数学苏教版必修2 第2章2.1.2第三课时 一般式 课件(31张)
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栏目 导引
求直线的一般式方程
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式 方程． (1)斜率是 3，且经过点 A(5,3)； (2)过点 B(－3,0)，且垂直于 x 轴； (3)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； (4)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴； (5)经过 A(－1,5)，B(2，－1)两点； (6)在 x，y 轴上的截距分别是－3，－1. (链接教材 P87 练习 T5)
的交点，联立方程组x＋y＝0 x－y－2＝0
，
解得x＝1 y＝－1
.所以直线过定点(1，－1)．
法二：原直线方程可变形为 y＋1＝kk－＋11(x－1)的形式，此为直
线方程的点斜式，该直线一定过点(1，－1)，
所以该直线必过定点，定点的坐标为(1，－1)． 法三：由 k 的任意性，取 k＝0，得 x＋y＝0，① 取 k＝1，得 x－1＝0.② 由①②得交点坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入直线方程， (k＋1)·1－(k－1)·(－1)－2k＝0 成立， 所以直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 必过定点，定点为(1，－1)．
作 PQ⊥BC 于点 Q.PR⊥CD 于点 R，设矩形 PQCR 的面积为 S， 则 S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又3m0＋2n0＝1(0≤m≤30)，∴n＝20(1－3m0)． ∴S＝(100－m)(80－20＋23m) ＝－23(m－5)2＋18 3050(0≤m≤30)．
方法归纳 直线过定点问题的求解方法 直线过定点问题是直线方程这一章常见的问题，解决方法主 要是根据参数的任意性列方程组求解，常见方法有：(1)特殊 值法(法三)；(2)点斜式法(法二)；(3)整理成f1(x，y)＋λf2(x， y)＝0，再解方程组求解(法一)．
2．证明：无论k取何值，直线3(k＋2)x＋(5k－1)y－(4k－3)
名师解题 关于直线方程应用题的解题技巧
为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪 (如图所示)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测 量 AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何 设计才能使草坪面积最大？
[解] 如图所示建立坐标系，则 E(30,0)，F(0,20)， ∴线段 EF 的方程为① 3x0＋2y0＝1(0≤x≤30)．② ∴y＝20(1－3x0)． (1)当一顶点在 BE 上时，Smax＝80×70＝5 600； (2)当一顶点在 DF 上时，Smax＝100×60＝6 000； (3)当一顶点在线段 EF 上时，在线段 EF 上取点 P(m，n)，③
方法归纳 (1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还 是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转 化为一般式． (2)四种特殊形式的直线方程的确定只需要两个量：一点一斜 率或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要 转化为直线的一般式方程．
1．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程． (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)倾斜角为150°，在y轴的截距是－2； (3)经过A(－2，－1)，B(2,2)两点．
技法导学 过定点的直线系
已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)求证：无论 k 取何值，直线 l 恒过定点； (2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围．
[解] (1)证明：直线l的方程可化为： y－1＝k(x＋2)， ∴直线l恒过定点(－2,1)． (2)∵直线恒过定点(－2,1)，且(－2,1)在第二象限， 直线l的斜率为k. 要使直线不经过第四象限， 必有k≥0.
5y－3＝0，
则有
xy＝＝3515.，
即 l 过定点 A(15，35)．以下同法一．
(2)如图所示，直线 OA 的斜率 k＝1535－ －00＝3. 要使 l 不经过第二象限，需它在 y 轴上的截 距不大于零，即令 x＝0 时，y＝－a－5 3≤0，故 a≥3.
பைடு நூலகம்
方法归纳 (1)要证直线l总经过某一象限，只需证直线l总经过该象限内 的一个定点即可． (2)要证直线l不经过某一象限，可将该直线方程转化为斜截 式后,借助于数形结合的方法确定斜率与截距的符号解决．
＝0恒过定点．
证明：直线方程可整理为
(3x＋5y－4)k＋(6x－y＋3)＝0，
①
若令3x＋5y－4＝0 6x－y＋3＝0
，方程①对 k∈R 恒成立，原直线方程当然
也恒成立．
解方程组得x＝－13 . y＝1
以(－13，1)为坐标的点显然恒在原方程表示的直线上，结论得证．
直线的一般式方程的综合应用 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． (链接教材P87练习T3)
解：(1)由题意知，直线的点斜式方程为 y－5＝4(x－2)，整理 得 4x－y－3＝0. (2)由题意可知，直线的斜率 k＝tan 150°＝－ 33，所以直线的 斜截式方程为 y＝－ 33x－2，整理得 3x＋3y＋6＝0. (3)根据题意可得，直线的两点式方程为2y＋＋11＝x2＋＋22，整理得 3x－4y＋2＝0.
第2章 平面解析几何初步
第三课时 一般式
学习导航
第2章 平面解析几何初步
1.了解二元一次方程与直线的对应关系．
学习目标
2.理解直线的一般式方程的形式及含义，直线 方程五种不同形式的相互转化．(难点)
3.掌握直线的一般式方程及其应用．(重点)
通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直
学法指导
线方程的一般式；通过直线方程五种形式间的 相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问
3．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2＋a＝0,若l经过第一象限， 求实数a的取值范围． 解：将一般式方程化为点斜式方程：y－3＝－(a＋1)(x＋1)， ∴l的斜率为－(a＋1)， 且过定点A(－1,3)． ∵直线OA斜率为k＝－3， ∴要使直线l经过第一象限， 只须使－(a＋1)＞－3，解得a＜2.
题，认识事物之间的普遍联系与相互转化.
1．直线与二元一次方程的对应 在平面直角坐标系中 (1)任意一条直线都可以用形如Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) 的方程来表示． (2)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)， 它都_____表__示__一__条__直__线______
3．直线 x＋2y＋6＝0 化为斜截式为__y_＝__－__12_x_－__3______， 化为截距式为___－_x_6_＋__－_y_3_＝__1____． 解析：由 x＋2y＋6＝0 得 2y＝－x－6，
两边除以 2 得斜截式为 y＝－12x－3.
由 x＋2y＋6＝0 得 x＋2y＝－6，
两边除以－6 得截距式为－x6＋－y3＝1.
2．直线的一般式方程 式子：关于x、y的二元一次方程____A_x_＋__B__y_＋__C_＝__0______； 条件：A，B____不__全__为__0____； 简称：一般式．
3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化
1．直线方程x＝2与y＝3改写成Ax＋By＋C＝0(A，B不全 为0)的形式分别为__x_＋__0_·_y_－__2_＝__0_与__0_·_x_＋__y－__3_＝__0____． 解析：x＝2可以写成x＋0·y－2＝0，即A＝1，B＝0，C＝ －2.y＝3可以写成0·x＋y－3＝0，即A＝0，B＝1，C＝－3. 均符合A，B不全为0的条件． 2．直线的斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程 为____2_x_－__y_＋__1_＝__0___． 解析：由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般 式方程为2x－y＋1＝0.
[解] (1)由点斜式方程得 y－3＝ 3(x－5)，整理得 3x－y＋3 －5 3＝0； (2)x＝－3，即 x＋3＝0； (3)y＝4x－2，即 4x－y－2＝0； (4)y＝3，即 y－3＝0； (5)由两点式方程得－y－1－55＝x2－－－－11，整理得 2x＋y－3＝0； (6)由截距式方程得－x3＋－y1＝1， 整理得 x＋3y＋3＝0.
直线过定点问题 求证：直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0无论k取何实 数必过定点，并求出此定点． (链接教材P88练习T14) [证明] 法一：原直线方程可整理为： (x＋y)＋k(x－y－2)＝0，
则直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 通过直线 l1：x＋y＝0 与 l2：x
－y－2＝0
4．如果 AC＜0 且 BC＜0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过第 几象限？
解：∵AC＜0 且 BC＜0，∴ABC≠0. 把 Ax＋By＋C＝0 化为－xAC＋－yBC＝1， 得直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为－CA，－BC，又 AC＜0 且 BC＜0. 知直线与两坐标轴的交点(－AC，0)，(0，－CB)都在正半轴上， 故该直线只通过一、二、四象限，不通过第三象限．
[解] (1)证明：法一：将直线 l 的方程整理为 y－35＝a(x－15)，
∴l 的斜率为 a，且过定点 A(15，35)，
而点 A(15，35)在第一象限，故不论 a 为何值，直线 l 恒过第一
象限．
法二：直线 l 的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
由于上式对任意的
a
总
成
立
，
必
有
5x－1＝0，
第2章 平面解析几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:49:10 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
[感悟提高] (1)当一条直线过定点P0(x0，y0)时，我们可设直 线方程为y－y0＝k(x－x0)．由此方程可知，k取不同的值，它 就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点P0(x0，y0)，当 k取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点P0的 许多直线，因此就把这个方程叫做定点P0的直线系． (2)由于过P0(x0，y0)与x轴垂直的直线不能用方程y－y0＝k(x －x0)表示，因此直线系y－y0＝k(x－x0)，k∈R中没有直线x ＝x0. (3)直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)表示过定点P0(x0，y0)的 直线系(不含x＝x0)，借助直线系可以简化一些运算．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
求直线的一般式方程
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式 方程． (1)斜率是 3，且经过点 A(5,3)； (2)过点 B(－3,0)，且垂直于 x 轴； (3)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； (4)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴； (5)经过 A(－1,5)，B(2，－1)两点； (6)在 x，y 轴上的截距分别是－3，－1. (链接教材 P87 练习 T5)
的交点，联立方程组x＋y＝0 x－y－2＝0
，
解得x＝1 y＝－1
.所以直线过定点(1，－1)．
法二：原直线方程可变形为 y＋1＝kk－＋11(x－1)的形式，此为直
线方程的点斜式，该直线一定过点(1，－1)，
所以该直线必过定点，定点的坐标为(1，－1)． 法三：由 k 的任意性，取 k＝0，得 x＋y＝0，① 取 k＝1，得 x－1＝0.② 由①②得交点坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入直线方程， (k＋1)·1－(k－1)·(－1)－2k＝0 成立， 所以直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 必过定点，定点为(1，－1)．
作 PQ⊥BC 于点 Q.PR⊥CD 于点 R，设矩形 PQCR 的面积为 S， 则 S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又3m0＋2n0＝1(0≤m≤30)，∴n＝20(1－3m0)． ∴S＝(100－m)(80－20＋23m) ＝－23(m－5)2＋18 3050(0≤m≤30)．
方法归纳 直线过定点问题的求解方法 直线过定点问题是直线方程这一章常见的问题，解决方法主 要是根据参数的任意性列方程组求解，常见方法有：(1)特殊 值法(法三)；(2)点斜式法(法二)；(3)整理成f1(x，y)＋λf2(x， y)＝0，再解方程组求解(法一)．
2．证明：无论k取何值，直线3(k＋2)x＋(5k－1)y－(4k－3)
名师解题 关于直线方程应用题的解题技巧
为了绿化城市，拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪 (如图所示)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测 量 AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何 设计才能使草坪面积最大？
[解] 如图所示建立坐标系，则 E(30,0)，F(0,20)， ∴线段 EF 的方程为① 3x0＋2y0＝1(0≤x≤30)．② ∴y＝20(1－3x0)． (1)当一顶点在 BE 上时，Smax＝80×70＝5 600； (2)当一顶点在 DF 上时，Smax＝100×60＝6 000； (3)当一顶点在线段 EF 上时，在线段 EF 上取点 P(m，n)，③
方法归纳 (1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还 是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转 化为一般式． (2)四种特殊形式的直线方程的确定只需要两个量：一点一斜 率或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要 转化为直线的一般式方程．
1．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程． (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)倾斜角为150°，在y轴的截距是－2； (3)经过A(－2，－1)，B(2,2)两点．
技法导学 过定点的直线系
已知直线 l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)求证：无论 k 取何值，直线 l 恒过定点； (2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围．
[解] (1)证明：直线l的方程可化为： y－1＝k(x＋2)， ∴直线l恒过定点(－2,1)． (2)∵直线恒过定点(－2,1)，且(－2,1)在第二象限， 直线l的斜率为k. 要使直线不经过第四象限， 必有k≥0.
5y－3＝0，
则有
xy＝＝3515.，
即 l 过定点 A(15，35)．以下同法一．
(2)如图所示，直线 OA 的斜率 k＝1535－ －00＝3. 要使 l 不经过第二象限，需它在 y 轴上的截 距不大于零，即令 x＝0 时，y＝－a－5 3≤0，故 a≥3.
பைடு நூலகம்
方法归纳 (1)要证直线l总经过某一象限，只需证直线l总经过该象限内 的一个定点即可． (2)要证直线l不经过某一象限，可将该直线方程转化为斜截 式后,借助于数形结合的方法确定斜率与截距的符号解决．
＝0恒过定点．
证明：直线方程可整理为
(3x＋5y－4)k＋(6x－y＋3)＝0，
①
若令3x＋5y－4＝0 6x－y＋3＝0
，方程①对 k∈R 恒成立，原直线方程当然
也恒成立．
解方程组得x＝－13 . y＝1
以(－13，1)为坐标的点显然恒在原方程表示的直线上，结论得证．
直线的一般式方程的综合应用 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． (链接教材P87练习T3)
解：(1)由题意知，直线的点斜式方程为 y－5＝4(x－2)，整理 得 4x－y－3＝0. (2)由题意可知，直线的斜率 k＝tan 150°＝－ 33，所以直线的 斜截式方程为 y＝－ 33x－2，整理得 3x＋3y＋6＝0. (3)根据题意可得，直线的两点式方程为2y＋＋11＝x2＋＋22，整理得 3x－4y＋2＝0.
第2章 平面解析几何初步
第三课时 一般式
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第2章 平面解析几何初步
1.了解二元一次方程与直线的对应关系．
学习目标
2.理解直线的一般式方程的形式及含义，直线 方程五种不同形式的相互转化．(难点)
3.掌握直线的一般式方程及其应用．(重点)
通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直
学法指导
线方程的一般式；通过直线方程五种形式间的 相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问
3．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2＋a＝0,若l经过第一象限， 求实数a的取值范围． 解：将一般式方程化为点斜式方程：y－3＝－(a＋1)(x＋1)， ∴l的斜率为－(a＋1)， 且过定点A(－1,3)． ∵直线OA斜率为k＝－3， ∴要使直线l经过第一象限， 只须使－(a＋1)＞－3，解得a＜2.
题，认识事物之间的普遍联系与相互转化.
1．直线与二元一次方程的对应 在平面直角坐标系中 (1)任意一条直线都可以用形如Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) 的方程来表示． (2)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)， 它都_____表__示__一__条__直__线______
3．直线 x＋2y＋6＝0 化为斜截式为__y_＝__－__12_x_－__3______， 化为截距式为___－_x_6_＋__－_y_3_＝__1____． 解析：由 x＋2y＋6＝0 得 2y＝－x－6，
两边除以 2 得斜截式为 y＝－12x－3.
由 x＋2y＋6＝0 得 x＋2y＝－6，
两边除以－6 得截距式为－x6＋－y3＝1.
2．直线的一般式方程 式子：关于x、y的二元一次方程____A_x_＋__B__y_＋__C_＝__0______； 条件：A，B____不__全__为__0____； 简称：一般式．
3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化
1．直线方程x＝2与y＝3改写成Ax＋By＋C＝0(A，B不全 为0)的形式分别为__x_＋__0_·_y_－__2_＝__0_与__0_·_x_＋__y－__3_＝__0____． 解析：x＝2可以写成x＋0·y－2＝0，即A＝1，B＝0，C＝ －2.y＝3可以写成0·x＋y－3＝0，即A＝0，B＝1，C＝－3. 均符合A，B不全为0的条件． 2．直线的斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程 为____2_x_－__y_＋__1_＝__0___． 解析：由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般 式方程为2x－y＋1＝0.
[解] (1)由点斜式方程得 y－3＝ 3(x－5)，整理得 3x－y＋3 －5 3＝0； (2)x＝－3，即 x＋3＝0； (3)y＝4x－2，即 4x－y－2＝0； (4)y＝3，即 y－3＝0； (5)由两点式方程得－y－1－55＝x2－－－－11，整理得 2x＋y－3＝0； (6)由截距式方程得－x3＋－y1＝1， 整理得 x＋3y＋3＝0.
直线过定点问题 求证：直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0无论k取何实 数必过定点，并求出此定点． (链接教材P88练习T14) [证明] 法一：原直线方程可整理为： (x＋y)＋k(x－y－2)＝0，
则直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 通过直线 l1：x＋y＝0 与 l2：x
－y－2＝0
4．如果 AC＜0 且 BC＜0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过第 几象限？
解：∵AC＜0 且 BC＜0，∴ABC≠0. 把 Ax＋By＋C＝0 化为－xAC＋－yBC＝1， 得直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为－CA，－BC，又 AC＜0 且 BC＜0. 知直线与两坐标轴的交点(－AC，0)，(0，－CB)都在正半轴上， 故该直线只通过一、二、四象限，不通过第三象限．
[解] (1)证明：法一：将直线 l 的方程整理为 y－35＝a(x－15)，
∴l 的斜率为 a，且过定点 A(15，35)，
而点 A(15，35)在第一象限，故不论 a 为何值，直线 l 恒过第一
象限．
法二：直线 l 的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
由于上式对任意的
a
总
成
立
，
必
有
5x－1＝0，
第2章 平面解析几何初步 •9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
•10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 10:49:10 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
[感悟提高] (1)当一条直线过定点P0(x0，y0)时，我们可设直 线方程为y－y0＝k(x－x0)．由此方程可知，k取不同的值，它 就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点P0(x0，y0)，当 k取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点P0的 许多直线，因此就把这个方程叫做定点P0的直线系． (2)由于过P0(x0，y0)与x轴垂直的直线不能用方程y－y0＝k(x －x0)表示，因此直线系y－y0＝k(x－x0)，k∈R中没有直线x ＝x0. (3)直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)表示过定点P0(x0，y0)的 直线系(不含x＝x0)，借助直线系可以简化一些运算．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •