
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
22．（1）35°；（2）见解析；（3）30°或65°或175°或210°
【分析】
(1)利用AB∥CD，得到∠B＝∠BFD，又∠B=∠EFB，由此得到∠EFB=∠BFD=1
2
∠EFD=35°；
(2)由(1)知∠EFB＝∠BFD，利用FH⊥FB，得到∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°，再由等角的余角相等得到∠DFH＝∠GFH即可求解；
(3)按QH分别与△EBF的三边平行三种情况分类讨论即可．
【详解】
解：(1)AB∥CD，∴∠B＝∠BFD．
∵∠EFB＝∠B，
∴∠EFB=∠BFD=1
2
∠EFD=35°，
∴∠B＝35°，
故答案为：35°；
(2)∵FH⊥FB，
∴∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°∵∠EFB＝∠BFD，由等角的余角相等可知，∴∠DFH＝∠GFH．
∴FH平分∠GFD．
(3)分类讨论：
情况一：QH与△EFB的边BF平行时，如下图1和图4所示：
当为图1时：
∵BF与HQ平行，∴∠H+∠BFH=180°，又∠H=60°，
∴∠BFH=120°，此时旋转角α=∠BFQ=120°-∠HFQ=120°-90°=30°，当为图4时：
此时∠HFB=∠H=60°，
旋转角α=∠1+∠2+∠3=360°-(∠HFB+∠HFQ)=360°-(60°+90°)=210°；情况二：QH与△EFB的边BE平行时，如下图2所示：
此时∠1=∠3=35°，∠2=∠4=30°，
∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2=35°+30°=65°；
情况三：QH与△EFB的边EF平行时，如下图3所示：
此时∠3=∠Q=30°，
∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2+∠3=35°+110°+30°=175°，
综上所述，旋转角α＝30°或65°或175°或210°．
故答案为：α＝30°或65°或175°或210°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，周角的定义等，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）45IGJ ∠=︒．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得180DEF BFE ∠+∠=︒，再利用角平分线的定义即可得证； （2）过点G 作//GK AB ，则////AB GK CD ，根据平行线的性质可得DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠，再结合（1）的结论易得90EGK KGF ∠+∠=︒，利用角平分线的定义及垂线的定义即可求解．
【详解】
（1）证明：∵//AB CD ，
∴180DEF BFE ∠+∠=︒．
∵EG 平分DEF ∠，FG 平分BFE ∠，
∴22DEF GEF DEG ∠=∠=∠，22BFE EFG GFB ∠=∠=∠，
∴22180GEF EFG ∠+∠=︒，
∴90EFG GEF ∠+∠=︒．
（2）解：过点G 作//GK AB ．
∵//AB CD ，
∴////AB GK CD ，
∴DEG EGK ∠=∠，KGF GFB ∠=∠．
由（1）得90DEG GFB ∠+∠=︒，∴90EGK KGF ∠+∠=︒．
∵GH AB ⊥，
∴GH KG ⊥，即90KGH KGF HGF ∠=∠+∠=︒，
∴EGK HGF ∠=∠．
∵GJ 平分EGH ∠，
∴EGJ HGJ ∠=∠．
又KGJ EGJ EGK ∠=∠-∠，FGJ HGJ HGF ∠=∠-∠，
∴KGJ FGJ ∠=∠，
∴2KGF FGJ ∠=∠．
∵GI 平分HGF ∠，
∴2HGF FGI ∠=∠，
∴2290FGJ FGI ∠+∠=︒，即45FGJ FGI ∠+∠=︒，
∴45IGJ FGJ FGI ∠=∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线的定义等内容，掌握平行线的性质是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2）118034∠+︒=∠+∠，详见解析；（3）230∠=︒
【分析】
（1）如下图，延长AC ，DE 相交于点G ，利用∠G 作为过渡角可证；
（2）如下图，作//CP AB ，可得//CP DE ，推导得出118034∠+︒=∠+∠； （3）如下图，过Q 作1//AD l ∠，利用平行可得出70x y +=︒，再利用////QR AB DE 得到22110x y z +-=︒，从而得出z 的值．
【详解】
（1）延长,AC DE 相交于点G ．
∵//AB DE ，//AC DF
∴1G ∠=∠，2G ∠=∠
∴12∠=∠．
（2）作//CP AB ，则//CP DE
∵//CP AB ，//CP DE ．
∴1ACP ∠=∠，4180ECP ∠+∠=︒
∴11804ACP ECP ∠+︒=∠+∠+∠
即118034∠+︒=∠+∠．
（3）过Q 作1//AD l ∠
则5D ∠=．6y ∠=
∵56110180∠+∠+︒=︒
∴110180x y ++︒=︒
即70x y +=︒
旁证：过Q 作//QR AB ，则//QR DE ．
设DAQ x ∠=，APQ y ∠=，2z ∠=．
则2BAQ x ∠=，2FDQ y ∠=，1z ∠=．
∵////QR AB DE
∴2AQR BAQ x ∠=∠=，2EDQ DQR y z ∠=∠=-．
∴22110x y z +-=︒
又∵70x y +=︒
∴22140x y +=︒
∵(2)(22)30x y x y z z +-+-==︒
∴230∠=︒
【点睛】
本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的大小．
25．类比探究：见解析；
创新应用：(1)：1105.∠=︒
创新应用：(2)：2150.∠=︒
【分析】
[类比探究]：如图，过E 作//,EF AB 结合已知条件得//,FE CD 利用平行线的性质可得答案，
[创新应用]：
(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB 得到//,CD EF 利用平行线的性质可得答案，
(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB 得到 //,EG CD 利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：类比探究：如图，过E 作//,EF AB
//,AB CD
//,FE CD ∴
//,EF AB
180,B BEF ∴∠+∠=︒
//,FE CD
180,D DEF ∴∠+∠=︒
360,B BEF DEF D ∴∠+∠+∠+∠=︒
360.B BED D ∴∠+∠+∠=︒
[创新应用]：(1)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EF AB
//,CD EF ∴
//,EF AB
,B BEF ∴∠=∠
//,CD EF
,D DEF ∴∠=∠
,B D BEF DEF BED ∴∠+∠=∠+∠=∠
30,45,B D ∠=︒∠=︒
75,BED ∴∠=︒
90,AEB DEC ∠=∠=︒
1360909075105.∴∠=︒-︒-︒-︒=︒
(2)：由题意得：//,AB CD 过E 作//,EG AB
//,EG CD ∴
2180,GEQ ∴∠+∠=︒
//,EG AB
1180,GEF ∴∠+∠=︒
1212360GEF GEQ FEQ ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒ ，
∠1=120o ，∠FEQ=90°，
2150.∴∠=︒
【点睛】
本题考查平行公理及平行线的性质，掌握平行公理及平行线的性质是解题关键．
26．（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由详见解析；（2）135°；（3）BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .
【分析】
（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD ，即可得到∠BCD+∠ACE 的度数；
（2）设∠ACE=α，则∠BCD=3α，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD 的度数； （3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD 等于150°或30°时，CE//4B.
【详解】
解：（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由如下：
90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=︒+∠，
∴90BCD ACE ACD ACE ∠+∠=︒+∠+∠9090180=︒+︒=︒；
（2）如图①，设ACE α∠=，则3BCD α∠=，
由（1）可得180BCD ACE ∠+∠=︒，
∴3180αα+=︒，
∴45α=，
∴3135BCD α∠==︒；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当//AB CE 时，180120BCE B ∠=︒-∠=︒， 又
90DCE ∠=︒，
∴36012090150BCD ∠=︒-︒-︒=︒；
②如图2所示，当//AB CE 时，60BCE B ∠=∠=︒， 又90DCE ∠=︒，
∴906030BCD ∠=︒-︒=︒.
综上所述，BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.。