考研数学(数学三)模拟试卷379(题后含答案及解析)

考研数学（数学三）模拟试卷379(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：对于选项D中的表达式选项A错在h趋近于正无穷，导致趋近于0+，所以该极限存在只能保证右导数存在。

选项B和C都错在分子上的两项都是变动的，可导性定义的推广中分子上必须是“一定一动”。

由于式中的h趋近于0但不会等于0，所以该极限值本质上和f(x)在x=a处的函数值是无关的，该极限存在甚至不能保证f(x)在x=a处连续。

例如令f(x)=故选D。

2．当x→0时f(x)是g(x)的( )
A．高阶无穷小。

B．低阶无穷小。

C．等价无穷小。

D．同阶而非等价无穷小。

正确答案：D
解析：故选D。

3．设f(x，y)=g(x，y)｜x一y｜，g(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，则g(0，0)=0是fx’(0，0),fy’(0，0)存在的( )
A．充分非必要条件。

B．必要非充分条件。

C．充要条件。

D．既非充分又非必要条件。

正确答案：C
解析：由偏导数定义
4．设α，β，γ均为大于1的常数，则级数( )
A．当α＞γ时收敛。

B．当α＜γ时收敛。

C．当γ＞β时收敛。

D．当γ＜β时收敛。

正确答案：B
解析：
5．已知三阶矩阵A的特征值为0，±1，则下列结论中不正确的是( ) A．矩阵A是不可逆的。

B．矩阵A的主对角元素之和为0。

C．1和一1所对应的特征向量正交。

D．Ax=0的基础解系由一个向量构成。

正确答案：C
解析：根据｜A｜=λ1λ2λ3=0，a11+a22+a33=λ1+λ2+λ3=0，可知选项A和选项B正确；而λ1=0是单根，因此(0E一A)x=一Ax=0只有一个线性无关的解向量，即Ax=0的基础解系只由一个线性无关解向量构成，选项D也正确。

故选C。

6．设α1,α2,α3,α4,α5都是四维列向量，A=(α1,α2,α3,α4)，非齐次线性方程组Ax=α5有通解kξ+η=k(1，一1，2，0)T+(2，1，0，1)T，则下列关系式中不正确的是( )
A．2α1+α3+α4一α5=0。

B．α5一α4一2α3—3α1=0。

C．α1一α2+2α3一α5=0。

D．α5一α4+4α3一3α2=0。

正确答案：C
解析：根据非齐次线性方程组有通解kξ+η可知=(k+2)α2+(1一k)α2+2k α3+α4。

即α5一(k+2)α1一(1一k)α2一2kα3一α4=0，其中k是任意常数，即α1,α2,α3,α4,α5线性相关，上式线性组合中必须含有α4和α5，而选项C 没有α4。

当k=0时选项A成立；k=1时选项B成立；k=一2时选项D成立。

故选C。

7．设A，B，C是三个随机事件，P(ABC)=0，且0＜P(c)＜1，则一定有( ) A．P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。

B．P[(A+B)｜C]=P(A｜C)+P(B｜C)。

C．P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)。

D．。

正确答案：B
解析：选项A，由于P(a)或P(b)是否为零未知，因此选项A中的等式不一定成立。

选项B，P[(A+B)C]=P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一P(ABC)=P(AC)+P(BC)，故可见选项B正确。

选项C，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)，由于不能确定P(AC)，P(AB)，P(BC)的概率是否全为零，因此选项C不一定成立。

选项D，而P(ABC)=P(AB)一P(ABC)，其值是否为零不能
判断，因此选项D中的等式也不一定成立。

故选B。

8．设X1，X2，…，Xn独立同分布，且置(i=l，2，…，n)服从参数为λ的指数分布，则下列各式成立的是( )(其中φ(x)表示标准正态分布的分布函数) A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：根据列维一林德伯格中心极限定理有：故选A。

填空题
9．=_________。

正确答案：0
解析：
10．函数y=f(x)由方程e2x+y—cosxy=e一1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为________。

正确答案：x一2y+2=0
解析：方程e2x+y一cosxy=e一1两边同时对x求导，得
11．函数u=f(x+y，xy)，则=________。

正确答案：f11’’+(x+y)gf12’’+xyf22’’+f2’
解析：由多元函数求导法则
12．过点且满足关系式的曲线方程为__________。

正确答案：
解析：
13．设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=则｜B｜=_________。

正确答案：
解析：由A2B一A一B=E可知(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E，两边同时取行列式得｜(A+E)(A—E)B｜=｜A+E｜，即｜(A+E)｜｜(A—E)｜｜B｜=｜A+E｜，显然｜A+E｜≠0，因此有｜A一E｜｜B｜=1，因为
14．相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布，则D(｜X1一
X2｜)=_________。

正确答案：
解析：随机变量X1和X2均服从正态分布记Z=X1一X2，则Z～N(0，1)，因此有概率密度
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．假设
正确答案：第一步，证明数列{an}单调有界，从而保证数列的极限存在：由题设可知，故数列{an}有上界。

又可知数列{an}单调递增。

由单调有界收敛定理可知数列{an}是收敛的。

第二步，在递推公式两端同时取极限：假设两边同时取极限可得
16．设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且，又f(2)=，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)+f’’(ξ)=0。

正确答案：
17．求z=x2+12xy+2y2在区域4x2+y2≤25上的最值。

正确答案：当4x2+y2＜25时，函数z对x和y分别求偏导并令其为零，有得驻点为(x，y)=(0，0)。

当4x2+y2=25时，令F=x2+12xy+2y2+λ(4x2+y2一25)，由拉格朗日乘数法可得
18．求级数的收敛域与和函数。

正确答案：令x2+x+1=t，则级数可化为所以级数
19．湖泊含水量为V，每年流入湖中的清水体积为，流入湖中含污染物A 的污水体积为，混合均匀后的湖水以每年的速度排出湖，目前湖中污染物A的含量为5m0，为治理湖泊污染，规定从现在开始流入湖中的污水浓度为，问经过多少年湖中污染物A的含量下降为m0?
正确答案：设从现在开始第t年污染物A的含量为m(t)，取时间微元为[t，t+dt]，在该时间
20．设矩阵有解但不唯一。

(I)求a的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P一1AP 为对角矩阵；(Ⅲ)求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵。

正确答案：(I)因为方程组有解但不唯一，所以解得a=一2或a=1。

21．设实二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12一y22—y32，
又设α=(1，1，1)T满足A*α=α，求A。

正确答案：由于f=xTAx经过正交变换化为标准形f=2y12一y22一y32，可知A的特征值为2，—1，一1。

又由于A*α=α，等式两边同时左乘A可得｜A｜α=Aα，其中｜A｜=2，可知α即为矩阵A属于特征值2的特征向量。

由于A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知属于特征值一1的特征向量满足x1+x2+x3=0，解得基础解系为β1=(1，一1，0)T，β2=(1，0，一1)T。

可知β1，β2即为属于特征值一1的两个线性无关的特征向量。

22．设随机变量X和Y相互独立，X服从正态分布N(μ，σ2)，Y在区间[一π，π]上服从均匀分布，求随机变量Z=X+Y的概率分布。

(计算结果用标准正态分布φ表示，其中
正确答案：X和Y的概率密度分别为
23．设总体X的密度函数为其中θ＞一1是未知参数，X1，X2， (X)
是来自总体X的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。

正确答案：由已知条件。