1.5.1曲边梯形的面积课件人教新课标

y
直线x＝0，x＝1，y＝0 和曲线y＝x2所围成的曲
边梯形.多边形的每条边 都是直线段，上图中有 O
一边是曲线段.
y＝x2 1x
假想用极限逼近思想求上面图形的面积，
在该曲边梯形内作若干个小矩形.
具体操作：
y y＝x2
O
1x
将区间[0，1]分成n等分，按如图所示作 n－1个矩形.
上述n－1个矩形，求出从左到右各矩形 的高分别为多少，宽为多少.如下：
2.求曲边梯形的面积的基本思路是： 把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用 小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩 形的面积之和→求各小矩形面积之和的 极限.
3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定 的局限性，如果用一般方法不能求出各 小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形 的面积.
第一章 导数及其应用
1.5.1 曲边梯形的面积
1.任何一个平面图形都有面积，其中矩 形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形等平面多边形的面积，可以利用相关 公式进行计算.
2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线，则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.
3.如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 所围成的，称之为曲边梯形，如何计算 这个曲边梯形的面积呢？？
y y＝f(x)
Oa
bx
三角形面积的算法
设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h， 将CD分成n等分，过每个分点按如图所示 作n－1个矩形，则从下到上各矩形的长 分别为多少？宽为多少？
第i个矩形的长为 ai 每个矩形的宽为 h
n
n .
ia
，
C
nA
DB
这n－1个矩形的面积之和Sn－1等于多少？
n nn
nn
nn
内任意一点对应的函数值为高作矩形，
那么这些小矩形的面积之和的极限等于
曲边梯形的面积吗？
y
y＝x2
相等
O
1x
理论迁移
例 求直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y ＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积.
y
S
lim
n
Sn
9
3
O
3x
小结
1.用极限逼近理求曲边梯形的面积， 是一种“以直代曲”的思想，它体现了 对峙统一，量变与质变的辨证关系.
O
1x
S
lim
n
Sn
1
lim 1 (1 1)(2 1)
n6 n
n
1 3
上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的 过程的几个基本步骤：
分割→近似代替→求和→取极限.
若按如图所示作小矩形，那么这些小矩
形的面积之和的极限等于曲边梯形的面
积吗？
y
y＝x2
S
lim
n
Sn
1 3
O
1x
若分别以区间
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
y y＝x2
O
1x
第i个矩形的高为h1i (ni )2， 每个矩形的宽为 n .
利用公式
12 22
n2 n(n 1)(2n 1) 6
计算，这n－1个小矩形的面积之和Sn－1.
y y＝x2
O
1x
Sn 1
(n 1)n(2n 1) 6n 3
利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的 面积S，所得的结果是：
y y＝x2
C
A
DB
Sn 1
ah(n 1) 2n
随着n的增大，Sn－1与△ABC的面积愈接
近，当n趋向于无穷大时，Sn－1的极限为
多少？由此可得什么结论？
C
lim
n
Sn
1
A
lim ah(n 1)
n
2n
ah D 2
B
结论：三角形的面积等于各矩形面积之
和的极限.
曲边梯形面积的算法
由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所 围成的平面图形是什么？它与我们熟悉 的平面多边形的主要区分是什么？