2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一课件：1.3 第2课时 补集及其应用

第2课时 补集及应用
一二三
一、全集
这三个集合相等吗?为什么?
(2)这三个集合中表示特征性质的方程相同,但得到的集合却不相 同.你觉得化简集合时要注意什么?
提示:要注意集合中代表元素的范围.即解方程时,要注意方程的 根在什么范围内,同一个方程在不同的范围内其解会有所不同.
一二三
(3)在问题(1)中,集合Z,Q,R分别含有所解方程时所涉及的全部元 素,这样的集合称为全集.那么全集一定要包含任何元素吗?
提示:不一定.全集不是固定的,它是相对而言的.只要包含所研究 问题中涉及的所有元素即可.
2.填空 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么 就称这个集合为全集,通常记作U.
一二三
二、补集 1.A={高一(2)班参加排球队的同学},B={高一(2)班没有参加排球 队的同学},U={高一(2)班的同学}. (1)集合A,B,U有何关系? 提示:U=A∪B. (2)集合B中的元素与U,A有何关系? 提示:集合B中的元素在U中,但不在A中.
答案:(1)C (2){x|1≤x<5}
一二三
三、补集的性质
1.(1)全集的补集是什么?空集的补集是什么? 提示:∁UU=⌀,∁U⌀=U. (2)一个集合同它的补集的并集是什么?一个集合同它的补集的 交集是什么? 提示:A∪∁UA=U;A∩∁UA=⌀. (3)一个集合的补集的补集是什么? 提示:∁U(∁UA)=A. (4)当集合A⊆B时,∁UA与∁UB有什么关系? 提示:A⊆B⇔∁UA⊇∁UB. 2.做一做 已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5}.求∁UA,A∩∁UA,A∪∁UA. 解:∁UA={2,4,6},A∩∁UA=⌀,A∪∁UA=U={1,2,3,4,5,6}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
变式训练1已知集合A={x|-3≤x<5},∁UA={x|x≥5},B={x|1<x<3}, 求∁UB.
解:由已知U={x|-3≤x<5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1<x<3},
所以∁UB={x|-3≤x≤1或x≥3}.
探究一
探究二
探究三
答案:(1)2 (2)13
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
二、新运算
典例2已知集合A={0,2,3},定义集合运算
A※A={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则A※A= .
解析:由题意知,集合A={0,2,3},则a与b可能的取值分别为
0,2,3,∴a+b的值可能为0,2,3,4,5,6, ∴A※A={0,2,3,4,5,6}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
变式训练2(1)如果全集U=R,M={x|-1<x≤2},N={1,3,5},则
M∩(∁UN)=( )
A.(-1,1)∪(1,2)
B.(-1,2)
C.(-1,1)∪(1,2] D.(-1,2]
(2)已知全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及 (∁RA)∩B.
(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
解析:(1)(方法一)∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, ∴U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
(方法二)满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
思维辨析 随堂演练
交集、并集与补集的混合运算 例2设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2+x-2=0},B={0,-2},则
B∩(∁UA)=( )
A.{0,1} B.{-2,0} C.{-1,-2} D.{0} 分析:先求出集合A,再求出集合A的补集,最后根据集合的交集运 算求出结果. 解析:由于A={x|x2+x-2=0}={-2,1}, 所以∁UA={-1,0,2}, 所以B∩(∁UA)={0},故选D. 答案:D
答案:a≥2
反思感悟 由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的 定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求 解,具体操作时要注意端点值的取舍.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
延伸探究已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足 B∩(∁UA)={2},A∩(∁UB)={4},U=R,求实数a,b的值.
答案:C
2.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}
解析:∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},
∴A∪B={x|x≤0,或x≥1}, ∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.
则∁UA={x|-1≤x≤3}; ∁UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3}; (∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
反思感悟 交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况 1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并 集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处 理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错. 2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表 示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较 形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍.
解:(1)∵B∩(∁UA)={2},∴2∈B,但2∉A. ∵A∩(∁UB)={4},∴4∈A,但4∉B.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
集合中的新定义问题
此类问题是以集合内容为背景,设计一个陌生的问题情景,即给 出一个新的概念或者新的运算、新的法则,要求我们在理解新概念、 新运算、新法则的基础上解决相应的问题,这就是与集合相关的新 定义题型.
的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为 .
解析:题图中阴影部分所表示的集合为 B∩(∁UA)={3,4,6}∩{2,4,5,6}={4,6}. 答案:{4,6}
探究一
探究二探究三思Fra bibliotek辨析 随堂演练
解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.
∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3}, ∴A∩B={x|-1<x<2},∁UB={x|x≤-1,或x>3}.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
例3已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求 ∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB).
分析:由于U,A,B均为连续的无限集,所求问题是集合间的交集、 并集、补集运算,故考虑借助数轴求解.
解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示,
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
3.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},∁UA={x|x<1,或x≥2},则实数b= . 解析:∵∁UA={x|x<1,或x≥2}, ∴A={x|1≤x<2}.∴b=2.
答案:2 4.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},集合B={3,4,6},集合U,A,B
要解答此类题,关键是先要理解新定义、新运算、新法则的实质, 根据这种新的定义、运算或者法则来求解问题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
一、新定义
典例1已知集合M={1,2,3,4}, A⊆M,集合A中所有元素的乘积称为 集合A的“累积值”,且规定:当集合A只有一个元素时,其累积值即为 该元素的数值,空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.
探究一
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思维辨析 随堂演练
补集的基本运算 例1 (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},
则集合B= ; (2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA=
.
分析:(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义 求出集合B,也可借助Venn图求解.
探究一
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思维辨析 随堂演练
补集性质的应用 例4 已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,
则实数a的取值范围是 .
分析:先求出∁RB,再借助于数轴求实数a的取值范围.
解析:∵B={x|1<x<2},∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}.
又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2.
由补集的定义可知∁UA={x|x<-3,或x=5}.
答案:(1){2,3,5,7} (2){x|x<-3,或x=5}
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探究二
探究三
思维辨析 随堂演练
反思感悟 求集合的补集的方法 1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. 2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时 需注意端点问题.
答案:{0,2,3,4,5,6}
探究一
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探究三
思维辨析 随堂演练
1.设集合A={1,3,4,5},B={2,4,6},C={0,1,2,3,4},则(A∪B)∩C=( )
A.{2}
B.{2,4}
C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 解析:A∪B={1,2,3,4,5,6},(A∪B)∩C={1,2,3,4}.
(1)解析:∁UN={x|x≠1,且x≠3,且x≠5},
∴M∩(∁UN)=(-1,1)∪(1,2].
答案:C
(2)解:把集合A,B在数轴上表示如图.由图
知,A∪B={x|2<x<10},∴∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}. ∵∁RA={x|x<3,或x≥7}, ∴(∁RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.
一二三
2.填表:
一二三
3.做一做
(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁UA=( )
A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7}
(2)已知全集U为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则∁UA= .
解析:(1)由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7},得∁UA={2,4,7}.故选C. (2)集合A={x|x<1,或x≥5}的补集是∁UA={x|1≤x<5}.
(1)若n=3,则这样的集合A共有 个; (2)若n为偶数, 则这样的集合A共有 个.
解析:(1)若n=3,据累积值的定义,得A={3}或A={1,3},这样的集合 A共有2个.
(2)因为集合M的子集共有24=16个,其中“累积值”为奇数的子集 为{1},{3},{1,3},共3个,所以“累积值”为偶数的集合共有13个.