高二数学期中试卷附答案解析

高二数学期中试卷附答案解析
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.已知R 上可导函数的图象如图所示，则不等式的
解集为 （ ） A ． B ．
C ．
D ．
2.函数的部分图象为（ ）
3.以下各点坐标与点不同的是（ ）
A
．
B ．
C ．
D ．
4.已知命题：函数的导函数是常函数，而命题是命题的必要不充分条件，则命题不可以是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5.已知为非零实数，为某一实数，有命题：，：
，
则是的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.若实数，满足，则的取值范围为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则 中最
大的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8.命题：，；命题：向量，
不
平行，则下列命题中为真命题的是（ ）． A ． B ．
C ．
D ．
9.函数在区间
上的最大值为，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（ ） A ．第4名工人操作了3台织布机； B ．第4名工人操作了台织布机； C ．第3名工人操作了4台织布机；
D ．第3名工人操作了台织布机.
11.已知定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）=且f （x+2）=f （x ），g （x ）=
，则方程f （x ）=g （x ）在区间
上的
所有实根之和为（ ）
A ．﹣8
B ．﹣7
C ．﹣6
D ．0
12.设函数y=f （x ）是偶函数，且在上是增加的，则（ ）
A ．f （−2）<f （1）
B ．f （−2）<f （−1）
C ．f （−2）＞f （2）
D ．f （|x|）=f （x ）
13.设抛物线的焦点为,准线为，为抛物线上一点，且为垂足，如果直线的斜率为，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14.一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ） A ．
m B ．2
m C ．4.5m D ．9m
15.设函数，其中
，则导数
的
取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
16.若不论k 为何值，直线
与曲线
总有公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
17.已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x 取
值范围是
A．（，） B．（，） C．（，） D．
18.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）
19.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（）A． B． C． D．
20.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题
21.已知x和y之间的一组数据,若x、y具有线性相关关系，且回归方程为＝x＋a，则a的值为___________ .
22.已知双曲线的离心率是，则＝．
23.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且
． （1）求角C 的大小； （2）若
，且△ABC 的周长为
，求△ABC 的面积．
24.已知与之间的一组数据如右图所示，当变化时，与的回归直线方程
必过定点 .
0 1 2 3
25.若直线 与直线垂直，则
________.
26.已知两条直线 ::y="m" 和:y=
(m>0),直线与函数
的图
像从左至右相交于点A,B , 直线与函数的图像从左至右相交于
C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a 和b .当m 变化时，的最小值为 .
27.图①中的三视图表示的实物为_____________；
图②为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_______块木块堆成．
28.已知
为双曲线的左、右焦点，点在上，
，则＝ ．
29.从某市参加高中数学建模竞赛的1008份试卷中随机抽取一个容量为54的样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小矩形的高的比为1：1：4：6：4：2，据此估计该市在这次竞赛中，成绩高于80分的学生总人数为 人。

30.函数在
上不单调,则的取值范围是 。

三、解答题
31.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）．
（Ⅰ）（i）若b=﹣2，且f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（ii）若b=﹣1，c=1，当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，求a的最小正整数值．
32.（本小题满分12分）已知命题，命题，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围。

33.工厂有一段旧墙长m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为m2的厂房，工程条件是：（1）建1m新墙费用为a 元；（2）修1 m旧墙费用是元；（3）拆去1 m旧墙，用所得材料建
1m新墙费用为元，经过讨论有两种方案：
①利用旧墙的一段（x<14）为矩形厂房一面的边长；
②矩形厂房利用旧墙的一面，矩形边长x≥14。

问：如何利用旧墙，即x为多少m时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？
34.（本小题10分）在长方体中，底面为正方形，
分别为棱的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面
35.如图所示的平面图形中，ABCD是边长为2的正方形，△HDA和
△GDC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，点E是线段GC的中点．现将△HDA和△GDC分别沿着DA，DC翻折，直到点H和G重合为点P．连接PB，得如图的四棱锥．
（Ⅰ）求证：PA//平面EBD；
（Ⅱ）求二面角大小．
参考答案
1 .D
【解析】略
2 .A
【解析】
试题分析：因,故当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减; 当
时,,函数单调递增.故应选A.
考点：导数与函数单调性的关系．
3 .A
【解析】
试题分析：因为，所以选A．
考点：极坐标表示
4 .B
【解析】试题分析：由题意可得，根据命题：函数的导函数是常函数，可得命题应满足导函数是常数，若，则不是常函数，故选B
考点：求导运算、必要条件。

点评：本题关键要根据命题是命题的必要不充分条件得命题应满足
导函数是常数。

5 .Ｂ
【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法。

解：因为，反之，=或=－，所以是的
必要而不充分条件，故选B。

6 .B
【解析】令，则，
联立，
消失得，由题意该方程有解，
∴，解得，
故选：．
点睛：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的
平方的最值问题．
7 .B
【解析】
试题分析：根据题意，由于等差数列的前n项和为，若
，故可知，d<0，因此可知最大值的是，选B.
考点：等差数列.
8 .B
【解析】∵所以是真命题，又是假命题，所以是真命题．故选．
点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.
9 .B
【解析】
试题分析：因为，所以在区间上递增，可得的最大值为，解得，故选B.
考点：1、函数的单调性；2、对数函数的性质.
10 .A
【解析】略11 .B
【解析】
试题分析：由题意知，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），
g（x）在区间[-5，1]上的图象如下图所示：
由图形可知函数f（x），g（x）在区间[-5，1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为-3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为-4-t，所以方程f（x）=g（x）在区间[-5，1]上的所有实数根之和为-3+（-4-t）+t=-7
考点：分段函数的应用；数形结合法
12 .D
【解析】
试题分析：由函数是偶函数可得，所以成立
考点：函数奇偶性单调性
13 .B
【解析】
试题分析：∵抛物线方程为，∴焦点，准线方程为，∵直线的斜率为，直线的方程为，当时，，由可得点坐标为为垂足，∴点纵坐标为4，代入抛
物线方程，得点坐标为，
考点：抛物线的定义
14 .B
【解析】解：该抛物线可以看作是开口向下的抛物线，则过点（2，-2），则
则水面宽就是
15 .C
【解析】
试题分析：因,则,
由于,故,所以，故应选C.
考点：导数及三角函数的图象和性质．【易错点晴】本题以函数的导数为背景,考查的是三角函数中形如
的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的入手,对函数中的求导,得到导函数
,再将代入获得关于为变量的三角函数
,再借助余定义域求出其值域.
16 .B
【解析】
试题分析：把y=k（x-2）+b代入x2-y2=1得x2-[k（x-2）+b]2=1，
△=4k2（b-2k）2+4（1-k2）[（b-2k）2+1]
=4（1-k2）+4（b-2k）2
=4[3k2-4bk+b2+1]=4[3（k2-k+）-+1]
不论k取何值，△≥0，则1-b2≥0
∴≤1，∴b2≤3，则-≤b≤，故选B。

考点：本题主要考查直线与椭圆的位置关系。

点评：常见题型，联立方程组，整理得一元二次方程，运用根的判别式求参数的范围，是常规解法.
17 .A
【解析】略
18 .B
【解析】
试题分析：方程即，表示抛物线，方程表示椭圆或双曲线．
当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．
当m和n异号时，抛物线开口向右，方程表示双曲线，
考点：曲线方程
19 .A
【解析】
解析：由三视图所提供的图形和数据可知：该几何体是一个底面是两直角边分别为直角三角形，高为的三棱锥，则其外接球的直径为
，其表面积，应选答案A。

20 .D
【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，需满足，解之可得。

21 .
【解析】由题意有：，
回归方程过样本中心点，则： .
22 .或
【解析】
试题分析：，当焦点在x轴时方程为
，当焦点在y轴时方程为
考点：双曲线方程及性质
23 .（1）．（2）S=．
【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理可得sinC，即可得出；
（2）利用余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式即可得出．
解：（1）因为，所以，
由正弦定理，，
又因为△ABC为锐角三角形，所以．
（2）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，
△ABC的周长，c=．
所以a+b=5，ab=6，
∴△ABC的面积S=．
考点：余弦定理；正弦定理．
24 .
【解析】
试题分析：中心点为，所以回归直线方程必过
考点：回归方程
25 .
【解析】试题分析：因为，所以，即有
考点：两条直线的位置关系判定.
26 .
【解析】
试题分析：依题意,
同理，,
线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，
∴
设,则,所以当时，
所以的最小值.
考点：两条直线的位置关系，交点问题，对数函数的图像，指数函数的图像以及性质，函数最值等问题．
点评：解本小题的关键是得到,然后关键是的最小值再根据指数函数的单调性即可解决.
27 .圆锥；4
【解析】略
28 .4
【解析】
试题分析：由双曲线的方程得，由余弦定理得
，因此，
，
考点：1、双曲线的定义；2、余弦定理的应用．
【一题多解】本题主要考查双曲线的定义、几何性质、余项定理，考查
转化的数学思想，考查学生的综合运用能力，属于中档题，由焦点三角
形面积公式得
，．
29 .336
【解析】
试题分析：从左到右各小组的小矩形的高的比为1：1：4：6：4：2
故[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]各组的频率为则成绩高于80分的学生频率约为故成绩高于80分的学生总人数为约
考点：1．用样本的频率分布估计总体分布；2．频率分布直方图
30 .
【解析】略
31 .（Ⅰ）（i）[1，+∞）；（ii）（0，1]；（Ⅱ）5
【解析】
试题分析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，则f（x）=ax2﹣2x+c（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．若f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数,则≤1,解得a≥1,即实数a的取值范围为[1，+∞）;（ii）若b=﹣1，c=1，则f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=
为对称轴的抛物线,若当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，则
或解得0＜a＜，或≤a≤1,所以实数a的取值范围为（0，1]；（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，则
解得a＞4，故a的最小正整数值为5.
试题解析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，
则f（x）=ax2﹣2x+c（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．
若f（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，则≤1，解得a≥1，
即实数a的取值范围为[1，+∞）
（ii）若b=﹣1，c=1，
则f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）的图象是开口朝上且以直线x=为对称轴的抛物线．
若当x∈[0，1]时，|f（x）|的最大值为1，
则或，
解得0＜a＜，或≤a≤1
综上所述：0＜a≤1
即实数a的取值范围为（0，1]
（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有两个小于1的不等正根，则
由b2＞4ac＞4a（1﹣a﹣b）得：
b2+4ab+4a2=（b+2a）2＞4a，
即b+2a＞2，
即b＞2﹣2a，…①
由b2＞4ac≥4a得：
b＜﹣2…②
由①②得：
2﹣2a＜﹣2，
解得a＞4，
故a的最小正整数值为5．
考点：1.二次函数的图象与性质;2.不等式的性质
32 .
【解析】解：由P得，由Q得，P真Q假则有
和同时成立，所以
33 .采用第一种方案，利用旧墙的12m为矩形的一面边长时，建墙费用最省.
【解析】
试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，
理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数
关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常
常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边
的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.
试题解析：解：（1）利用旧墙的一段，则修墙费用为元，
将剩余旧墙拆得材料建新
墙费用为（14－）·元，其余建新墙的费用为元．
总费用．
，当且仅当，即时，
（2）利用旧墙的一面，矩形边长x，则修旧墙费用为元，建新墙费用为元．
总费用
由在上为增函数，得在[14，＋∞）上为增函数．∴当时，
综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12m为矩形的一面边长时，建墙费用最省.
考点：利用基本不等式解决实际问题.
34 .（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等．（Ⅱ）面面垂直的证明常常用其判定定理即转化为证明线面垂直.
试题解析：（1）证明：
3分
4分
5分
（2）证明：
7分
8分
9分
10分
（其它正确答案请酌情给分）
考点：立体几何综合应用
35 .（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）60o.
【解析】试题分析：（1）连接AC交BD于点O，连接EO，由EO为△CPA的中位线，能证明PA//平面EDB （2）分别求出平面PBD和PBC 的法向量，利用向量法能求出二面角的大小
试题解析：
（Ⅰ）证明：连接AC交BD于点O，
连接EO，因为四边形ABCD
是正方形，所以O为AC的中点，
又因为E为PC中点，所以EO为△CPA的中位线，
所以EO//PA
因为EO平面EDB，PA平面EDB
所以PA//平面EDB
（Ⅱ）由题意有，
故DA，DC，DP两两垂直
如图，以D为原点建立空间直角坐标系
有
由题知
又因为AC平面ABCD，所以，
又，，所以
所以平面PBD的法向量是
设平面PBC的法向量，
由于，
则有
则
由图可知求二面角的平面角为锐角，
所以二面角的大小为60o
点睛：要证线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，二对于二面角我们则通常根据建立坐标系求出面的法向量然后根据向量夹角公式求解即可。