高中物理 《万有引力与航天》单元复习

《万有引力与航天》单元复习
本章梳理
1. 网络结构
2. 要点提示
(1) 开普勒行星运动定律
德国天文学家开普勒仔细整理了丹麦天文学家第谷留下的长期观测资料，并进行了详细的分析，终于发现了后来以他的名字命名的行星运动定律：
①开普勒第一定律（轨道定律）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

②开普勒第二定律（面积定律）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

③开普勒第三定律（周期定律）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

(2) 行星轨道按圆处理时的规律
由于多数大行星的轨道十分接近圆，所以在中学阶段的研究中可按圆处理。

根据开普勒行星运动定律，行星轨道按圆处理时遵循如下规律：
①大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。

②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星做匀速圆周运动。

③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

(3) 太阳对行星的引力
太阳对行星的引力可以由开普勒运动定律和牛顿第二定律推得：
根据开普勒行星运动第一、第二定律，在行星轨道为圆的简化模型下，行星以太阳为圆
心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。

设行星的质量为m ，速度为v ，行星到太阳的距离为r ，公转周期为T ，根据牛顿第二定律可得太阳对行星的引力为222
2412T mr r T r m r v m F ππ=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==。

将开普勒行星运动第三定律k T
r =23变形为k r T 3
2=，代入上式可得 2224r
m r m k F ∝⋅=π。

(4) 行星对太阳的引力
设太阳的质量为M ，根据牛顿第三定律，可得行星对太阳的引力F ’的大小也存在与上
述关系对称的结果，即 2r M F ∝
'。

(5) 太阳与行星间的引力 由于2r m F ∝、2r
M F ∝'，且F F '=，则有 2r
Mm F ∝。

设比例系数为G ，则有 2r
Mm G F =。

(6) 月—地检验
假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”
律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径（苹果到地心的距离）的60倍，所以月球轨道
上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的1/602。

根据
牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）也就应该是它
在地面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的1/602。

在牛顿的时代，重力加速度、月—地距离、月球的公转周期都已能较精确地测定，从而
能够算出月球运动的向心加速度。

计算结果表明，月球运动的向心加速度确实等于地面重力
加速度的1/602，这说明地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力，真的是同一种
力！
(7) 万有引力定律
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，
与它们之间距离r 的二次方成反比，即2
21r m m G F =。

(8) 对万有引力定律的进一步说明
关于万有引力定律，我们可从以下几方面来加深理解：
① 万有引力是宇宙间的一种基本的相互作用力，万有引力定律是一个非常重要的定律，
它适用于宇宙中的一切物体。

万有引力定律的发现，对物理学和天文学的发展具有深远的影
响。

② 万有引力公式只适用于两质点间的引力的计算，因为对一般物体而言，“两个物体之
间的距离”到底是指物体哪两部分的距离，无法确定。

实际物体当它们之间的距离远大于它
们本身的尺度时，可视为质点。

对质量均匀分布的球体，也可以用此公式计算它们之间的引
力，其中的距离即两球心之间的距离。

但是，对于一般物体间的万有引力，切不可用它们质
心间的距离代入上式计算。

③ 求一个质点受到多个质点的万有引力时，可先用万有引力公式求出各个质点的引力，
再求它们的矢量和。

④ 万有引力公式中G 的是比例系数，叫做引力常量，是自然界中少数几个最重要的物
理常量之一，通常取 G=6.67×10-11N·m 2/kg 2。

(9) 牛顿发现万有引力定律的思路
牛顿发现万有引力定律是按照下面的思路展开的：
① 观察方法获得规律：行星运动的开普勒定律。

问题：行星运动为什么会有这样的规
律？
② 猜想原因：太阳对行星的引力作用。

问题：太阳对行星的引力与什么因素有关？
③ 数学演绎得到规律：根据已知规律（开普勒行星运动定律和牛顿运动定律）推出太
阳与行星间的引力遵从的规律： 2
r Mm F ∝。

④ 进一步猜想：地球使地面上物体下落的力，与太阳使行星运动的力、地球使月球运
动的力是否出于同一原因？
⑤ 猜想得到检验：月—地检验使猜想得到证实。

⑥ 更大胆地猜想：自然界任何两个物体之间是否也有这样的吸引力？
⑦ 得到万有引力定律： 2
21r m m G F =。

(10) 实验室里“称量”地球的质量
若不考虑地球自转的影响，地面上物体的重力等于地球对该物体的万有引力，即 2
R Mm G mg =， 由此可得地球的质量 G
gR M 2
=。

上式中地面的重力加速度g 和地球半径R 在卡文迪许之前就已知道，而卡文迪许在实
验室中测出了引力常量G ，利用上式就可算出地球的质量M 。

这意味着人们在实验室里测
出了地球的质量。

(11) 计算天体的质量
行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，我们可以利用或测
量的数据是某个行星的轨道半径r （如地球）和周期T ，根据 r T m r Mm G 2
22⎪⎭
⎫ ⎝⎛=π， 得到 23
24GT
r M π=。

许多天体的质量就是这样求得的。

运用类似的方法，也可以算出行星的质量。

(12) 发现未知天体
预见并发现未知行星，是万有引力理论威力的最生动例证。

数据表明，天王星的运动有某些极小的不规则性。

这使人们怀疑，在天王星之外还有
另一颗未知行星，正是它的存在使天王星的轨道发生了偏离。

英国的亚当斯和法国的勒维耶
独立地对此进行研究，计算出这颗新行星即将出现的时间和地点。

1846年9月23日晚，德
国天文学家戈勒在天文观测中认出这颗新行星，与预计的轨道只差1度。

海王星就这样在笔
尖下被发现了。

1930年3月14日，汤姆波夫根据海王星自身运动不规则的记载，用类似的方法又发现
了冥王星。

(13) 三个宇宙速度
① 第一宇宙速度：也称环绕速度，是卫星在地面附近环绕地球运行的速度，是卫星的
最大的轨道速度。

设地球半径为R ，地球质量为M ，根据R v m R
Mm G 22=或R v m mg 2
=，可得s /9km .7≈v 。

② 第二宇宙速度：也称脱离速度，是使物体挣脱地球引力束缚的最小速度，其大小为
11.2km/s 。

③ 第三宇宙速度：也称逃逸速度，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小速度，其大小为
16.7km/s 。

(14) 人造地球卫星
① 运行速度：设离地面高度为h 的人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的运行速度
为v ，地球半径为R ，地球质量为M ，则由h R v m h R Mm G +=+2
2)
(可得 h R GM v +=h
R +∝1，h 越大，v 越小。

② 角速度：由)()(22h R m h R Mm G
+=+ω，可得人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的角速度3)(h R GM +=ω3)
(1h R +∝，h 越大，ω越小。

③ 周期：由)(2)(22h R T m h R Mm G +⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+π，可得人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的周期 GM
h R T 3
)(2+=π3)(h R +∝，h 越大，T 越大。

(15) 同步卫星
① 周期：相对于地面静止的、跟地球自转同步的人造卫星叫做地球同步卫星，它的主
要用途是通讯，又称通讯卫星。

因此，同步卫星的运转周期等于地球的自转周期，即T=24h 。

② 离地高度：设同步卫星的离地高度为h ，由)(2)(2
2h R T m h R Mm G +⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+π，
可得 R GMT h -=3224π
≈3.6×104km 。

③ 运行速度：同步卫星绕地球做匀速圆周运动的运行速度 3.1km/s )(2≈+=T
h R v π。

(16) 经典力学的适用范围
经典力学有它的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界；只适用于弱引力情况，不适用于强引力情况。

对于高速运动（速度接近真空中的光速），需要应用爱因斯坦的相对论。

当物体的运动速度远小于真空中的光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别。

对于微观世界，需要应用量子力学。

当普朗克常数可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别。

对于强引力情况，需要应用爱因斯坦引力理论。

当天体的实际半径远大于它们的引力半径时，爱因斯坦引力理论和牛顿引力理论计算出的力的差异并不很大。

综合链接
例1 如果人造地球卫星沿半径为r 的圆轨道绕地球运动，当开
动制动发动机后，卫星速度降低并将转移到与地球相切的椭圆形轨道
上运动，如图7－8所示。

问在这之后，卫星经多长时间着陆？（空
气阻力不计，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ）
提示 应用万有引力定律、牛顿第二定律和开普勒定律求解。

解析 设地球质量为M ，卫星的质量为m ，当卫星在圆轨道上运
动时，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有 r T
m r Mm G 2224π=， 卫星由圆轨道转移到椭圆轨道上运动时，设周期为T ’。

根据开普勒第一定律，卫星在椭圆轨道上围绕地球运动时，地球就在这个椭圆的一个焦点上，其半长轴为2
R r +。

根据开普勒第三定律，有 2
3232T R r T r '⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。

由图7－8可知，卫星落地时间只需半个周期，即
2T t '=。

又因为 mg R
Mm G =2， 联立以上各式解得 g R r R t 8)(3
+=π。

点悟 开普勒三定律是开普勒总结了太阳系中行星的运动规律而得出的，实践证明，
开 图7－8
普勒三定律也适用于卫星绕行星的运动，适用于人造卫星绕地球不同轨道的运动。

请将此题与本章第1节例3作一比较。

例 2 据观察，某行星外围有一模糊不清 环。

为了判断该环是连续物还是卫星群，又测出了该环中各层的线速度的大小v 与该层至行星中心的距离R 。

以下判断中正确的是（ ）
A. 若v 与R 成正比，则环是连续物
B. 若v 与R 成反比，则环是连续物
C. 若v 2与R 成正比，则环是卫星群
D. 若v 2与R 成反比，则环是卫星群
提示 设法找出连续物和卫星群的v 与R 的关系，由此作出判断。

解析 假设这一模糊不清的环是连续物，显然它们绕行星运转是具有相同的角速度，这样环中各层的线速度的大小v 与该层至行星中心的距离R 成正比，即选项A 正确。

再假设这一模糊不清的环是卫星群，则由R v m R Mm G 22=可知R
v 12∝，即v 2与R 成反比，选项D 正确。

可见，本题正确选项为A 、D 。

点悟 根据测量结果来判断是“连续物”还是“卫星群”，体现了物理知识的重要应用。

本题从正面入手，根本无法下手，但用“执果索因”进行逆向思维，则变得十分容易理解。

熟练掌握圆周运动线速度与角速度的关系式和卫星的向心力公式，是作出正确判断的基础。

请进一步思考：本题中若v 与R 成正比，则此环是否可能有小同步卫星群组成？为什么？（答案：不可能，因为同步卫星高度一定，不可能分层。

）
例3 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行时，它的运行轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球的半径为R ，地面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T 。

提示 设法求出卫星绕行地球一周时地球自转所转过的角度。

解析 设卫星周期T 1，有 G r T m r Mm 21
2
24π=。

地面处重力加速度为g ，有 G g m R
Mm '2'
=。

又 r=h+R 。

设地球自转周期T ，在卫星绕行地球一周时，地球自转角度θ=2πT
T 1，弧长s=Rθ， 解得 s=g
R h T 32
)(4+π。

点悟 本题需考虑卫星围绕地球的运动和地球的自转，求解时除了应用万有引力定律和牛顿第二定律外，找出“在卫星绕行地球一周时，地球自转角度θ=2π
T
T 1”这一关系，则是解题的关键。

例4 一卫星绕某行星做匀速圆周运动。

已知行星表面的重力加速度为行g ，行星的质
量与卫星的质量之比81=m M ，行星的半径行R 与卫星的半径卫R 之比 3.6=卫
行R R ，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径行R 之比
60=行R r 。

设卫星表面的重力加速度为卫g ，则在卫星表面有 卫mg r Mm G =2。

经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的
36001。

上述结果正确吗？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果。

提示 注意考察式子卫mg r Mm G
=2中卫g 的含义是否正确。

解析 题中卫mg r Mm G =2
一式中的卫g 并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。

正确解法是： 在卫星表面有 卫卫g m R m m G
'='2， 在行星表面有 行行
g m R m M G '='2， 两式相比可得 行卫卫行g g M m R R =⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2
， 故 行卫g g 16.0=。

点悟 忽略星体自转的影响，星体对其表面物体的万有引力与其表面物体的重力大小相等，而星体表面物体的重力则对应于星体表面的重力加速度。

本题要求我们具有一定的分析判断能力，要注意培养和提高自己思维的批判性。

例5 据天文学家测量，月球的半径为1738km ，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，而此时水蒸气分子的平均速率达2000m/s 。

试分析月球表面没有水的原因。

提示 求出月球上的环绕速度的大小，只要水分子的平均速率超过环绕速度的值，水就不可能留在月球表面。

解析 由R v m g m 2='可得月球上的环绕速度为 s /1700m s /m 1017388.96
1613≈⨯⨯⨯=='=gR R g v 。

水在127℃的情况下已变成水蒸气，而此时水蒸气分子的平均速率达2000m/s ，大于月
球上的环绕速度，所以水分子将离开月球表面，月球表面不可能有水。

点悟 本题将月球表面无水的原因与月球上的环绕速度挂上了钩，要根据题目提供的相关信息，注意事物间的内在联系，从中找出规律性的东西。

例6 在天体演化过程中，红巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星（电子被迫同原子核中的质子相结合而形成中子），中子星具有极高的密度。

(1) 若已知某中子星的密度为1017kg/m 3，该中子星的卫星绕它做圆轨道运动。

试求该中子星的卫星运行的最小周期。

(2) 中子星也在绕自转轴自转。

若某中子星的自转角速度为6.28×30rad/s ，为了使该中子星不因自转而瓦解，则其密度至少应为多大？（假设中子星是通过中子间的万有引力结合成球状星体。

引力常量211kg /m N 1067.6⋅⨯=-G 。

）
提示 当卫星绕中子星表面运行时周期最小。

只要中子星赤道处的物质不脱离，中子星即不被瓦解。

解析 (1) 由 ρππ32234,2R M R T m R Mm G =⎪⎭
⎫ ⎝⎛=， 可得该中子星的卫星运行的最小周期为 s 102.1s 10
1067.614.33331711--⨯≈⨯⨯⨯==ρπG T 。

(2) 取中子星赤道处质量为m 的某块物质，由万有引力恰好提高向心力，根据 ρπω32234,R M R m R Mm G
==， 解得中子星的密度至少应为
31431122min m /kg 103.1m /kg 10
67.614.3430)28.6(343⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯==-G πωρ。

点悟 为什么当卫星绕中子星表面运行时周期最小呢？我们不妨设卫星的轨道半径为r ，由r T m r Mm G 2
22⎪⎭
⎫ ⎝⎛=π可得332r GM r T ∝=π。

可见，当卫星绕中子星表面运行时周。