无穷小量与无穷大量

第二章极限与连续（二）
一、教学内容
无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质；极限四则运算法则
二、教学目的
掌握极限四则运算法则理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；
三、教学重点
无穷小量、无穷大量的概念及相互关系极限的运算。

四、教学难点
无穷小量、无穷大量的概念及相互关系
§2 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
无穷小量的定义：
如果在x的某种趋向下，函数f(x)以零为极限，则称在x的这种趋向下，函数f(x)是无穷小量。

注意：讲一个函数是无穷小量，必须指出其自变量变化趋向，例如讲f(x)=1/x是无穷小量是没有意义的，必须讲当x->∞时，是无穷小量。

无穷小量不一定是零，是趋向于零的一种函数。

但零作为函数来讲一定是无穷小量。

定理一若在x某种趋向下，函数f(x)->A,则在x的这种趋向下，f(x)-A是无穷小量，其逆也真。

在x的某种趋向下，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;
二、无穷大量 无穷大量的定义：
如果在x 的某种趋向下，函数f(x)的绝对值可以任意地大，则称函数f(x)是在x 的这种趋向下的无穷大量，记作lim f(x)=∞ 注意：无穷大量不是一个很大的数。

定理 在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则
)
(1x f 为无穷小 定理 如果)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大。

例 ∞=-→1
1
lim
1
x x 三、无穷小量的运算
定理 设()x α和()x β是无穷小量 于是：
（1）两个无穷小量的和差是无穷小量：lim ()0lim ()0x x αβ==lim(()())0x x αβ⇒±= （2）对于任意常数C ，数列()c x α⋅也是无穷小量：lim ()0lim(())0x c x αα=⇒⋅= （3）无穷小与有界函数的积为无穷小。

§3 函数极限的运算法则
lim ()f x A =,lim ()g x B =,则有
⑴ lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=± ⑵ lim[()]lim ()c f x c f x cA ⋅==
⑶ lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x AB ⋅=⋅=
⑷ lim ()()lim
,(0)()lim ()f x f x A
B g x g x B
==≠ 例 求下列极限 ⑴ 31lim
3+→x x ⑵ 93
lim 23--→x x x ⑶ x
x x 11lim 0--→
解：⑴6
13313lim lim 1lim 31lim
3
3
3
3=+=+=+→→→→x x x x x x ⑵()()6
1
31lim 333lim 93lim
3323=+=+--=--→→→x x x x x x x x x
⑶21
1
11lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim 0000
-=+--=+--=+-+---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x
例 求当∞→x 时，下列函数的极限
⑴ 11
2323+-+-=x x x x y ⑵ 1
1232+-+-=x x x x y
解：⑴3
233231111
12lim
112lim x
x x x x x x x x x +-+-
=+-+-∞→∞→3231lim 1lim 1lim 1lim 1lim 2lim x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-= 20
01002=+-+-= ⑵323
2321
111
12lim
112lim x
x x x x x x x x x x +-+-=+-+-∞→∞→3
2321lim 1lim 1lim 1lim 1lim 1lim 2x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-= 00
01000=+-+-=
[小结]求极限的一般方法
⑴直接代入法：以0x x =代入)(x f ，如)(0x f 有意义，则极限为)(0x f
⑵约分法：如)(x f 为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子代入有意义，则以
0x x =代入约分后的式子即可求得函数的极限。

⑶有理化法：如)(x f 为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如约分后可以以0x x =代入，则代入可求得函数的极限。

⑷∞→x 时：)(x f 为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以x 的最高次幂，再逐项求极限。