安徽省黄山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测
高一数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1.已知，，则=
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出中所有的奇数后可得.
【详解】中的奇数有，故，选A.
【点睛】本题考查集合的交、并、补，属于基本题，注意弄清集合中元素的属性.
2.已知向量,，若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量数量积的坐标形式和数量积为可得的值.
【详解】因为，所以.又，故，选C.
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过来求；（2）计算角即.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.
3.函数的定义域是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解析式的特点列出不等式组，其解集为函数的定义域.
【详解】根据题设有，故，
函数的定义域为，故选C.
【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次根号（，为偶数）中，；
（3）零的零次方没有意义；
（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.
4.化简的结果为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
3弧度的角是第二象限角，利用它的正弦为正、余弦为负可得化简结果.
【详解】因为3弧度的角是第二象限角，故，
所以原式，故选B.
【点睛】同角的三角函数的基本关系式有平方关系和商数关系，平方关系式是，它是一个恒等式，体现了三角函数式中二次与常数的转化，因此在化简中可以把高次的代数式降次，可以把低次数的代数式升高次数.另外，基本关系式体现了方程的思想即“知一求二” .
5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用定义逐个检验各函数的奇偶性，再根据化简函数解析式，结合常见函数的单调性逐个判断在的单调性. 【详解】四个选项中的函数的定义域均为，它关于原点对称.
对于A，因为，为奇函数，故A错；
对于B，因为，为奇函数，故B错；
对于C，因为，为偶函数，当时，，它是减函数，故C错；
对于D，因为，为偶函数，当时，在是增函数，故D正确；综上，选D.
【点睛】函数奇偶性的判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.
6.已知是第四象限角，，则的值分别为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用同角的三角函数的基本关系式可求.
【详解】因为是第四象限角，所以
，
，故选C.
【点睛】角有三个三角函数值，如果知道其中一个三角函数值，则我们可以求出另外两个三角函数值，最基本的方法是利用已知条件构建另外两个三角函数值的方程组，解这个方程组可以求余下的两个三角函数值.也可以根据同角的三角函数的基本关系式得到余下两个三角值与已知三角函数值的关系（如题中解法）.
7.已知，，，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.
【详解】因为及都是上的增函数，故
，，
又，故，选B.
【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质
统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.
8.下列命题正确的是
A. 若是第一象限角，且，则；
B. 函数的单调减区间是
C. 函数的最小正周期是；
D. 函数是偶函数；
【答案】D
【解析】
【分析】
通过取特殊值可判断A、B、C是错误的，利用诱导公式对化简后可判断其奇偶性.
【详解】对于A，取，它们都是第一象限角且，但，故A错.
对于B，取，且，但，，，
不是减函数，故B错.
对于C，取，则，故C错.
对于D，因为，它是偶函数，故D正确.
综上，选D.
【点睛】判断函数的奇偶性不能光看形式，必要时需要结合定义域对函数解析式化简后利用定义判断，三角函数
的单调区间需根据复合函数的单调性来求（同增异减），也可以根据诱导公式把化为正数的形式后再利用函数的单调性求单调区间.
9.用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如下表所示：
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解.
【详解】根据表中数据可知，，由精确度为可知，，故方程的一个近似解为，选C.
【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.
10.已知集合，，若,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，再根据包含关系求出的取值范围.
【详解】，，
因为，所以即.故选A.
【点睛】解对数不等式时，需要利用对数的运算性质把常数化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性求不等式的解，注意对数的真数总是正数（容易忽视）.利用集合的包含关系求参数的取值范围时，注意端点可取否.
11.在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合对数函数和幂函数的图象和性质，对选项中的图象逐个分析，
【详解】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；
对于B项，幂函数，对数函数，所以B项不满足要求；
对于C项，幂函数要求，而对数函数要求，，所以C项不满足要求；
对于D项，幂函数与对数函数都要求，所以D项满足要求；
故选D.
【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，需要对相应的函数的图象的走向了如指掌，注意参数的范围决定着函数图象的走向，再者就是在同一坐标系中两个函数的图象对应参数的范围必须保持一致.
12.在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.
【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，
因为M是线段AD的中点，所以：
，
又，所以，，
所以.
本题选择D选项.
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行
向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.函数（且）的图象过定点___________.
【答案】
【分析】
由可得图像所过的定点.
【详解】当时，，故的图像过定点.
填.
【点睛】所谓含参数的函数的图像过定点，是指若是与参数无关的常数，则函数的图像必过.我们也可以根据图像的平移把复杂函数的图像所过的定点归结为常见函数的图像所过的定点（两个定点之间有平移关系）. 14.弧长为，圆心角为弧度的扇形，其面积为，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
设出扇形的半径，找到弧长、面积与半径的关系后可得.
【详解】设扇形的半径为，则，，
故.填.
【点睛】扇形的面积公式为，其中为扇形的半径，这个公式可和三角形的面积公式联系在一起记忆：把看成扇形的高，看成扇形的底.
15.中，，，则在方向上的投影是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的投影公式直接计算可得投影结果.
【详解】在方向上的投影为.
【点睛】平面向量中，在方向上的投影为，利用向量的夹角公式化简后为.
16.已知函数，若在上是单调增函数，则实数的
取值范围是____________．
【答案】
【解析】
由在为增函数可以得到在和上都是增函数且，故可得的取值范围．
【详解】因为在为增函数，所以，故，填．
【点睛】上的分段函数若为增（减），则不仅要考虑每段上的函数均为增函数（减函数），还得考虑分段处的高与低，特别是后者，往往在分析问题时被忽视．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、解答过程或演算步骤.）
17.（Ⅰ）求值：；
（Ⅱ）若角的终边经过点，求的值．
【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用分数指数幂和对数的运算规则直接计算．
（Ⅱ）利用诱导公式和正切的定义进行计算．
【详解】（Ⅰ）.
（Ⅱ），，
故．
【点睛】（1）分数指数幂的运算规则和整数指数幂的运算规则类似，而对数的运算规则可分成三大类：
①；
；
②；
③．
（2）诱导公式的主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．
18.（Ⅰ）已知，，且与共线，求的坐标；
（Ⅱ）已知，，且的夹角为，求.
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）可设，利用可得的值，从而得到的坐标．
（Ⅱ）因，故计算后即得所求的模．
【详解】（Ⅰ）设. 由，
解得. 或．
（Ⅱ）因为向量，故.所以，
，
故．
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.
19.已知函数.
（Ⅰ）若函数是上的奇函数，求的值；
（Ⅱ）若函数的定义域是一切实数，求的取值范围；
（Ⅲ）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于,求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用求得后验证为奇函数即可．
（Ⅱ）在上恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．
（Ⅲ）为上减函数，故，结合在上恒成立可得实数的取值范围．
【详解】（Ⅰ）函数是上的奇函数，则，求得.又此时是上的奇函数．所以为所求．（Ⅱ）函数的定义域是一切实数，则恒成立.
即恒成立，由于.故只要即可
（Ⅲ）由已知函数是减函数，故在区间上的最大值是，
最小值是.
由题设，故的取值范围为.
【点睛】含参数的奇函数或偶函数，可通过取特殊的自变量的值来求参数的大小，注意最后检验必不可少.含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.与对数有关的函数问题，在转化过程中注意真数总是正数的要求.
20.已知函数，其中.图象中相邻两条对称轴间的距离为，且图象上一个最高点为．
（Ⅰ）求的解析式和单调递增区间；
（Ⅱ）先把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数，求在区间上的值域.
【答案】（Ⅰ）,增区间（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据相邻对称轴的距离得到，再根据最高点得到后可得函数的解析式，最后根据的增区间求得
的增区间.
（Ⅱ）根据平移变换和周期变换的规则可得的解析式为，求出的范围之后可得函数的值域.
【详解】（Ⅰ）由题设，所以，即，
又函数图象上一个最高点为．所以，∴的解析式是.
由得：.
故单调递增区间.
（Ⅱ）由题意可得，，
所以，
故在区间上的值域是.
【点睛】（1）三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的
，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.
（2）函数在给定范围的值域问题，应先求的范围再利用求原来函数的值域，切记不可代区间的两个端点求函数的值域，除非我们能确定函数在给定的范围上是单调的.
21.为净化新安江水域的水质，市环保局于2017年底在新安江水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2018年二月底测得蒲草覆盖面积为，2018年三月底测得覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.
（Ⅰ）分别求出两个函数模型的解析式；
（Ⅱ）若市环保局在2017年年底投放了的蒲草，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，求蒲草覆盖面积达到的最小月份．
（参考数据：，）
【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）模型更为合适（Ⅲ） 9月 .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题设条件得到每个函数中两个参数的方程组，解这些方程组可得函数的解析式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的函数计算时的函数值，比差的绝对值较小的函数为更合适的模型．
（Ⅲ）不等式的最小正整数解即为所求的月份．
【详解】（Ⅰ）由已知，所以，
由已知，所以.
（Ⅱ）若用模型，则当时，，
若用模型，则当时，，
易知，使用模型更为合适.
（Ⅲ）由，
故，
故蒲草覆盖面积达到的最小月份是9月.
【点睛】生活中一些现象可以用不同的数学模型来刻画，最佳模型可以根据数据对应的散点图形状来选择，也可以根据误差较小原则来确定最佳模型.
22.已知在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，.
（Ⅰ）若，且为第二象限角，求的值；
（Ⅱ）若，且，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据可得，利用同角的三角函数的基本关系式可求.
（Ⅱ）先求出的坐标，用表示的坐标后可得的解析式，再利用二次函数求的最小值.
【详解】（Ⅰ）由已知得：，
由得：
，故.
故，
，又为第二象限角，，
故，.
(Ⅱ) 由，知点坐标是，
由，，
得：
故当时，取最小值.
【点睛】（1）同角的三角函数的基本关系式中，三者之间的关系是知一求二，解题中注意相互之间的联系.
（2）如果，则（即为两点间的距离公式）.。