2021-2022学年福建省厦门市第十一中学中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
2．商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是（）A．160元B．180元C．200元D．220元
3．“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿用科学记数法可表示为（）
A．0.8×1011B．8×1010C．80×109D．800×108
4．如图，有5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）A．3B．3C．3D．3
6．用6个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．“一般的，如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P 21”参考上述教材中的话，判断方程x 2﹣2x =1
x
﹣2实数根的情况是 （ ）
A ．有三个实数根
B ．有两个实数根
C ．有一个实数根
D ．无实数根
8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）
A ．13＝3+10
B ．25＝9+16
C ．36＝15+21
D ．49＝18+31
9．如图，ABC ∆为等边三角形，要在ABC ∆外部取一点D ，使得ABC ∆和DBC ∆全等，下面是两名同学做法：（ ） 甲：①作A ∠的角平分线l ；②以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交l 于点D ，点D 即为所求； 乙：①过点B 作平行于AC 的直线l ；②过点C 作平行于AB 的直线m ，交l 于点D ，点D 即为所求．
A ．两人都正确
B ．两人都错误
C ．甲正确，乙错误
D ．甲错误，乙正确
10．不等式﹣1
2
x+1＞3的解集是（ ） A ．x ＜﹣4
B ．x ＞﹣4
C ．x ＞4
D ．x ＜4
11．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ). A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
12．如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于
1
2
AB 为半径作弧，连接弧的交点得到直线l ，在直线l 上取一点
C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．
14．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是．
15．若关于x的方程
2
2
22
x m m
x x
+
+=
--
的解是正数，则m的取值范围是____________________
16．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为_____．
17．若221 6
a b
-=，
1
3
a b
-=，则+
a b的值为________ .
18．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．
20．（6分）解不等式组：
12
231 x
x x
-
⎧
⎨
+≥-
⎩
＜
．
21．（6分）某企业为杭州计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y 1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
价格y1（元/件）560 580 600 620 640 660 680 700 720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数），10至12月的销售量p2（万件）p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．
22．（8分）某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：
LED灯泡
普通白炽灯
泡
进价（元）45 25
标价（元）60 30
（1）该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？
（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？
23．（8分）已知平行四边形．
尺规作图：作的平分线交直线于点，交延长线于点
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；在（1）的条件下，求证：．
24．（10分）计算22
2
14244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷
⎪--+⎝⎭
25．（10分）如图，已知点E ，F 分别是▱ABCD 的对角线BD 所在直线上的两点，BF=DE ，连接AE ，CF ，求证：CF=AE ，CF ∥AE ．
26．（12分）如图，点D 为△ABC 边上一点，请用尺规过点D ，作△ADE ，使点E 在AC 上，且△ADE 与△ABC 相似.（保留作图痕迹，不写作法，只作出符合条件的一个即可）
27．（12分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？房客多少人？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解析】
根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．
【详解】
∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．
2、C
【解析】
利用打折是在标价的基础之上，利润是在进价的基础上，进而得出等式求出即可．
【详解】
解：设原价为x元，根据题意可得：
80%x=140+20，
解得：x=1．
所以该商品的原价为1元；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决问题的关键．
3、B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：将800亿用科学记数法表示为：8×1．
故选：B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 4、C 【解析】
试题解析：左视图如图所示：
故选C. 5、A 【解析】
设AC =a ，由特殊角的三角函数值分别表示出BC 、AB 的长度，进而得出BD 、CD 的长度，由公式求出tan ∠DAC 的值即可. 【详解】 设AC =a ，则BC =30AC tan ︒3，AB =30AC
sin ︒
=2a ，
∴BD =BA =2a ， ∴CD =（3a ， ∴tan ∠DAC 3. 故选A. 【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值. 6、D 【解析】
分析：根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案．
详解： ∵主视图和俯视图的长要相等， ∴只有D 选项中的长和俯视图不相等，故选D ．
点睛：本题主要考查的就是三视图的画法，属于基础题型．三视图的画法为：主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等． 7、C 【解析】
试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.
因为函数与函数的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意.
8、C
【解析】
本题考查探究、归纳的数学思想方法．题中明确指出：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”
之和．由于“正方形数”为两个“三角形数”之和，正方形数可以用代数式表示为：（n+1）2，两个三角形数分别表示为1 2 n
（n+1）和1
2
（n+1）（n+2），所以由正方形数可以推得n的值，然后求得三角形数的值．
【详解】
∵A中13不是“正方形数”；选项B、D中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和．
故选：C．
【点睛】
此题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
9、A
【解析】
根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．
【详解】
甲的作法如图一：
∵ABC 为等边三角形，AD 是BAC ∠的角平分线 ∴90BEA ∠=︒
180BEA BED ∠+∠=︒
90BED ∴∠=︒
90BEA BED ∴∠=∠=︒
由甲的作法可知，AB BD =
ABC DBC ∴∠=∠
在ABC 和DCB 中，AB BD ABC DBC BC BC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()ABC DCB SAS ∴≅
故甲的作法正确； 乙的作法如图二：
//,//BD AC CD AB
,ACB CBD ABC BCD ∴∠=∠∠=∠
在ABC 和DCB 中，ABC BCD BC BC
ACB CBD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
()
ABC DCB ASA
∴≅
故乙的作法正确；
故选：A．
【点睛】
本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10、A
【解析】
根据一元一次不等式的解法，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
【详解】
移项得：−1
2
x＞3−1，
合并同类项得：−1
2
x＞2，
系数化为1得：x＜-4.
故选A.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式的解法.
11、B
【解析】
利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【详解】
解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
12、B
【解析】
解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故选B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、2π
【解析】 试题解析：2222121111ππππ228228AC BC S AC S BC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 所以()
22212111πππ162π888S S AC BC AB +=+==⨯=． 故答案为2π．
14、．
【解析】
试题分析：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9，所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率==．故答案为．
考点：列表法与树状图法．
15、m<4且m≠2
【解析】
解方程2222x m m x x
++=--得x=4-m ，由已知可得x>0且x-2≠0，则有4-m >0且4-m-2≠0，解得：m<4且m≠2. 1632π
【解析】 由于六边形ABCDEF 是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，OG=OA•sin60°，再根据S 阴影=S △OAB -S 扇形OMN ，进而可得出结论．
【详解】
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G 为AB 与⊙O 的切点，连接OG ，则OG ⊥AB ，
∴sin602OG OA =⋅︒==
∴S
阴影=S △OAB -S 扇形OMN =260π1π 22
3602．⨯⨯⨯=
2π
【点睛】 考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.
17、-12
． 【解析】
分析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a ﹣b 的值代入即可求出a +b 的值．
详解：∵a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ）=
16，a ﹣b =13，∴a +b =12． 故答案为12
． 点睛：本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．
18、2
【解析】
解：如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时，
过点M 作MF ⊥DC 于点F ，
∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=12
MD=1，
∴FM=DM×cos30°
∴MC =
∴A′C=MC ﹣MA′=2．
故答案为2．
【点评】
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、4小时.
【解析】
本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A 地道B 的速度＝客车由普通公路的速度+45，列出方程，解出检验并作答．
【详解】
解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x 小时，则走普通公路需2x 小时，
根据题意得：
60048045,2x x
+= 解得x ＝4
经检验，x ＝4原方程的根，
答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据速度＝路程÷时间列出相关的等式，解答即可．
20、﹣4≤x ＜1
【解析】
先求出各不等式的
【详解】 12231x x x -⎧⎨+≥-⎩
＜ 解不等式x ﹣1＜2，得：x ＜1，
解不等式2x+1≥x ﹣1，得：x≥﹣4，
则不等式组的解集为﹣4≤x ＜1．
【点睛】
考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大
大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21、（1）y1=20x+540，y2=10x+1；（2）去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．【解析】
（1）利用待定系数法，结合图象上点的坐标求出一次函数解析式即可；
（2）根据生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，以及售价销量进而求出最大利润．【详解】
（1）利用表格得出函数关系是一次函数关系：
设y1=kx+b，
∴
560 2580, k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得：
20
540, k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
∴y1=20x+540，
利用图象得出函数关系是一次函数关系：设y2=ax+c，
∴
10730 12750,
a c
a c
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得：
10
630, a
c
=
⎧
⎨
=
⎩
∴y2=10x+1．
（2）去年1至9月时，销售该配件的利润w=p1（1000﹣50﹣30﹣y1），
=（0.1x+1.1）（1000﹣50﹣30﹣20x﹣540）=﹣2x2+16x+418，
=﹣2（x﹣4）2+450，（1≤x≤9，且x取整数）
∵﹣2＜0，1≤x≤9，∴当x=4时，w最大=450（万元）；
去年10至12月时，销售该配件的利润w=p2（1000﹣50﹣30﹣y2）
=（﹣0.1x+2.9）（1000﹣50﹣30﹣10x﹣1），
=（x﹣29）2，（10≤x≤12，且x取整数），
∵10≤x≤12时，∴当x=10时，w最大=361（万元），
∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出函数关系式以及利用函数增减性得出函数最值是解题关键．
22、（1）LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个；（2）1 350元.
【解析】
1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡（120-a）个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润的意义得到W=（60-45）a+（30-25）（120-a）=10a+1，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%可确定a 的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
【详解】
（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个．根据题意，得
300
(6045)(0.93025)3200 x y
x y
+=
⎧
⎨
-+⨯-=
⎩
解得
200
100 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个．
（2）设该商场再次购进LED灯泡a个，这批灯泡的总利润为W元．则购进普通白炽灯泡（120﹣a）个．根据题意得
W=（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）=10a+1．
∵10a+1≤[45a+25（120﹣a）]×30%，解得a≤75，
∵k=10＞0，∴W随a的增大而增大，
∴a=75时，W最大，最大值为1350，此时购进普通白炽灯泡（120﹣75）=45个．
答：该商场再次购进LED灯泡75个，购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1 350元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用,根据实际问题找到等量关系列方程组和建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题是解题的关键.
23、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；
（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠1．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠1，据此可得出结论．
试题解析：（1）如图所示，AF即为所求；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴∠1=∠2，∠3=∠1．
∵AF 平分∠BAD ，∴∠1=∠3，∴∠2=∠1，∴CE=CF ．
考点：作图—基本作图；平行四边形的性质.
24、2
1(2)x - 【解析】
先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．
【详解】
原式=()()221[]?24
2x x x x x x x +-----， =()()()()
2221•42x x x x x x x x +-----， =()
24•42x x x x x ---， =()212x -.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
25、证明见解析
【解析】
根据平行四边形性质推出AB ＝CD ，AB ∥CD ，得出∠EBA ＝∠FDC ，根据SAS 证两三角形全等即可解决问题.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，
∴∠EBA=∠FDC ，
∵DE=BF ，
∴BE=DF ，
∵在△ABE 和△CDF 中
{AB CD
EBA FDC BE DF
=∠=∠=，
∴△ABE ≌△CDF （SAS ），
∴AE=CF ，∠E=∠F ，
∴AE ∥CF ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
26、见解析
【解析】
以DA 为边、点D 为顶点在△ABC 内部作一个角等于∠B ，角的另一边与AC 的交点即为所求作的点．
【详解】
解：如图，点E 即为所求作的点．
【点睛】
本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D 作DE ∥BC 并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．
27、客房8间,房客63人
【解析】
设该店有x 间客房，以人数相等为等量关系列出方程即可.
【详解】
设该店有x 间客房,则
7799x x +=-
解得8x =
x+=⨯+=
7778763
答:该店有客房8间,房客63人.
【点睛】
本题考查的是利用一元一次方程解决应用题，根据题意找到等量关系式是解题的关键．。