兰州大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷

2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试
兰州大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷
2020-2021学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ
考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一
、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．0sin 5lim 2x x
x →= 。

2．曲线2x x
e e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。

3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy =。

4
．不定积分⎰=。

5．反常积分60x e dx +∞
-⎰= 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.函数的图形如图示，则（
）
.
A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点
B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点
C.是该函数的一个极大值点
D.不是该函数的一个极值点
2.若函数有一个原函数，则不定积分
（）.
A.
B.
C.
D.
3.若定积分（）.
A.
B.
C.
D.
4.定积分
A.
B.
C.
D.
5.曲线的凸区间是（）．
2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试
A.
B.
C.
D.
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.广义积分=⎰+∞dx x 1
31 . 21
2.x )x (f =的积分曲线中过)21,1(-的曲线的方程 ______.2x y=12
-
3.设S 为曲线x x y ln =与e x x ==,1及x 轴所围成的面积，则
=s .)1(4
12+e
4..⎰='dx x f )2( . c x f +)2(2
1
5.曲线)1ln(x e y -=的渐近线为 . e
x x y 1,0,1===
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.设函数，则
A.
B.
C.
D.
2.设曲线如图示，则函数在区间内( )．
A.有一个极大值点和一个极小值点
B.没有极大值点，也没有极小值点
C.有两个极小值点
D.有两个极大值点
3.极限（）．
A.
B.
C.
D.
4.函数的图形如图示，则（）.
2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试
A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点
B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点
C.是该函数的一个极大值点
D.不是该函数的一个极值点
5.若定积分（ ）.
A. B. C. D.
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1. 计算极限.
2. dx
t A dy t A t f y e x t f t f t f )()()(cos 0)()(2)
(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设.
3. 设在[a ，b ]上连续，且，试求出。

4．求极限 011lim 1x x x
e x →+⎛⎫
- ⎪-⎝⎭.
1
0(1)lim x x x e
x →+-)(x f ]
,[)()()(b a x dt t f t x x F x
a ∈-=
⎰)(x F ''.
5．求
6．计算定积分1ln e
x xdx ⎰。

7．设
dt t
t x f x ⎰=21sin )(，计算dx x xf ⎰10)(
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．设函数f (x )在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且
，证明：方程在(0, 1)内至少有一个
实根。

2．设函数f (x )在内有定义，在点的某邻域内有一阶连续
导数，且，证明：条件收敛。

3．若)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(==f f ，1)2
1(=f ，证明： 在(0,1)内至少有一点ξ，使1)(='ξf 。

求证：).2,0(,2sin π
π∈>x x x .
3cos .sin x x dx x ⎰(0)0,(1)4f f π
==1)()1(2='+x f x (,)-∞+∞0x =0()lim 0x f x a x →=>11(1)()n n f n ∞
=-∑
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证明不等式：当0>x 时，2)1ln(2
x x x ->+。