类型四 截面问题(原卷版)

类型四截面问题
【典例1】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱B 1B ，B 1C 1的中点，点G 是棱C 1C 的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为( )
A ．矩形
B ．三角形
C ．正方形
D ．等腰梯形
【典例2】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334 B.233 C.324 D.32
【典例3】平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )
A.32
B.22
C.33
D.13
【典例4】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是( )
A ．当0<CQ<12
时，S 为四边形 B ．当CQ ＝12
时，S 为等腰梯形 C ．当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13
D ．当34
<CQ<1时，S 为六边形
【典例5】如图，在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA>OB>OC ，分别经
过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
【典例6】如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
【典例7】半径为r的球内切于一个正三棱锥，求此正三棱锥的全面积的最小值。

【典例8】底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱，求此棱柱体积的最大值。

【典例9】在例9中，将圆锥改成正三棱锥，θ为侧棱与底面夹角，内部放三个两两相切的半径为r的等球，每个球与棱锥两个侧面及底面部相切，求该棱锥体积。

【典例10】已知棱长为3的正四面体ABCD，E、F是棱AB、AC上的点，且BE=2AE，AF=2FC。

求四面体AEFD的外接球球心与内切球球心之间的距离。

【典例11】在棱长为a的正四面体ABCD中，过A点作一截面与平面BCD成θ角，且截面为等腰三角形，求截面面积。

【典例12】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．
【典例13】P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法．。