中国人民大学附属中学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．计算下列各式，结果为5x 的是（ ）
A ．()32x
B ．102x x ÷
C ．23x x ⋅
D ．6x x - 2．如果249x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是（ ）
A ．12±
B ．9
C ．9±
D ．12
3．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A ．2105525x x x x x -=⋅-
B ．()a x y ax ay +=+
C ．()22442x x x -+=-
D ．()()2163443x x x x x -+=-++ 4．如下列试题，嘉淇的得分是（ ）
姓名：嘉淇 得分：
将下列各式分解因式（每题20分，共计100分）
①242(12)xy xyz xy z -=-；②2363(12)x x x x --=--；③221(2)a +a a a +=+；④2224(2)m n m n -=-；⑤22222()()x y x y x y -+=-+-
A ．40分
B ．60分
C ．80分
D ．100分 5．已知3x y +=，1xy =，则23x xy y -+的值是（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．12 6．按照如图所示的运算程序，能使输出y 的值为5的是（ ）
A ．1,4m n ==
B ．2,5m n ==
C ．5,3m n ==
D ．2,2m n == 7．下列运算中，正确的个数是（ ） ①2352x x x +=；②()326x x =；③03215⨯-=；④538--+=
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 8．设, a b 是实数，定义一种新运算：()2*a b a b =-．下面有四个推断：
①**a b b a =；
②()22
2**a b a b =；
③()()**a b a b -=-；
④()**a b c a b a c +=+*．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A ．①②③④
B ．①③④
C ．①②
D ．①③
9．已知5a b +=，2ab =-，则a 2+b 2的值为（ ）
A ．21
B ．23
C ．25
D ．29
10．下列各式运算正确的是（ ） A ．235a a a += B ．1025a a a ÷=
C ．()32626b b =
D ．2421a a a -⋅= 11．已知21102x y ⎛⎫++-= ⎪⎝
⎭，则代数式2xy−（x ＋y ）2=（ ） A ．34 B ．54- C ．12- D ．54
12．a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示，则下列代数式中值为正的是（ ）
A ．()()1a c b --
B ．()11c a b c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C ．()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭
D ．()1ac bc -
二、填空题
13．下图中的四边形均为长方形，根据图形面积，写出一个正确的等式：______．
14．已知25m =，2245m n +=，则2n =_______．
15．10的整数部分是a ．小数部分是b ，则2a b -=______．
16．若3x y -=，2xy =，则22x y +=__________．
17．若（2x +1）5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a ，则a 2+a 4=____
18．已知228a ab +=-，2214b ab +=，则2262a ab b ++=________．
19．计算：()()2
99990.045⎡⎤⨯-⎣⎦
的结果是______． 20．因式分解：33327xy x y -=______．
三、解答题
21．先化简，再求值：2(21)(21)(23)+---a a a ，其中112
a =-． 22．如图，点M 是AB 的中点，点P 在MB 上．分别以AP ，PB 为边，作正方形APCD 和正方形PBEF ，连结MD 和ME ．设AP ＝a ，BP ＝
b ，且a ＋b ＝8，ab ＝6，求图中阴影部分的面积．
23．先化简，再求值：()()()2
222x y x y x y --+-其中1x =-，2y =
24．分解因式：
（1）325x x -；
（2）(3)2(3)m a a -+-．
25．如果关于x 的多项式2x a +与22x bx --的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求2+a b 的值．
26．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是________； （2）根据（1）中的结论，若95,4
x y x y ⋅+==，则x y -=________； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)m -(2020)m -的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
分别计算每个选项然后进行判断即可.
【详解】
A 、()3
26x x =，选项错误； B 、1028x x x =÷，选项错误；
C 、235x x x ，选项正确；
D 、6x x -不能得到5x ，选项错误.
故选：C
【点睛】
此题考查同底数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
2．A
解析：A
【分析】
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．
【详解】
解：∵()2
2249=23x mx x mx -+-+，
∴223mx x -=±⨯⨯ ，
解得m=±12．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 3．C
解析：C
【分析】
将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．
【详解】
解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；
B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；
C 、()2
2442x x x -+=-，是分解因式；
D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式； 故选：C ．
【点睛】
此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键． 4．A
解析：A
【分析】
根据提公因式法及公式法分解即可．
【详解】
①242(12)xy xyz xy z -=-，故该项正确；
②2363(12)x x x x --=-+，故该项错误；
③2221(1)a +a a +=+，故该项错误；
④224(2)(2)m n m n m n -=+-，故该项错误；
⑤22222()()x y x y x y -+=-+-，故该项正确；
正确的有：①与⑤共2道题，得40分，
故选：A ．
【点睛】
此题考查分解因式，将多项式写成整式乘积的形式，叫做将多项式分解因式，分解因式的方法：提公因式法、公式法，根据每道题的特点选择恰当的分解方法是解题的关键． 5．A
解析：A
【分析】
先把3x y +=代入原式，可得23x xy y -+=22x y +，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】
∵3x y +=，
∴23x xy y -+=2()x xy x y y -++=22x xy xy y -++=22x
y +， ∵1xy =，
∴23x xy y -+=22x
y +=22()23217x y xy +-=-⨯=，
故选A ．
【点睛】 本题主要考查代数式求值，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键． 6．D
解析：D
【分析】
根据题意逐一计算即可判断．
【详解】
A 、当m=1，n=4时，则m n <，∴2224210y n =+=⨯+=，不合题意；
B 、当m=2，n=5时，则m n <，∴2225212y n =+=⨯+=，不合题意；
C 、当m=5，n=3时，则m n >，∴3135114y m =-=⨯-=，不合题意；
D 、当m=2，n=2时，则m n >，∴313215y m =-=⨯-=，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
7．A
解析：A
【分析】
①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；
③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.
【详解】
∵2x 与3x 不是同类项，无法合并，∴①是错误的；
∵()3
26x x =，∴②是正确的； ∵032112-1=1⨯-=⨯，∴③是错误的； ∵53-5+3=-2--+=，∴④是错误的；
综上所述，只有一个正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.
8．D
解析：D
【分析】
根据a*b 的定义，将每个等式的左右两边分别计算，再进行判断即可．
【详解】
①∵a*b=()2a b -，b*a=()()22b a a b -=-，
∴a*b=b*a 成立；
②(a*b)2=()()()224a b a b -=-，a 2*b 2=()()()222
22a b a b a b -=-+， ∵()()()
422a b a b a b -≠-+ ∴（a*b ）2=a 2*b 2不成立； ③∵(−a)*b=()()22a b a b --=+，a*(−b)= ()()22
a b a b --=+⎡⎤⎣⎦，
∴−a*b=a*(−b)成立；
④∵a*(b+c)= ()()22a b c a b c -+=--⎡⎤⎣⎦，a*b+a ∗c=()()()222a b a c a b c -+-≠--， ∴a*(b+c) =a*b+a ∗c 不成立；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了新定义下实数的运算，正确理解题意是解题的关键． 9．D
解析：D
【分析】
根据完全平方公式得()2
222a b a b ab +=+-，再整体代入即可求值．
【详解】
解：∵()2222a b a b ab +=++，
∴()2
222a b a b ab +=+-， ∵5a b +=，2ab =-，
∴原式()2
52225429=-⨯-=+=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行计算．
10．D
解析：D
【分析】
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
解：A 、a 2与3a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B 、1028a a a ÷=，故本选项错误；
C 、()32
628b b =，故本选项错误； D 、24221a a a a
--⋅==，正确． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．
11．B
解析：B
【分析】
直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，进而代入得出答案．
【详解】
∵|x ＋1|＋（y−
12）2＝0， ∴x ＋1＝0，y−12
＝0， 解得：x ＝−1，y ＝
12， ∵2xy−（x ＋y ）2＝2xy−x 2−y 2−2xy ＝−x 2−y 2，
∴当x ＝−1，y ＝12
时， 原式＝−（−1）2−（
12）2＝−1−14
＝−54． 故选：B ．
此题主要考查了非负数的性质，和完全平方公式，正确得出x ，y 的值是解题关键． 12．C
解析：C
【分析】
现根据各数在数轴上的位置确定其取值范围，然后可确定答案．
【详解】
解：由图知：0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0， ∴()100a a c b ⎛⎫+
>-> ⎪⎝⎭，， ()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭值为正，C 正确； 而()110c a b c ⎛⎫--< ⎪⎝⎭
，()()10a c b --<，()10ac bc -<；A 、B 、D 错误. 故选：C.
【点睛】
此题主要考查由取值范围确定代数式正负问题，解题的关键是根据点在数轴上的位置判断其正负．
二、填空题
13．（等号两边交换位置也正确）【分析】根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式【详解】解：从左到右三个小长方形的面积分别为：mambmc 大长方形的面积为：m （a+b+c ）三个小长方形的面积和等
解析：()m a b c ma mb c ++=++（等号两边交换位置也正确）
【分析】
根据三个小长方形的面积和等于大长方形的面积可列等式．
【详解】
解：从左到右三个小长方形的面积分别为：ma 、mb 、mc ，
大长方形的面积为：m （a+b+c ），
三个小长方形的面积和等于大长方形的面积，m （a+b+c ）= ma+mb+mc ，
故答案为：()m a b c ma mb c ++=++．
【点睛】
本题考查了单项式乘以多项式的几何意义，分别表示出各个长方形的面积，找到等量关系是解题关键．
14．【分析】将变形整体代入即可求解【详解】解：∵=∴故答案为：【点睛】本题主要考察了同底数幂的乘法幂的乘方解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法幂的乘方的逆运算 解析：95
．
将2245m n +=变形()222=22222m n n n m m
+⋅=⋅，整体代入即可求解． 【详解】
解：∵()222=22222m n n n m m
+⋅=⋅=25245n ⋅= ∴9245255n =÷=
． 故答案为：
95
． 【点睛】
本题主要考察了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的逆运算． 15．6-16【分析】先估算确定ab 的值进而即可求解【详解】∵＜＜∴3＜＜4又∵a 是的整数部分b 是的小数部分∴a ＝3b ＝−3∴3-(−3)2=3-(10-6+9)=3-10+6-9=6-16故答案是：6-
解析：-16
【分析】
，确定a ，b 的值，进而即可求解．
【详解】 ∵
∴3＜4，
又∵a b 的小数部分，
∴a ＝3，b
−3，
∴
2a b -=−3)2-16．
故答案是：-16．
【点睛】
本题考查无理数的估算、完全平方公式，确定a 、b 的值是解决问题的关键．
16．【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解【详解】∵∴=9+4=13故答案为：13【点睛】此题考查完全平方公式变形计算熟记完全平方公式并正确理解所求与公式的关系是解题的关键
解析：13
【分析】
根据完全平方公式变形计算即可得解．
【详解】
∵3x y -=，2xy =，
∴22x y +=2()2x y xy -+=9+4=13，
故答案为：13．
【点睛】
此题考查完全平方公式变形计算，熟记完全平方公式并正确理解所求与公式的关系是解题的关键．
17．120【分析】令x=0可求得a=1；令x=1可求得a5a4a3a2a1a=243①；令x=-1可求得-a5a4-a3a2-a1a=-1②把①和②相加即可求出a2+a4的值【详解】解：
解析：120
【分析】
令x=0，可求得a=1；令x=1，可求得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①；令x=-1，可求得-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，把①和②相加即可求出a 2+a 4的值．
【详解】
解：当x=0时， a=1；
当x=1时， a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a=243①，
当x=-1时，-a 5+a 4-a 3+a 2-a 1+a=-1②，
①+②，得
2a 4+2a 2+2a=242，
∴a 2+a 4=120．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，正确代入特殊值是解答本题的关键．
18．20【分析】将变形为然后利用整体思想代入求解【详解】解：∵∴原式=故答案为：20【点睛】本题考查代数式求值掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关键
解析：20
【分析】
将2262a ab b ++变形为22
22(2)a ab b ab +++，然后利用整体思想代入求解．
【详解】
解：2222226222+422(+2)a ab b a ab b ab a ab b ab ++=++=++
∵228a ab +=-，2214b ab +=
∴原式=821420-+⨯=
故答案为：20．
【点睛】
本题考查代数式求值，掌握整式加减的法则正确对原式进行变形利用整体思想求解是关键． 19．1【分析】根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可【详解】解：原式故
答案为：1【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方熟练掌握法则是解题的关键
解析：1
【分析】
根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可
【详解】
解：原式()
()()()99
992999999990.0450.04250.110425⎡⎤⨯-⨯⨯⎣===⎦== 故答案为：1
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键 20．【分析】根据因式分解的提公因式法找出公因式为然后再根据平方差公式求解即可；【详解】原式=故答案为：【点睛】本题考查了因式分解的提公因式法平方差公式找出公因式是是解题的关键
解析：()()333xy y x y x +-
【分析】
根据因式分解的提公因式法，找出公因式为3xy ，然后再根据平方差公式求解即可；
【详解】
原式=()()()2239333xy y x xy y x y x -=+-，
故答案为：()()333xy y x y x +-．
【点睛】
本题考查了因式分解的提公因式法、平方差公式，找出公因式是3xy 是解题的关键．
三、解答题
21．12a -10，－11
【分析】
先按乘法公式进行化简，再代入求值即可．
【详解】
解：原式=2241(4129)---+a a a
=22414129--+-a a a
=12a -10 当112
a =-时， 原式=112()1012⨯-
- =110--
=11-．
【点睛】
本题考查了运用乘法公式进行化简整式并求值，解题关键是熟练运用乘法公式进行化简，注意符号的变化．
22．36
【分析】
依据AP ＝a ，BP ＝b ，点M 是AB 的中点，可得AM ＝BM ＝2a b +，再根据S 阴影＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △ADM ﹣S △BEM ，即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】
解：∵a ＋b ＝8，a b ＝6，
∴S 阴影部分＝S 正方形APCD ＋S 正方形BEFP ﹣S △AMD ﹣S △MBE ， ＝22112222a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ＝()2224
a b a b ++- ， =()()22+24a b a b ab +--，
＝64﹣12﹣
644
， ＝64﹣12﹣16，
＝36．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
23．248xy y -+，40
【分析】
先提公因式(2)x y -，然后计算括号内的运算，得到最简整式，然后把1x =-，2y =代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：原式()()()222x y x y x y =---+⎡⎤⎣⎦
()[]222x y x y x y =----
()42y x y =--
248xy y =-+．
当1x =-，2y =时，
原式()4212240=-⨯⨯--⨯=．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行化简． 24．（1）(5)(5)x x x +-；（2）(3)(2)a m --．
【分析】
（1）先提公因式x ，再利用平方差公式进行分解，即可得出结果；
（2）先将多项式进行变形，再利用提公因式法进行分解，即可得出结果．
【详解】
解：（1）325x x -
2(25)x x =-
(5)(5)x x x =+-；
（2）(3)2(3)m a a -+-
(3)2(3)m a a =---
(3)(2)a m =--．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．
25．10-
【分析】
先根据多项式的乘法法则计算，然后根据展开式中没有二次项，且常数项为10列方程组求解即可．
【详解】
解：∵()()
2322222242x a x bx x bx x ax abx a +--=--+-- ()()322242x b a x ab x a =---+-，
∵乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，
∴20210a b a -=⎧⎨-=⎩
， 解得：5a =-，52
b =-， ∴5252102a b ⎛⎫+=-+⨯-=- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．也考查了二元一次方程组的解法．26．（1）（a+b）2-（a-b）2＝4ab；（2）±4；（3）-3
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，将x+y＝5，x•y
9
4
代入计算即可
得出答案；
（3）将等式（2019-m）+（m-2020）＝-1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2-（a-b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2-（a-b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x•y＝9
4
，
∴52-（x-y）2＝4×9
4
，
∴（x-y）2＝16
∴x-y＝±4，
故答案为：±4；
（3）∵（2019-m）+（m-2020）＝-1，
∴[（2019-m）+（m-2020）]2＝1，
∴（2019-m）2+2（2019-m）（m-2020）+（m-2020）2＝1，
∵（2019-m）2+（m-2020）2＝7，
∴2（2019-m）（m-2020）＝1-7＝-6；
∴（2019-m）（m-2020）＝-3．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．。